p'«-2.p'«- J .(pa.p2.D'.-4/« 4- p'"-2. p'«. (pa, p2. ^|;a

4- p'""^p'''"2.(P«.D.p'2.^|;c« 4- p^-ï.p'^-.i.cp^ï.D.D'.-vl;» 4- p^'^p'^-^p^.D.-vl/a

^çm.pf«-3.(p^.p'3.^^ 4-p'«.p'»-2.(pfl.D'2..v|;« 4-p'".p'''-^(p^.D'.\|/a4-p'".p''*.(p<z.\J/«.

On développera chaque partie de terme en particulier suivant les règles du

paragraphe précédent. La loi suivant laquelle les termes de cette formule déri-

. vent les uns des autres est facile à saisir ; ainsi il est inutile de nous y arrêter.

DES DÊEIVÀTIOKS. 14^

184. Seconde solution. Si l'on développe ç'". (Ç)<î. -vj/a) au moyen de la formule générale du n.** loo, on aura ^

pm \ (P^.p'^.-vl/a. H- D(pa. p'«- 1. {b\^\joc) -4- p^^p^.p'»-^. (^'2. ^^) f- etc. ) ^

et si à présent on développe de la même manière chacun de ces termes affectés de p*", on trouve \

P'».p'«.(<p^.-4/oî)==

(Pa.p'».p'''.\{/«-f-D(p^.p«-^(^p'«.\(/a)-f-p2(p/2.p«-2.(32p'n.^fl5) H-etC.-|-p''(p^.^'"p'''.\I/« H-D(p^.p'«.p'«-i.(^'.-v|;(») -HDD(p«.p'"-^{^p'«-i.(^'\I/a)} -f- etc. H- p'"D<p^.^'"p'«-i.(^'.-4/a) -4-p2(p^.p".p'«-2.(^'2.^a)+Dp2cp^.p«-^j^p'«-2.(3'2.^^)|^etc.H-p'"p2<p^^ -H etc H- etc.

H-p«-2(pa.p«p'2.(3'«-2^Q5)-^etc.H-p"-ip«-2cp^.D.{^«-ip'2.(Z»'n-2v[;aî)|4-p'«p«-2(p^ «.

-|-p«-»(pâ!.p'».D'.(^'«7\[/a) 4-etc. H- p'»-'p«-»(p«.D.{è'«Vi^'-(^'"".'"J^«^)| + p'"p"-^<P«.i'"D'.(i«-,'-y[/etf) -}- p«^^. p*". ( 6'". \J>a ) -f- etc. 4- p*" - ^ P"^^ . D. (6»" ■ ^ é'«. \|/a) + p*" p" (pa. b"^. b'". •\\^oc ,

formule sous la forme rectangulaire , à laquelle on peut donner la forme rhomboïdale suivante, en ordonnant par rapport au nombre des indices des D qui affectent (pa\

p'».p'''.((P^.-v|/fl;) = (p<z.p'».p'«.'4/« -î-D^<2.p'»,p''»-'.(/^'.'v|/a) 4-p2(piz.p«.p'«-2.(i'2.^^)

-H n(pa.^^- ». (^p'".\|;«) 4- DD^^.p"»- ». (3p'«- '. (^'.\J/<;k)) •+• etc.

. * , t + etc.

+ p»"- 3 pn^p^. p2. (^OT - 2. ^fa. ^^)

-Hp'"-*p"-'^â;.D. j^'»-»D'.(^>'«-'.-4/a)} +p'«-»p»(pâ^.D. (è'»-».i'«.-vl/a)

^pmp«-2(p^. ^OTp'2, (6'«-2.v|/«) -}-p'"p«-»(p^.è««D'.(è'''-».\J/a) H-p«p«<p/z.6'».è'«.\}/«.

La loi suivant laquelle les termes se forment les uns des autres est facile à saisir, et les développeraens ultérieurs n'offrent pas de difficulté,

i48 »u cAiiCuii

i85. Troisième solution. Si dans les polynômes proposés n." 176 on fait a -^ bx -^ cx^ -^ etc. = /? , V -h dx -\- dJx^ + etc. = q c" -4- d^^x + e"x2 -4- etc. =: r , ^'" H- e"'a; + etc. = ^ , etc. ; 4^ 4 g'oî -H yx^ ■+- etc. = ;t, ê"' H- y'^ -+- ^^oo^ H- etc. = -zs-, y 4- ^'o; + £"^2 4 etc. = ^ , <î"' 4- e'"^ -H etc. = o- , etc. ;

le produit des fonctions proposées prendra cette forme,

<p (y» -f- ^j H- 7j2 4^ etc. ) X •J>(7î' -f- -zrjK -+- f J2 -H etc. ) , ce qui ramène le cas actuel à celui du n.° 97, et l'on a , par la formule III du n.° 102, pour le coefficient du terme affecté de y^ ,

-|-D(p/?.\|y;T.p'''-'.'7 +D(p/7.D4/7r.p'''-2.(^'s;r) H-D(p/?.p2\p7r.p'"-^-(^'W2) H- p2^;[7. •v|/zr.p'''-2. ^2 + p2^^. D^;^. p'«-3.(^2gy.)

H-p3(p;c7.'vp;T.p'"-5.^5

H- D^y». p« - '\|/7r. '/■zîr" - *

-h etc. ...... + etc. H-p2(Py».p«-2v|/7,'.^225.n-

-h p»(P;7. -vj/Tr. ^".

Maintenant , pour avoir le coefficient de x'^j^ , il suffit de mettre dans cette formule , au lieu de /? , ^ , tt et -ar leurs valeurs précédentes en ^ , et de calculer pour chaque partie de la formule le coefficient de x"^ , par le procédé du n.° 100 ; puis d'ordonner par rapport aux sommes des indices des d sans point qui affectent (pa et ij/« , en regardant comme premier terme la réunion des parties où les indices de d sont = 1 , comme second terme , la réunion des parties où les indices sont = 2 ou forment une somme égale à 2 , et ainsi de suite. -^

186. Avec un peu d'attention, on pourra écrire sur-le-champ la formule qu'on cherche , en partant de la formule précédente ; car on verra que chaque partie de terme de cette dernière donnera des parties pour chaque terme successivement dans la formule demandée , et l'on aura ainsi :

H- p2(p^z. -J/a. p»". p'" - \ y^ -4- p2(p^. Dvpa. p'«. p'«^3. (^'2g>')

etc.

-hD(p^.D^|/a.p'»-^ (^p'«-»,C')

-f- DD(p^.\|ya.p'"-i.(^p''»->.^')

H-D(p/2. p'"-ip''\^a. bC"'-^Ç'''

-+- p2(pa. p'"-2pn\J/a. Z»2g''n-af '«

-f-etc

-f- B'"(pa. p"\|/a. ^'"C'"

■4-Dcpa. p'"p'''* -vj/a. C"^'5""*^

-Hp2DCp«.p'»-2pn-i^«.^2gVn.2^'^/«.j

-f-etc

H- p'^pcp^. p"-»\^«. ^"W"-'

-H p^<p<2. \pa. p*". p'" ■ 3. ^'3

^-(P^.Dp2■a/a.p'«-^(g'p'«-2.g"2) -}-D(p^.p2^[;«.p'«-'. (Z>p''»-3.C'2)

M-D^«.DD-v|/«.p'»'^(g'p'«-2.(W))

+ DD(p^.D-4;a.p'»-».(Z'p'«-^(^'g'')) 4- p ^(pa. Dvpa. p '»- ï. ( g'p '« - 2. ^'2) 4-Dp2<pû.^^«. p'»-».(^p'''-^^'2)

-h (pû5. p2D\)/a. p"» - 2. (g'sp'n - 1.^')

-+- j)(pa. DD\|>itf. p^-2. (^^p'" -^.C) H- p2(p^. D-vf/a. p»" - 2. (^2p'« - 1. g"')

-4- DCpa. p24;a. p"- 2. (g^p'"- '. ^') -4- DD^â!. D\|/a. p'»-2. (Z'g'p'»- '.^')

etc.

-j-Dp^^p^Z. p'«-i>|/«. ^g''n-l^'« ^

La loi qui règne dans cette formule s'apperçoit sans beaucoup de peine , et l'on peut en déduire une règle pour former le développement réduit. Cependant , pour mieux saisir cette loi , on peut prendre pour m et n différentes petites valeurs , comme 2 et q , ^ et 3 , afin d'avoir facilement tous les termes

i5o ^^^ucALCUL

du coefficient entier : ce moyen serviroit encore à vérifier la formule, si cela étoit nécessaire , en comparant ces résultats particuliers avec ceux que donneroient les deux solutions précédentes.

187. Ajoutons ici un seul exemple , lequel, quoiqu'il n'offre qu'un des cas des plus simples du problème précédent, conduit cependant à la solution générale de la question suivante : Étant donnée la fraction génératrice d'une série récurrente double , d'un ordre quelconque , trouver un terme quelconque de cette série indépendamment des autres ; matière qui est de la plus grande importance dans la théorie des probabilités.

Exemple.

Étant donnée la fraction suivante, où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes doubles quelconques,

a -^ bûc -}^ cœ^ -h- dx^ + etc.

. -*a.tTi;i-(^H- ^y -H c'ocy -h d'xy -H etc.

5 ,; - 4- c"j2 4- d"œjy2 H- etc.

H- d"'jy^ -h etc.

H- etc.