Développer le produit de deux polynômes doubles

u-{-l^x-\-yx^ H-JxS -l-etc.

-h-ëy-\-"/xy-\-^xy +etc.

X \ H-yy2|^'';r^2^etc.

-f-^'ys 4- etc.

en une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de x et de y , et calculer un terme quelconque de cette série indépendamment des autres.

bx

"hcx^ -\-dx^ 4- etc.

-\-c'xy-\-d'x'y

+etc.

-{-cy^-i-d!'xy2

-f-etc.

-l-etc.

-H etc.

DES DERIVATION S^ l45

176. Le coëfïicient du terme quelconque de la série affecté de x'V'* peut se représenter par p^.p'". {aoc) ^ a et oc étant indépendans l'un de l'autre ; c'est ce dont il est facile ^e s'assurer en réfléchissant à ce qui a été dit au n.° 1 32 : il ne s'agit plus que de développer l'expression précédente ; or , si on développe d'abord p'«.(^a) par le théorème du n.° 87, et qu'ensuite on affecte tout de g" , on aura

^ C^p'«.û5 H- p'.«.p'«-'.a -h p'2./z.p'«-^a -+- p'3.^.p'«-3.a |- etc.) ^ \ 4-p'"-^â^.p'3.« -+- p'«-2.â!.p'2.a + p'«-i.«.D'.a + p'^.^XaJ'

A présent , tous les termes étant affectés de p'" , on en développera chacun en particulier par rapport à p"* par le même théorème du n.° 87, et l'on aura

p'».p'''.(â^a) = «p^p'".» ■+- D.«.p'»-^p'''.fl5 H- p2.«.p'«-2.p'«.a -4- etc. -H p^.^z.p'".»

H- D^â^.p'".p'«-^a^-D.D^âf.p'";lp'«-^«-|-p2.D^/2.p«-2.p'«-;cg -4-ete. H-p'".D'.^.p'''-'.«

H-p'2.^.p'».p'«-.2« -}-D.p'2.«.p'»-.»p'''-2 cg -f- p2.p'2.^.pOT-2ç'«-2.^ -f- CtC. + p'».p'2.^.p'«-2^

+ '3tc -4- etc.

H- p'«;2^.p'".p'2.£^ -^ etc. H- p'";2p'n-2^.p2.p'2,^ l pm- i.p'/i-2^.i) p'2.2^ ^pOT p'ra-^^^^

-Hp'"-*.^.D'".D'.a-f-etc. -hp'«-2.p'«-i.«.p2.D'.a-i-p'"-*.p'«-^a.D.D'.û;-f-p'".p'«-ï.^.D'.a H- p'^a-p"».»-!- etc. -4- p*" - 2.p'".â^.p2.Qî -f- p» - i.p'«.^.D.« -H p". p'^.^.a.

La loi est facile à saisir dans cette formule sous forme de rectangle : mais on peut encore mettre la formule sous la forme rhomboïdale , en ordonnant par rapport aux dimensions des d et p' qui affectent « , ou de ceux qui affec- > tent oc. La voici sous une de ces dernières formes.

Théorème.

1 77. Le coëfEcient du terme quelconque affecté de x^^y"' dans la série résultant du développement du produit de deux polynômes doubles , indépendans l'un de l'autre , peut s'exprimer par cette formule :

p'".p'«.(ûa) =

«.p^p'^CC + D^^^'«.p'''-^« -j-p'2.^.p'».p'«-2.^ -j-p'S.^jr.p^.p'a-S.^

•+- p2.^. p'"-^. p'«. OC 4- P^.d'^. P*"- 2. p'n - 1. et

H-pS.fl.pw-S.p'/».^