Si l'on a le produit plus simple

(/z H- ^0? 4- c^-2 -}- dx^ + etc. ) X (a -f- 5^ 4- yjK^ + ly^ -f- etc. ) à développer; on voit que dans ce cas p'^-^ = p"-« sans accent, puisque les coëificiens de y n'en portent pas , et que toutes les dérivées d' de ûs , aussi bien que toutes les dérivées b de a, sont zéro : ainsi le coefficient de x^y^ se réduit dans ce cas au seul monôme d'".^^. p".«.

180. Si l'on avoit à développer le produit de trois polynômes doubles , indépendans ,

■aH-'ba;H-c^2 ^etc."] (a-\-hx-\-cx'^ -j-etc."] ra-hê^r -j-«y.r2 4-etc.

H-by-i-c'aîj-f-etc.f \ -^Vy-^dxy-^-^iQA \ -j-ê'jK-hy'-^-l-etc.i

-H c'y 2 >j etc. ( ] 4- c"j2 4 etc. l \ -f- «y'y^ -^-etc.

H-etc. 3 \ +etc. 3 ( -f-etC:

on suivroit la même voie que n.<* 176 , et l'on auroit pour le coënicient du terme affecté de x^y^ dans le développement,

p". { <xa. ^\ec + d'. M- p'"- '.oc -h p'^. (aa). p'«-2.a -f- etc. + p'«. (a«) X «} , formule qu'il est facile de développer ultérieurement.

181. Enfin, la seconde méthode dont nous avons fait usage n.° i5i et suiv. donne encore facilement la solution du problème dun.^iy^. En effet, si l'on veut avoir le coefficient du terme affecté de x"y , on calculera le coefficient ■gm+n^ (^z») de 0^'" + ", commo si les polynômes proposés ne renfermoient point de y ; puis on en déduira le coefficient de x'"y" , qui est indiqué ici par '''po.p'" + «.(^2a).

Veut-on, par exemple, le coefficient de x^y^? on développera p5.(a«); ce qui donne

ai -^ bs -i- c3 -^ dy -+- eS -^ foc»

l46 DU CAIiCUL

A présent on affecte chaque terme de '-po, et, en développant de nouveau',

on trouve pour le coefficient de x^y"^ ,

a^n I ^ i,^v ^ y^, | ^ ^^u ^ ^,^i ^ ^u^\ ^ Jy"H- ^V + ^"y | -4- e'C' -He"g'l +/"«.

Cette méthode s'applique aussi au cas du n." précédent , etc.

Problème.

182. Étant proposé le produit de deux fonctions quelconques de polynôme double ,

a-^bx-^cx"^ +etc. ^ ( oc-\-^oç ~\-yx'^ 4-etc.

-f-^y + c'o^-j-etc. r j -\-^y-^y^xy~\-elc.

^\ j c'y 2 4. etc. [ ^ ^ i +y'y3|-etc.