Appliquons tout de suite cette solution à un exemple

Exemple I." (*) Etant donnée l'équation de relation suivante , dans laquelle ^ = i — Z'»

ClAtn, n—\ /

avec les conditions, i.° que-<^»,,o= i tant que m est un nombre entier positif quelconque, et Am,Q = o si 77i = o ; 2.® que ^o,« = o lorsque n est zéro ou un entier positif quelconque; 3.° que la série soit renfermée dans la région des 771 et n positifs, c'est-à-dire, que Am,n = o toutes les fois que m ou n devient négatif : on demande l'expression du terme général de la série récurrente.

En comparant avec l'équation du n.° qq3, on voit qu'ici «y' = o, et que partant la fraction génératrice sera de cette forme ,

a -^ bx -\- cx^ -f- dx'^ -i- ex^ -f- etc.

-h b'j -h c'y 2 | dii'j^ | e'^4 f- etc.

oc -h Cv -h C'y

( * ) Voici une question des probabilités , dont cet exemple est la traduction analytique : « On suppose » qu'à chaque coup il puisse arriver deux événemeus dont les probabilités respectives sont p et 9 ; et on » demande le sort d'un joueur qui parieroit d'amener, dans un nombre de coups indéterminé, le second » des deux événemens n fois avant que le premier fût arrivé m fois, n

( Voyez le mémoire cité de Lagràncb , dans le recueil de Berlin pour 1776 , page 246. )

igO DUCAïiCUL

où il faut déterminer « , h, c, d, etc. ^', c", ^"', etc., au moyen des équations (il) du n.o 2q5, par les conditions i/* et s.*^' ci-dessus. Ces conditions donnent A= o^ B = i^ C-^= i , Z) = i , et généralement Ar^'= i , et j5' = o ,

C" = o , Z)'" = o , et généralement A^r = o ; on a de plus a =: i , é'== p ,

C' = — ^= — ( 1 — /?)• Les équations ( ii ) donneront a = o , ^ = i , c = i— /7,^= 1 — ;?, e=i — ;t7, etc. ar,-= i — ;? ; ^' = o , c" = o , £?'" = G, etc. <z,r = o. Ainsi la fraction génératrice se réduit. à

X H- Çi — p)x^ -\- (i —p)x'^ -4- (i — p)x^ -H etc. 1 — px — cjy

La formule (12) du n.° qq6 donnera donc pour le terme général demandé, en écrivant la série à rebours ,

(i — ^)(p'«.a;-i H- D.p'«.flr-^ + p2.p\a-i + p 3. ç '«.«"» -H etc. -h p^-a.p'^.a-^)

H- Lp^-^p'».»-».

Le développement réduit de cette formule se trouve facilement; car , puisque Ç et ë*' sont des dernières quantités , dont les dérivées sont zéro , on aura p'«.^-i :^ rb a"""' ê*'", où l'on prendra le signe -h ou — , suivant que n sera pair ou impair. De là on déduira D.p'«.a;-' , p2.p'«.a-i , etc. en prenant les dérivées divisées successives d de dr «-"-* C'" , où seul variant de S" : on aura ainsi j

(±^"-'g^" ^=(^+ Oor^-^gg^^dz-"^ +1.72 + 2 ^-^-5g.2gf„ I ^ 1.2

/ zn etc. =b — — , ^ ^ , i ar"-""*- ^Ô^'«-^Ô^'«

w + i.72 + 2 (n-\-Tn — \) ^ ^,

En mettant présentement à la place de oc, C, C' leurs valeurs 1 , — /?, — ^, on trouve j

l-^{n+i)p +J!l__r;,3 H ^ . pZ

etc.

DESDÉRIVÀTIONS. IQl

formule qu'on peut réduire à celle - ci

que Lagrange trouve par des principes différens à la fin du n.** 52 du mémoire cité dans la note précédente. Il suffit pour cela d'effectuer la multiplication par 1 — p j puis de réduire les coëfficiens en n. On parviendroit immédiatement à ce résultat en employant la formule du n.° 227.

229. On peut suivre les procédés des numéros 2 23 et suivans et de la fin du numéro 2 25 pour des équations de relation plus compliquées; on peut, si l'on veut , les appliquer à l'équation

s ^OT-2,n-a H- 0 Am-\,n~i "4" y ■Am,n-2. j -+- yAm-i,n H- ^Am-i,n + OcAm,n J

et l'on verra que , dans ce cas , il se conserve généralement quatre lignes au numérateur de la fraction génératrice , savoir les deux premières lignes horizontales et les deux premières verticales.

Il arrive quelquefois que, d'après l'état de la question , l'équation de relation commence à avoir lieu avant qu'elle soit remplie dans toute son étendue; alors le nombre des lignes du numérateur peut être moindre.

Si l'équation précédente manquoit des termes ^^Am-2,n-<i , ^"^m-i, «-a > et S'Am-2,n-i] on trouveroit encore , de la même manière , qu'en général il se conserve les mêmes lignes au numérateur que lorsque ces termes ne manquent point , c'est à-dire les deux premières lignes horizontales et les deux premières verticales.

230. Mais, sans: nous arrêter à des cas particuliers, il sera facile de tirer de ce qui précède les conclusions suivantes , générales pour une équation de relation quelconque, en supposant toujours que la série soit renfermée dans la première région et que ce ne soit pas zéro.

Une équation de relation double quelconque étant donnée , on fera toujours en sorte que les plus hauts indices de y4 soient m et n y car s'il y avoit les indices 7?i -f- i , ou t/* ■+- 2 , on n'auroit qu'à mettre m — 1 , ou m — 2 , au lieu de m dans tous les termes de l'équation ;,on en useroit de même à l'égard

ig2 DU CALCUI.

de n , s'il y avoit des indices /î -h i , /z -i- 2 ; et comme l'équation auroit toujours lieu , cela n'ôteroit rien à sa généralité.

Tous les termes de l'équation de relation ainsi préparée étant mis dans un seul membre , l'autre étant zéro ; il est clair qu'on pourra toujours regarder ce premier membre comme le développement de p»". p'". (a^) , en prenant pour dernières dérivées de « celles qui le sont dans l'équation de relation donnée ; c'est-à-dire qu'on peut toujours regarder ce premier membre comme le coefficient de o^"^" dans le produit de A -H Bx -h Cx"^ H- etc.

-h- B^y -H Cxy ~\- etc. multiplié par le ' 4- C'js ) etc.

H- etc.

polynôme double que donne l'équation de relation si l'on y met au lieu de

Am,n, Am-.x,n, Am,n-x-> Am-i,ny Am-x,n^x, CtC. leS quantités 1, X,J, X^ ,

xy ^ etc. respectivement, et généralement xy au lieu de Am-r,n-.i' De là il s'ensuit que

1.*^, Comme ce polynôme est le dénominateur de la fraction génératrice, on formera toujours le dénominateur d'après l'équation de relation mise toute entière dans un seul membre, en substituant dans cette équation i , x^ y^ aj2, xy^ etc. à la place de Am,nt Am~\,nt Am,n-\ » Am-2,n, Am^i/ti-i , etc. , respectivement.

2.° Si l'on représente par am,n le coefficient de x'^y' du produit ci-dessus , am,n^'"y" sera un terme quelconque du numérateur de la fraction génératrice : on aura donc pour le coefficient de ce terme

a„,„ = :d'».^'".(ocA) , (i)

où , en donnant des valeurs particulières k m et à n, il faut faire am/n égal à zéro, dans tous les cas où les conditions de la question le permettent sans absurdité , afin de satisfaire à l'équation de relation , laquelle est ici représentée par p^.p'". (a^).

3.^ La fraction génératrice étant ainsi déterminée , on aura, pour le terme ' général de la série récurrente la formule ,

Am,n = ■^'".:g'".(acc-'), (q)

où , en développant le second membre , on ne conservera des dérivées de a que celles qui représentent les coëfficiens conservés du numérateur, les autres étant zéro ; et, en développant ensuite p*". p'". a~* , on aura soin de prendre pour dernières dérivées de « celles qui le sont dans l'équation de relation.

DES DÉRIVATIONS. tgS

aSi. La principale difficulté consiste donc à déterminer les coëfficiens du numérateur. Voici, je pense, ce que l'on peut, d'après ce qui précède, prescrire de plus simple et de plus général à cet égard.

Soit l'équation de relation quelconque représentée par

on aura pour l'expression d'un coefficient quelconque du numérateur

Au moyen de cette équation et des conditions de la question , et en donnant à m et à n des valeurs particulières , on formera le commencement de la série récurrente , dont on disposera les termes sous forme de rectangle ; on n'étendra ce commencement de la série que dans la région des m et n positifs, si, comme nous le supposons ici , cette série est toute renfermée dans cette région et si ce n'est point zéro. On verra ainsi , en formant les premiers termes de la série, ou, en promenant l'échelle de relation sur le tableau des termes de la série déjà formés , quels sont les lignes ou les termes où am,n ne devient pas zéro, c'est-à-dire où l'équation de relation n'est pas satisfaite; les valeurs de am,n pour ces termes seront les coëfficiens des termes à conserver au numérateur de la fraction génératrice. Il sera ordinairement facile , après avoir calculé quelques termes de la série , de voir dans quelles lignes se trouvent les suites de ces coëfficiens : on se bornera donc à les calculer ou à en trouver l'expression générale , ce qui est toujours censé plus simple que de trouver le terme général de la série.

Cela fait , on aura pour le terme général de la série

comme ci -dessus, 3° du numéro précédent.

On verra par la suite que cette manière de procéder s'étend aux cas où ce est zéro et où la série n'est pas bornée à la première région. Avant que de l'appliquer à des exemples qui l'éclairciront , il convient d'indiquer un moyen d'abréger les développemens dans beaucoup de rencontres.

232. L'opération du développement de p'". p'«. cc~^ conduit en général à un grand nombre de termes lorsque les dérivées de ce sont nombreuses; mais la plupart de ces termes deviennent nuls quand oc n'a qu'un petit nombre de dérivées : voyons donc quelles sont les simplifications qu'on peut employer

194 /DU CAIiCUI.

dans ces derniers cas. Prenons un exemple particulier , mais suffisant pour tracer la marche à suivre dans de pareilles rencontres. Supposons qu'on ait à trouver le coefficient de x"'y'^ dans

(,C6 -h Coo -h yx^ H- y'xjr -}- g"'a:jy^3)-i. (i)

Ce coefficient est représenté par p'^.p'".»"' , et il est facile de voir que le développement de cette expression ne peut être composé que de termes de la forme ec~P. Ç^. 7^ y'*, g'"' , abstraction faite des coëfiîciens numériques.

Pour déduire de «-* un quelconque de ces termes par m dérivations divisées D et A^ dérivations divisées d' ; je remarque, i.^que, pour aller de « à g"', il faut , sur le tableau disposé en forme triangulaire , faire un pas horizontal et trois pas obliques; 2.° que, pour aller de ce à y', il faut faire un pas horizontal et un pas oblique ; 3.° que, pour aller de « à «y, il faut faire deux pas horizontaux ; 4'° enfin, que pour aller de a à g*, il ne faut qu'un pas horizontal.

Donc, 1.°, pour déduire g'"' de «-» il faut faire t dérivations divisées sur «-', en donnant à « la seule dérivée 5"; faire sur ^' qui en résulte, ^dérivations divisées d', en^ne faisant varier C que de y ; faire sur y'' que l'on obtient , t dérivations divisées d' , en ne faisant varier que y' ; faire sur J*"* que l'on obtient , t dérivations divisées d' , en faisant varier j'" seul : on aura de cette manière, pour le résultat de t dérivations d et 3t dérivations p' faites sur a'"*, la quantité ih «"'-^ g'"' ; ce qu'on peut exprimer ainsi : p*. p'^'.o-^ =iiza-'-'.g"'', le premier membre devant être pris dans un sens restreint , défini par ce qui précède , car autrement il auroit une signification plus étendue. Le signe -H ou le signe — a lieu , suivant que t est pair ou impair.

2.** Pour avoir y'', il faut, dans le résultat précédent, faire 5 dérivations divisées d sur «-*-' , en faisant varier « seul , ce qui donne

■±2 1 -^ ^ — «-*-^-'. Ç\ g'"' ; ensuite il faut faire , sur cette

quantité , ^ dérivations divisées d' , en ne faisant varier que Q , et l'on aura

-H (-^~i)(-^-0 i-ts) ^,,,^ f,^ g,„, = ©'■+-'. p'3* 4- ^ «-..

3.0 Pour avoir y*", il faut dans le résultat précédent faire r dérivations divisées D sur a-'-'-» , ec seul variant, ce qui donne

il faut ensuite faire sur C»-, r dérivations divisées d, g* seul variant , et l'on a

ntt

DES DÉRIVATIONS. IqS

__ pt+j + a/-. p'3t + *. g^i.

4.° Enfin , pour avoir C^ , il faut faire sur a-'-'-'^-» dans le résultat précédent ç dérivations divisées d , « seul variant , et l'on trouve

c= p'4-* + 2'--Hf.p'.3r + s.^-i :::= (^2)

le signe -t- ou — ayant lieu suivant que ^ -+- r H- j -h ^ est pair ou impair.

On a donc d'".ç'«. «~* = p*+* + 5r+y. pf3t + *.^-i ^ avec la condition cependant que les lettres ^, r, j, ù doivent recevoir autant de valeurs différentes qu'il y en a en nombres entiers positifs ou zéro qui satisfont aux deux équations

n = s -h 3t, Or il y a quatre indéterminées et deux équations seulement , ce qui montre qu'il y a plusieurs manières d'y satisfaire , qu'on déterminera toutes facilement par les méthodes de l'Analyse indéterminée : quand elles le seront , on les mettra successivement dans la valeur précédente de p'+'+^r-f-y, p'3*-+-^^-i, et la somme de toutes les quantités qui en résulteront sera la valeur de p». p'«. Û5-».

Si l'on a (a + ^^ -f- y'^j)'^ , on n'a qu'à faire dans ce qui précède r et ^ zéro, et l'on aura m z= (j -\- s^ et n =. s. Dans ce cas, il y a autant d'équations que d'indéterminées , et ^ et 5 n'ont chacun qu'une valeur , savoir q =zm — ^^et s = n. Donc le développement de d'". p'". a~^ se réduit au seul terme

, I. 2. 3 7n ^ , .72+1. 72 + 2... 77Ï „ ,jo„ „ u / \

le signe H- ayant lieu pour 772 pair et le signe — pour m impair.

Il suit des formules ci-dessus que, si le polynôme ne renferme, outre « , que deux autres termes quelconques, ou , plus généralement , s'il n'est composé que de trois termes, on a autant d'inconnues que d'équations, c'est-à-dire deux, et que partant chacune des inconnues n'a qu'une seule valeur , ce qui fait que dans ce cas le coefficient de x'"j" dans le développement se réduit à un monôme.

ig6 DUCALCUIi

On peut facilement tirer du procédé et du résultat précédens une règle générale, pour trouver hors de rang le coefficient quelconque de x^'y^ dans le développement de la puissance — i d'un polynôme où manquent tant de termes qu'on voudra , quels que soient les intervalles des termes restans , et même le coefficient de x"*y"^ dans le développement d'une fonction quelconque, d'un pareil polynôme , par exemple, de (p{oc'-\- Çx -f- yx^-\-y^xy -h- g'"^^)^ mais ce n'est pas ici le lieu de nous arrêter davantage à cet objet.

On peut même arriver par des voies différentes au résultat ( q ) ci-dessus ; car on peut commencer par faire sur oc~^ de ( i ) un nombre (j-\-r-\-s-+^tàe dérivations divisées d , en ne faisant varier que oc seul ; puis faire sur g"?-*- '■+*+' dans le résultat , r dérivations divisées d en ne faisant varier que Ç ; puis faire encore sur C? "+■*"*" S •* + t dérivations divisées d' ; ensuite faire sur «y'' + ' dans le résultat, t dérivations divisées d' en ne faisant varier que «y'j enfin sur <î"« du résultat, encore t dérivations divisées d'.

ExempleII.

235. Trouver le terme général de la table suivante , qui est le triangle arithmétique de Pascal , mis sous forme de rectangle ,

etc.

etc. etc. etc. etc. etc. etc. etc.

Dans cette table , toute renfermée dans la première région , la première ligne horizontale est toute formée d'unités , la première ligne verticale l'étant toute de zéro , à l'exception du premier terme. La loi de formation consiste en ce que chaque terme est égal à la somme de celui qui le précède dans la même ligne horizontale et de celui qui est au-dessus de ce dernier dans la même ligne verticale.

En désignant par Am,n le terme général demandé , la loi de formation de la table donne cette équation de relation

■/im,n yim~\,n -+- Am-\,n-l i OU O = -^ ( 1^

Comme la table ne s'étend pas hors de la première région , il faut faire zéro les termes des trois autres régions, comme il suit :

etc.

o o o o etc.

DES

etc.

Si maintenant on met ««^ « pour premier membre de l'équation de relation (i), en sorte qu'on ait ( — ^„i.„.x ^

( — -^m — ifit ■+■ -^iW/S >

et si l'on donne k m et k n des valeurs particulières , en promenant le second membre de cette équation sur le tableau précédent , on voit que am,n est zéro pour toutes les valeurs de m et de n , excepté à l'endroit désigné par des * , et que ce Ôas unique répond k7n = oetn = o; partant tous les termes du numérateur de la fraction génératrice sont nuls à l'exception du terme «oyo= ^ , lequel devient = i , parce qu'on a , pour le cas marqué par des * ,

La fraction génératrice est par conséquent

ce -\- Qjc H- y ocy i — x — xy

On a donc pour le terme général demandé

Or p'».p'«.«-i développé dans le cas présent se réduit ( n.° précédent) à ce

seul terme zti

1. Q.... {m — n) y' leurs valeurs i , — i , — i , on a - w-Hi. n -H Q. 72-f-3 m

f^m-i^-nyin. qi ^ en mettant pour «, C, m. Tn—i.m—<2 {m—n-\-i)

Lagrange parvient à la même expression par des voies différentes , numéros 10 et 14 du mémoire cité.

234. Si l'on suppose que les termes de la première ligne horizontale d'une table pareille à celle du numéro précédent forment la progression 1 , q , 4 , 8 , 16, 32 , etc. ; que la première ligne verticale, au premier terme près, soit toute formée de zéro , et que l'équation de relation soit

on trouvera pareillement que l'équation de relation a lieu dans toute la table, excepté à un seul endroit, à l'origine, où l'on aura a=i. Donc le numérateur n'aura de même qu'un seul terme , et la fraction génératrice sera

ce H- Coc H- y'xjy 1 — 2x — 2œy *

d'où l'on tire le terme général

comme le trouvent Laplace , Mémoires présentés , tome VII , pages 96 et suivantes, et d'après lui Cousin , n.° 576 de son traité de Calcul différentiel et intégral,

235. Enfin , si l'on suppose que l'équation de relation soit la même que n.° q33 , mais que la première ligne horizontale et la première ligne verticale de la série soient des quantités quelconques données , la série étant toujours bornée à la première région : alors il est clair que a^h^c^d^ etc., et^', c", ^"' , etc. ne sont pas nuls , et que la fraction génératrice est

a -\- boa ~\- cx^ -+- dx^ -4- ex^ -f- etc.

-+- ^y + d^^ -H ^"y5 } e^Vyk j etc.

1 — X — xy

ce qui, par les numéros qq6 et 232 , donne , à cause qu'ici a = 1 , Ç=. — 1 ,

Am.n ^

j (tti— 1 )(7^^— 2 )... (a2 + 1) ,, m(m— 1), n

(/?^-2)(m-3)....(/^+ l) » m(yy^ - 1 ).. . . (/^~ i )