Q...WX l.Q. C'^-l) .^^ l.Q...7yïX
Le développement ultérieur n'a plus de difficulté.
On peut aussi faire (pa = a ^ -^oc = cc'^ , dans la formule du n.° 186 , et Ton aura ainsi trois formules pour l'expression du coefficient d'un terme quelconque de la série cherchée.
189. Enfin , la seconde méthode des n.**^ i5i et suivans donne facilement le développement réduit de la série qu'on demande dans le problème précédent. En effet on n'a qu'à calculer le coefficient réduit de ^c" par une des formules dun.° 102 : puis , en y appliquant la méthode, on en déduira très-facilement les coëfficiens de x^-^y, x^-'^y- ^ x^-'^y^^ etc. Mous nous contenterons de donner par ce moyen le développement réduit des premiers termes de la série de l'exemple précédent. Le voici :
«•^« -H («-'.^-a-2.C«)a; .4- {«-».c — «-a(g'^'H-y^)H-Aî-3.ê'2^i j^a
xy
^1 -«-4.3Cff'2^2r^
et ainsi de suite.
Les termes affectés de :p, x^, a;3, etc. se déduisent d'abord les uns des autres
iSa ^ vr c D u vC A L c u L
et forment les termes supérieurs des colonnes ; ensuite , dans chaque colonne , ^n tire du terme supérieur tous les autres termes de la colonne en descendant, par exemple du terme affecté de a;5, ceux affectés de ^-y ',3cy'^^ y^. ,
/ ^« .tti* (II.)
190. Dans les formules précédentes les polynômes différens entrent chacun sous une fonction particulière, et les a çx oc dans les développemens en ^, ê* demeurent séparés l'un de l'autre , chacun sous son signe de fonction , ce qui est cause qu'on peut varier les solutions et présenter les formules générales sous différentes formes : passons à présent à des cas plus étendus, où les polynômes entrent d'une manière quelconque dans la même fonction et où la
séparation des a et des « n'a plus lieu généralement.
.ir»>i[i r.v.\t\ b'ii i , - ' , i,, ; f . Problème.
Développer là fonction de deux polynômes simples , l'un ordonné par rapport à X , l'autre par rapport à y ,
(p (a -H ^^ -f- c.t2 H- ^jc3 4- etc. , a + Cj -f- yjK^ H- Jjk^ -f- etc. ) , •••(!)
en une série double, et trouver le terme général de cette série.
' V191. ' Jja considération suivante, qui sert dans plusieurs cas analogues, donne sur-le-champ la solution de la question.
Supposons d'abord qu*au lieu de la fonction proposée on ait seulement à développer , suivant les puissances de j^ , la fonction
(p(«,a-HÇK + yj^ -i-^JK^H-etc.) , .••(2)
a étant constant ; je la développe par la formule du n.** q i , et je trouve , pour la série ordonnée suivant y ,
etc., ... (3)
où les virgules qui affectent les d sans point , placés avant les (p , ont la signification que nous leur avons donnée au n.° 1 1 1 . •
A présent on n'a qu'à remettre a -\- boc '^ cx^ -4- dœ^ -+- etc. à la place de a dans la série ( 3 ) , et , en faisant varier a , développer chaque terme de cette série suivant les puissances de x , par le niéme ii.° 21, et l'on aura , en écrivant ^ au heu de <p (^5«) , -.
DES DÉRIVATIONS. l53
<p{a ~>r bx-\- cx2 -{- dx^ -4- etc. , x -\- fy -h yj^ -+- Sj^ -+- etc.) = .... (4)
^ + D»'V^. bi ne -h (D^'>i/.D.^-f-p2,^.^2)^2 } (Di'^.p2.^-4- ^'^A.n.b^ + p3,^.^3^3 .^-etc,
-Hd''X^.j -f-pi'i^.é'Z'..xx 4-(pi'iXg'D.Z'-Hp2'i^.^Z>2):c2j^-f-etc.
4-(d'1-^.d.C-1-Ç'2^.C^}/2 H-(pi'iX^D.g'+pi^2^.g'^^)^j^2 4 etc.
-}-(D'l^.p2.g'+p'2^.D.C-^ + P'3^.C^)j3 | etc.
H- etc.
192. Quant à l'expression du terme général affecté de >x'^'* , on y parvient de la même manière : en effet on a , pour le coefficient de jy^" dans la série (3),
0.^^.0"-».^-^ D'2Xp«-2.C2 | D.3v^.D«-3.g'3 [ etc. 4- D'n^.g"» (5 )
A présent on fera varier a seul dans ^ ; et , en prenant la dérivée divisée p*" de chaque terme ^ on aura , pour le coefficient de x^y^ ,
(pi'i^.p'»-».^ -t-p2,l^.p'n-2.^2 | p3,i^.pm-3.^3 [ gtC. -\- p'".i^.Z''").p''-^ë'
4-(p»'2^.p'»-».''^-+-pa.2^.p'»-«.^2 j p3,a^.p'»-3.^3 -h etc. + p'"'2^.Z''").p''-s.g'2
♦ -f-(Çi,3^.Dm-i^^ | d2.3^.D'"-2.^2 4 d^.S^.D'^-^.^S + etC. -H D'»'3^.^'").D''-3.g'3 ... (6) ^c c o c c c c •'C ^ '
H- etc H- etc.
-h (pi'^y^.p'»-».^ + pa,«.Xp'"-2.^2 | D3.nv^.D'"-3.^3 | etC. + p'"'«^.^'«).C''. .
Il est inutile de remarquer que dans cette expression p^'*, par exemple, est la même chose que D^.p'^ , conformément à ce qui a été dit au n.° m. On peut mettre cette expression sous la forme suivante , si on le juge à propos ,
pi,i^.pm.i.^ pn-i.g" -j-p2,i^. p»n-2.^2.p/i-i.g' + p3,i^. pm-3.^3.p«-i.^
-+-pl»2^.p'»-Ï.Z'.p«-2.g'2 -f-p2,^^.p'«-2.^2.pn-2.g^
