PREFACE. X

principes et des méthodes diverses , j'ai surtout été jaloux , pour mieux faire sentir l'utilité du calcul des dérivations , d'attacher à ce calcul plusieurs des plus élégantes formules dues à la sagacité des grands Géomètres Lagrange et Laplace. « Ces sortes de rapprochemens , dit » Lagrange , sont toujours instructifs , et ne peuvent qu'être très-utiles n aux progrès de l'Analyse ; on peut même dire qu'ils y sont nécessaires 5) dans l'état où elle est aujourd'hui ; car, à mesure que cette science » s'étend et s'enrichit de nouvelles méthodes , elle en devient aussi plus » compliquée ; et l'on ne sauroit la simplifier qu'en généralisant ei en 53 réduisant tout à la fois les méthodes qui peuvent être susceptibles de ces >5 avantages. »

Si quelque chose peut me faire croire que l'objet de cet ouvrage n eSt pas indigne de l'attention des Géomètres , c'est le désir que témoigne un des meilleurs Analystes de l'Angleterre, le professeur Waring , d'une méthode dont le but seroit pareil à celui de la méthode des dérivations , et qu'il désigne sous le nom de méthode de déduction directe et inverse (methodus deductionis et reductionis) ; mais il se contente d'en faire mention , sans donner aucun moyen pour y parvenir. C'est par ce vœu qu'il termine ses Meditationes analyticce , Cantahrigice , 1786, ouvrage considérable sur les séries , et le calcul différentiel et intégral.

Le présent ouvrage est la suite de mes recherches sur la vraie théorie du calcul différentiel, que je finis au commencement de l'année 1789.

On peut distinguer deux sortes de principes dans le calcul différentiel. Les uns se rapportent au passage des quantités discrètes aux quantités continues, c'est-à-dire qu'ils concernent ce qu'on nomme la méthode d'exhaustion des Anciens , ou celle des limites ou des infiniment-petits : les autres concernent les règles pratiques pour former les différentielles successives ; ceux - ci tiennent aux dérivations. J'ai traité des premiers dans un mémoire envoyé, au printemps de 1 789 , à l'Académie des sciences de Paris, et auquel j'ai donné le titre d'Essai sur de nouveaux principes de Calcul différentiel et intégral , indépendans de la théorie des infi-

ij PREFACE.

niment- petits et de celle des limites (*). Ce travail me fît faire des rëflexions sur les principes de la seconde sorte ; j'en vis naître dès «lors \es premiers germes des idées et des méthodes qui , développées et étendues , font la matière du présent ouvrage. Comme Lagrange a bien voulu faire mention de mon premier travail dans sa belle théorie des fonctions analytiques, et que Lacroix Ta cité à la page Syo du premier volume de son traité de calcul différentiel et intégral , sans qu'il ait été imprimé

(♦) Ce mémoire étant encore manuscrit, on me permettra d'indiquer les principes qui y sont répandus, et sur lesquels je me suis fondé pour donner à la théorie du calcul différentiel la rigueur et l'évidence de l'Algèbre ordinaire.

jA, Si l'on a une équation entre des quantités qui dépendent d'une variable^ et d'autres qui n'en dépendent pas et demeurent toujours les jnêmes ; et que l'équation ait lieu pour des 'valeurs quelconques de la variable ; les termes indépendans et les termes dépendans de cette uariable seront séparément égaux entre eux.

Ce principe, qu'on peut appeler principe de la séparation des quantités indépendantes, est le fondement de la méthode des coëfficiens indéterminés.

II. Si l'on a une fonction quelconque de x, qu'on y mette x -\- ts.x à la place de Xf et qu'on la développe en une série ordonnée suivant les puissances de ÙS.X , de cette formée :

(bx + p^x H ^(A^)2 H C__(Aa;)5 H (A^)4 ~\- etc.;

les coëfficiens p f q , r, s , etc. seront des fonctions de x, qui dérivent les unes des autres par la même loi et le même procédé par lesquels p dér-ive de (px.

Ce principe, ainsi présenté, est dû à Lagrange, qui l'a publié dans les Mémoires de Berlin pour 1772.

Si l'on fait abstraction des dénominateurs numériques; les second, troisième, quatrième termes de la série précédente seront les différentielles première , seconde, troisième de la fonction Çix. Ainsi les différentielles sont des portions de différens ordres de la différence (finie).

III. Toute fonction de x -h Ax peut toujours être développée en une série qui procède suivant les puissances entières de ùi.x, si l'on suppose à x une valeur générale»

r R A F A C E. xîîj

jusqu'à présent ; on ponrroit être tente de confondre les deux ouvrages. J'avertis donc qu ils n'ont entre eux rien de commun ni pour le fond ni pour les détails. Je prie les Géomètres de recevoir avec indulgence celui que je publie présentement, et de pardonne;-, à raison de la complication des matières que j'ai tâché de simplifier, les fautes qui auroient pu m'échapper.

Cet ouvrage est annoncé depuis long-temps , et il y a plus long-temps

Il y a des fonctions où, pour certaines valeurs particulières de x, les coëfficiens de la série deviennent infinis , et partant le développement en série devient impossible ; mais ces cas font exception au calcul différentiel , qui se trouve alors eh défaut.

IV. Dans le développement de (p(cc -H A:r) on peut toujours prendre p<MU' ^x une valeur finie et assignable , assez petite pour quun des termes qt^Lconque de la série soit plus grand que la somme de tous ceux qui le suivent.

Je n'ai jamais fait évanouir aucun terme de la série, aucune différentielle : quelquefois je n'ai pas considéré la fonction comme développée en entier ; j'en ai arrêté le développement après un petit nombre de termes, mais en tenant toujours compte du reste.

V. Soit une courbe quelconque , dont V ordonnée y ^ qui répond à l'abscisse a? H- A 07, soit représentée par la série

y = y H- Z Ax H ^—.(/Sxy H J—-^(^^xy -l- etc. ;

•^ «^ dx \.2.dx^^ ^ i.2.3.dx^^ '

quon développe pareillement V ordonnée u! d'une autre courbe, dont Véqua^

tion, donnée et rSpportée à la même ligne des abscisses ^ contienne un nombre

n de constantes ; V abscisse correspondante à vi étant ^-f-A^, et ùs.t ■=. ù^x ,

on aura

u -+- ^^T-^x -\ ; — (/SxY H — j-s(Ax)3 -f- etc. :

du . d^u ,. ^. d'^u

~dt

si l'on détermine les n constantes de la dernière courbe par les équations

du dy d^u d^y d^-^u d^-^y

u =2 y, —r— = -rf'i— , — — = - •^- . etc. , —; = -j *^ ;

-^ dt dx dt^ dx^ ' * dt""-^ dx"-^ ^

cette courbe ainsi déterminée sera de toutes les courbes de même nature

celle dont le cours approchera le plus du cours de la première , de manière

qu'il sera impossible de faire passer entre ces deux cours celui d'une autre

courbe de même nature que la seconde.

En particulier ; en faisant u = y , la seconde courbe et la première passeront par

xîv p R :é F A C E.

encore que rimpression en est commencée ; elle a été hîterrompuè plusieurs ibis par différentes circonstances. J'espère qu'on aura^ lieu d'être content de l'exactitude de l'édition ; et à cet égard je dois témoigner ma reconnoissance à Français, Professeur de Mathématiques à Çolmar , qui a pris le soin de vérifier mes calculs et de m'aider dans la correction des épreuves.

. du dy

un même point; en faisant u ■=■ y ^ ^* ~3 — = > ? ^^ seconde courbe sera tangente

, , . - . du dy d'u d'y ' , ,

a la première ; en faisant w = y , — ~ = — ~ , et -— — = — ~ , la secondé courbe '^ '^ ^ dt dx df dx

SMui osculatrice de la première; de sorte que le contact deviendra d'autant plus intime

^ron égalera entre eux un plus grand nombre de termes dans les deux séries.

De là découlent, comme cas particuliers, les formules des soustangentes , sousnor-

males, rayons osculateurs, celles pour les points d'inflexion, pour les développées, etc.

VI. Si Von a trois expressions ordonnées suivant les puissances de x ou

de tsx ,

U = a . -+- b,àx -h c{àxy -h d(^xy -f- etc.

V =z a} -ir' h\l^x H- c'(A;r)2 ^ d'{/Sxy -h etc.

TV = û" -f- ^". Aàî -H c"(Aa;)2 -f- ^"(A:c)3 ^« etc. ; et (jue , sans connaître la valeur de V , on sache quelle est intermédiaire entre celles de U et de JV, c'est-à-dire plus grande que l'une et moindre que Vautre ; si les deux séries extrêmes ont un certain nombre de leurs premiers termes égaux entre eux , la série de V aura le même nombre de ses premiers termes égaux aux termes correspondans des autres séries. Si Von a , par exemple , a =. a^^ ^ b z=: b" ; on aura aussi a' = a , b^ = b.

On peut faire un grand usage de ce principe : il m'a donné d'une manière rigoureuse la différentielle de l'aire et celle de l'arc d'une courbe quelco^nque , tant pour le cas des ordonnées parallèles , que pour celui des ordonnées qui partent d'un même point , etc.

Il me semble que j'ai fait voir le premier, d'une manière développée, qu'au moyen de la reunion de ces principes, l'on peut traiter le calcul différentiel et intégral, et notamment ses applications aux courbes, sans rien faire évanouir; et c'est en cela que la métbode des anciens Géomètres se distingue principalement de toutes celles que postérieurement on a cherché à y substituer.

Méthode facile et générale pour développer en séries des fonctions quelconques de polynôme , et pour calculer un terme quelconque du développement indépendamment de tous les autres,

§. I." Exposition et premier état de la méthode.

Développemens des fonctions de binôme P^ge iJ[*

Développemens des fonctions de polynôme ; théorèmes . "^

Applications à des exemples 8.

§. II. Simplification de la méthode.

Théorème, conséquences de ce théorème, règles i3.

Exemples a6.

Des dérivées non divisées ; des dérivées inverses ; observations ; notations abrégées 3o.

§. III. Manières de calculer un terme quelconque du développement indépendamment de tous les autres.

Première manière ,......,..., 34.

Seconde manière 39.

Remarques sur les combinaisons et sur les notations 43.

§. IV. Application de la méthode à différens cas généraux 45.

Développemens de doubles fonctions de polynôme . 46.

Développement d'une série dans chacun des termes de laquelle il

entre une fonction quelconque de polynôme 5o.

Substitutions des séries dans les séries 53.

Digression sur la manière de trouver sur-le-champ la somme des puissances n des racines d'une équation d'un degré quelconque exprimée en coëfficiens de l'équation; et réciproquement, de trouver un coefficient quelconque exprimé en sommes des puissances des racines .....^ 56.

Remarques qui serrent à donner plus d'étendue à la méthode * . . • « 64.

XVJ T À B li E.

Déi^eloppemens en séries des fonctions de deux ou de plusieurs polynômes ordonnés suii^ant les puissances d'une même lettre.

§, I.^"^ Des produits de plusieurs polynômes et de plusieurs fonctions de polynôme.

Développement des produits de deux ou de plusieurs polynômes simples , page 69. Application aux produits de plusieurs binômes, et aux combinaisons. . 74.

Application aux cas des dérivées non divisées. De l'homologie entre les puissances des polynômes et les dérivées non divisées du produit

de plusieurs quantités 76.

Développer les produits de deux ou de trois fonctions quelconques de ^ÊL polynôme ,

Première solution ...*.. 78.

Seconde solution 80.

Troisième solution 81.

Exemples . 84.

§. II. Développemens de fonctions quelconques de deux ou de plusieurs polynômes simples 89.

§. III. Applications et remarques.

Procédés abrégés pour les équations dérivées 96.

Manière de soumettre au calcul les combinaisons ordinaires ; quelques

théorèmes 98*

Expression particulière du terme général dé la série qui résulte du développement du produit d'un polynôme et d'une fonction de polynôme , expression dans laquelle tous les indices de d sont égaux entre eux 100.