m — n — i) ' ' 1. Q {m — Il

C'est l'expression demandée. On peut la mettre sous une forme un peu plus simple ; car , en substituant i — q an lieu du p entre les parenthèses et réduisant les coèfficiens en n et t^^ , on aura

DES DEHIVATIONS. 201'

ce qui est l'expression que trouve Lagrange au numéro 49 du mémoire cité.

237. Si dans l'exemple précédent on avoit pour première condition que Am,o = (1 — p)"^ = 9"* 1 ^^ étant un nombre entier positif quelconque ou zéro , le reste demeurant le même qu'au numéro précédent , on verroit aisément que l'équation de relation seroit toujours satisfaite , excepté pour les cas de

1 — pAm-i,-\ j , ^

( (J Am— ifO +" Am/o

Am-if-i étant zéro , puisqu'il tombe hors de la première région.

Pour ces cas même, ao^o = a= Ao^o =1^0 z=zi est le seul terme du numérateur qui ne soit pas zéro ; car on a

«i;o = — ^AofO H- Ai^o = — ^q^ +. ^ = o ,

«S;0 = qAi^o +• ^2,0 = — ijq -^ ^2 =: O ^

et généralement -

am,o = — ^Am-xio -H Am,o = ^^'""^ -^ Cj"" = O y

de sorte que la fraction génératrice se réduit à

oc -+- Çoc -H y'œy 1 — px — ijxy *

ainsi le terme général se réduit au seul terme i.p^.p'".»-' , et l'on a, sans aucun détour,

yim.n = — r— 0«^'«-».

C'est ce que trouve Lagrange, n.<> 5o du mémoire cité.