a;Z)'"H-^'C")j^3 -4- etc

4- etc. , produit qu'il est facile de continuer par dérivation. Or il est aisé de voir

DES DÉRIVATIONS. iBj

que dans ce produit les coëfficiens de x^y x, x^ , œ^, etc. ne remplissent pas toute l'étendue de l'équation de relation ; qu'il en est de même de ceux de y , y^i y^i etc. ; mais que tous les autres coëfFiciens remplissent l'équation de relation , et qu'ils sont par conséquent zéro , en vertu de cette équation. D'où il résulte que, puisque le produit est égal au numérateur de la fraction génératrice , il ne se conserve dans ce numérateur que deux lignes indéfinies , savoir la première ligne horizontale et la première oblique , l'une toute en x sans y , l'autre toute en y sans x. Ainsi la fraction génératrice sera en général a -h ^r -H cx^ -H dx^ •+- etc.

-+- b'y ~{- c"j^ -h d"'j^ -+- etc.

(lo)

ce -+- Soc

H- Cy + y'joy Il est aisé de voir que si le termoy'^m-i,n-i manquoit dans l'équation de relation (6), c'est-à-dire, si y' étoit zéro, le numérateur de la fraction génératrice seroit formé en général des mêmes deux lignes, et la fraction seroit précisément la même que celle ( lo ) que nous venons de trouver , au terme y'jr près qui disparoit dans ce cas.

225. Les valeurs de a, b , c, d, etc. , Z»', c", d'" y etc. doivent être données immédiatement par les conditions de la question , ou bien il faut que l'on connoisse deux lignes de termes de la série récurrente , qui servent à déterminer ces valeurs , comme les termes de la première ligne horizontale et ceux de la première verticale (n. ° q q i ) ; car alors on aura facilement a, b^ c, J, etc. , h\ c'',6^"', etc. En effet, l'équation (9) du n.° q23 donne a = ocA ; d'où l'on tire bt=-D.[oùA) , c=-g^^.(ccA)y d=^\{ocA), etc.; V =o\(pcA), d' ^z^^-^AocA), d^'^ = ^^'^.{ocA), etc. : en développant , et observant que S et y' sont des dernières dérivées par rapport à d , et C et «y' des dernières dérivées par rapport an', on a a = uA ,

b = ocB -\- ÇA, V = ocB^ -hQ'A,

c = ocC -^ CB, c" = «C -{-C'B',

d = ccD -h SE, d'" = ocD'" -+- CO' ,

et généralement et généralement

ar = ccAr -H CAr-n ^,r = OcA^r -f- C'A,r^ii ,

c'est aussi ce que donne le produit développé du n.° 324.

l88 DUCALCUL

On peut trouver à la fois et l'espèce et les valeurs des termes à conserver au numérateur , en promenant simplement sur le tableau (3) du n." 2qi , après y avoir mis les valeurs données par les conditions de la question,

l'échelle de relation , L, , séparée de l'équation de relation ( 7 ). C'est même dans cette vue que nous donnons à l'équation de relation la forme de rectangle ( 7 ) , et nous en userons ainsi à l'avenir pour les autres équations de relation. Chaque position de l'échelle sera un cas particulier de l'équation de relation, et les positions où l'équation de relation n'est point satisfaite donnent les valeurs des termes à conserver au numérateur.

226. La fraction génératrice étant ainsi déterminée , rien n'est si facile que de calculer immédiatement un terme quelconque' de son développement (n.° 187). La fraction (10) donne, au moyen de nos formules, pour le terme général de la série récurrente ,

^„,„ = p"'.p'«.(^a-0 = ....(iq)

a-g"'.^'". cT^ -f- ^p'»-^ p'". a-* H- cp'"-^. p'«. a-» -H £?p «-5. p '«,«-»

-H etc. H- ^z«2,p2.p'«.a-» H- ^ï„i, d. p'«. «-' -h ^«^p'«.«-' H- ^'p"». p'«->.<^i -+- c^'p"». p'«-2. «-^ H- <i"'p'«.p'"-3.a-* -I- etc.

H- a^„2p'».p'^.Ar-» H- /ï,„iP«.d'.«-» -h a^n'^'^'Or'^ ,

formule qui est toujours composée d'un nombre fini de termes, et qu'il est aisé de développer ultérieurement, sur tout si l'on en écrit les séries à rebours : on se souviendra , dans le développement , que C et y' sont des dernières dérivées par rapport à d , et C' et y' par rapport à d'.

327. La formule que nous venons de trouver peut être mise sous une forme un peu différente , en ordonnant les développemens suivant A^ B^ C, etc., B\ C'y etc., c'est à- dire suivant les termes des lignes données de la série. Par là les résultats s'approchent davantage de ceux auxquels on parvient par d'autres méthodes. .

Ainsi , tout demeurant comme dans les numéros précédens , si l'on met au lieu de a^ by Cy etc. ^', c", d'" , etc. leurs valeurs données parles équations ( 1 1 ) et qu'on ordonne comme nous venons de le dire , on aura pour le terme général

DES DIÊRIYATIONS. 189

-H B {ap'»-'.p'''.«-» -I- ê'p'»-2.p'«.«-» } H- C {ap'»-^p'«.û5-^ H- Cp'"-3.p'«.à-»} -t- etc

-f- ^«-,, JaD-p'".»-! H- e'p'^.a-»}

H- v^m^-ap'".»-*

-h etc '

-4- ^,„-;{ap'».D'.«-i -H g''p'».«-»} + ^,n. ap".»-».