région

B'y etc.

Cxy

etc.

etc. ;

région.

on distingue quatre régions. Nous nommerons première région celle des exposans de x et de j positifs , ou des indices met n positifs ; seconde région, celle des exposans de x négatifs et des exposans dejj^ positifs; troisième région, celle des exposans de a; et ^ à la fois négatifs ; et quatrième région , celle des exposans de x positifs et des exposans de y négatifs.

223. Supposons qu'on ait constamment entre ces sortes de termes ou de coëfûciens une équation de relation de cette forme

O = CcAm,n -4- ÇAm-\,n 4" yAm~7.,n -f* CtC.

H- ff'^fl»;«~i ~h- y'^/n-i^n-i^-etC. -h«r,$-.i^«-r,«-*+i ....(5)

•4- y Am^n—i -H— etc. -+- OCr-^\^sAm-T-^ t ,n-'S ~\~ XrfsA m^rfit-^ j

OC, ^) ê") y j y'j y" » etc. , ccr,s étant des quantités quelcon ques constantes et données : la série dans laquelle chaque terme dépend de ceux qui le précèdent de la manière exprimée par cette équation , sera une série récurrente double.

Il est aisé , d'après cela , de se faire une idée de la nature des séries récurrentes/A"/)?/e5 , quadruples , sans qu'il soit nécessaire de nous y arrêter.

Nous nous proposons de trouver le terme général des séries récurrentes douMes, quel que soit l'ordre de l'équation de relation tant par rapport à m que par rapport à n. Nous supposerons d'abord que ce, ne soit pas zéro, et que les séries soient renfermées dans la première région; c'est-à-dire, que les termes de la série continuée dans les autres régions, soient tous nuls ou ne doivent pas entrer dans l'équation de relation , ce qui a lieu dans un grand nombre de problèmes : nous passerons ensuite aux cas où les séries s'étendent dans les régions des exposans négatifs et à ceux où oc est zéro. Notre méthode consiste à former la fraction génératrice double , et à trouver l'expression d'un

coefficient

DBS DÉRIVATIONS. l85

coefficient quelconque de son développement au moyen des dérivations. Si cette méthode n'est pas exempte de difficultés dans les derniers cas , elle réussit ordinairement dans les premiers , et à la facilité elle joint l'avantage d'être uniforme , quel que soit le nombre des termes de l'équation de relation.

Problème.

223. Etant donnée l'équation de relation quelconque d'une série récurrente double , renfermée dalis la région des exposans ou indices positifs , et oc n'étant point zéro ; trouver l'expression du terme général de la série en a , C, fi*' , y , y' y", etc., coëfficiens de l'équation de relation.

Pour mieux fixer les idées , commençons par un cas particulier. Supposons que l'équation de relation soit

,rij .jj c = ^ (^)

Je commence par chercher la fraction génératrice double de cette série , en me conduisant d'une manière semblable à celle qui a donné la fraction génératrice des séries récurrentes simples. J'observe d'abord qu'on peut mettre l'équation donnée sous cette forme rectangulaire ,

en l'écrivant à rebours. Si l'on compare le premier membre de cette équation ( 7 ) ou ( 6 ) avec les formules des numéros 175, 176, 177, ou bien encore si

l on promène l'échelle '^ -, ^ sur le tableau ( 3 ) du numéro Q 2 1 , on verra

que le premier membre n'est autre chose que le développement de p'«.p^'''.(a^), c'est-à-dire, le coefficient de x^'jy" dans le développement du produit

( + Bx -\- Cx^ 4- Dx^ H- etc.

H- B'y -{- Oxjy -f- D'xy -t- etc.

Çx

C'y t- y'xy

C'jy^ -+- D"xjy^ 4- etc.

-H £)"y3 4 etc.

etc.

*86 DUCALCUIi

Représentons le développement de ce produit par la série double

a -I- bx -H cx^ -f- dx^ -f- etc. -f- Vy H- éxy ~\- â}x^y -4- etc.

H- c"j2 4 û?"a;j2 ^ etc. (8)

et nous aurons l'équation suivante ,

^"y3 4 etc.

-h etc. ,

% -\- hx '\- ex"- -f- dx'^

-H etc.

-f- ^'/ -+- éxy -4- ^;?'x=^jK

H- etc.