Étant proposée l'équation de relation

Am^n •■=^ pA.m—i,n—\ ~\~ ( 1 p jAm—ifti ,

avec les . conditions que , la série étant renfermée dans la première région , Am,o = 1 , m étant zéro ou un entier positif quelconque , et que Ao,n = o , tant que n est >- o, c'est-à-dire, tant que n est un entier positif; trouver l'expression du terme général Am,n en ^ et i — p.

Je fais , pour abréger , i — p =i cf , et j'écris ainsi l'équation de relation

( — pAm-i,n-i l

( ^Am—i,n ~4~ Am,n )

Les termes de la série étant zéro dans toutes les régions autres que la pre-

(♦) Cet exemple est la traduction analytique du problème suivant, qui est le premier de Lagrange. Voyez le numéro 49 du mémoire cité.

K Un joueur parie d'amener un événement donné n fois au moins en un nombre m de coups , la pro- « habilité de l'amener à chaque coup étant p , et par conséquent celle de ne pas l'amener 1 — p = q i K on demande le sort de ce joueur. »

200 DUCALCUIi

mière, il est facile de voir, en calculant au moyen de l'équation de relation et des termes donnés les commencemens de quelques lignes horizontales et verticales de la série , et même sans les calculer , que l'équation de relation n'a pas lieu quand n =z o , m étant = o ou > o, c'est-à-dire que a„^o n'est pas zéro quand m = o ou >■ o ; mais que am,n = o pour toutes les autres valeurs de m et de n. On a donc

d'où l'on tire ao,o = — qA x,o H- -^o^o = -^o/o = i , et Ui^^ = a^^Q = as,o =

La fraction génératrice sera donc