I -f- etc. H

ce qui coïncide avec l'expression trouvée par Laplace, Mémoires présentés, etc. , tome VII , pages i3o et i3i , en faisant attention que mex n sont ici ce que Laplace désigne par a;— 1 et w.

(*) Le problème des probabilités qui conduit à cet exemple est le suivant: «Deux joueurs, dont les adresses « respectives sont dans la raison de ^ à 9, jouent ensemble de manière que sur un nombre m de coups il «.en manque n au premier joueur et consèquemment m — n au second, pour gagner ; il s'agit de déterminer « 1^ probabilité respective de ces deux joueurs. » C'est le problème XIV de Laplace , Mém. présentés , tome VII, page 129, rapporté par Cousin, numéros 586 et 587 de son traité de calcul différentiel et intégral. •

DES DÉRIVATIONS. ÛOS

aSg. Ajoutons l'exemple suivant , traité par Laflace dans son mémoire sur les suites (Acad. de Paris, pour 1779» pag. 287- 290), afin de faire voir que notre méthode conduit directement à la solution de ce cas.

Exemple! y.

Soit proposée l'équation de relation

avec les conditions que , la série ne s'étendant que dans la première région , les termes ^0,0» ^1,1» etc. , Am,o-, etc. de la première ligne horizontale, et les termes A 0,1 , A 0,7. , etc. , Ao^n » etc. de la première verticale soient des quantités données quelconques : on demande l'expression du terme général Am^no

Je mets m — 1 et n — 1 à la place de w et de /2 , et l'équation de relation prend cette forme

\ — y Am—i,n—i — b Am^n-l

équation qui coïncide avec celle du n.° qqS , si dans ceïle-ci on fait a = 1 et qu'on donne le signe — à C, ^', y'; et les conditions sont aussi les mêmes qu'aux numéros qq3 et suivans. On aura donc par la formule dun.° sa; , en y écrivant les séries à rebours ,

Am,n = ' (1)

^m^op'".»-» H-^^^-i^oCd-p'".»-» — ê"p'«.a-0 -H -^m.2;o(p2.p'".flr' — g'D.p'«.a-) + etc. -i- ^,,o(ç'"-».p'''.a-' — g'p'»-2.p'«.a-0 -H^o^oCp^-p'^or^ — g'p'»-^p'''.«-0 -f-^o,«p'".a5-' H-^o,«i(p'".D'.Ar> — g"p'".a-») + -^o,«.2(p'".p'2.a-' — Ô^'p'".©'.»-') -l-etc. ^-^o^iCp^-p'^-^a-^ — ^p'».p«-2.a;-0 — vifo;o. ^'p''.p''-'.aî-^

Il est trop aisé d'avoir , au moyen de nos méthodes , les développemens réduits des quantités affectées de d et de d', pour que nous les placions ici, il suffira quand on les aura trouvés, de mettre 1, — 5", — C'j — y', à la place de ct^ Ci C , y' respectivement , les autres dérivées de ce étant zéro.

Si dans la formule à laquelle parvient Laplace , page 2 90 , on exécute les substitutions et les développemens indiqués , et qu'on ordonne suivant Am,o > Atn-ifO, etc., Ao^^y ^o,a-i, ctc. , on aura la formule suivante, remarquable par la loi qui y règne ,

204 DUCALCUI.