y 4- C^?')^ ^-^ C'"-^ 4- etc

Il est aisé de s'assurer que le développement réduit de notre formule ( i ) s'accorde avec la précédente ( 2 ) , les parties des termes étant seulement ordonnées d'une manière différente dans celle-ci. On peut donner une démonstration générale et rigoureuse de l'accord des deux formules en démontrant d'abord la vérité du développement suivant , remarquable par l'élégance de sa loi , savoir : les seules dérivées de u étant C, C et y', on a

DESDÈRIVAÏIONS. 205

n«.p'«.ûri= it «-«-«-1 ^ m.m-i //.«-i -„,«,„, ««, ,v, . >, ...(3)

*^ '^ ) H . Ç'«-2^'«-2/gj^'^y')2 |, etc. V ^

en continuant la série jusqu'à ce qu'on arrive à des coëiïiciens qui deviennent

zéro. Or la démonstration de ce développement se déduit assez facilement (*)

de celui de p'».p'''.«-^ qu'on trouve par nos méthodes, et qui est (n.** i5o)

240. Nous n'apporterons pas un plus grand nombre d'exemples ; les précédens, quoiqu'ils soient très-simples et que l'équation de relation n'y soit composée que de peu de termes , suffisent pour faire entendre la méthode et pour montrer qu'elle est générale , quel que soit le nombre des termes de l'équation de relation , pourvu que la série ne s'étende que dans la première région et que oc ne soit point zéro. Mais si ce est zéro , ou même , en général, si la série s'étend dans d'autres régions que dans la première, alors cette méthode, quoiqu'elle ne soit pas en défaut, à proprement parler, a besoin cependant qu'on lui donne plus d'extension , et présente des difficultés qui ne se rencontrent pas dans les cas déjà traités.

(*) En effet, en développant par len.** 3 les premiers membres et par le n." 87 ou 9g les seconds membres des équations

Dnim+n Dn(l'n.ln) Ttiim+n-l nnfim.in-l) n.Tl-l D" 1 "'+''-» n. 71-1 vfjm.in-V)

= ', n z=n — i , = — ^ -, etc.,