Z l.Sx.n 1.S.../I 1.3...n I.21.2.../Z

Di étant .= 1 , et les dérivées divisées suivantes de i étant zéro, on trouve sans peine

7re4-i.7n-J-2...(7n-f-«) m.m-l n.n-i m. m-i. m-z n. n - i. n - 2

' ■ = 1 -f- m. n -1 ■ • — H „ • h etc. ,

■m m-t-i. m-4-9. . .(m-4-ra-i) m. m-i n.n-i , » OT...jn-2 n...n-2 m...m-Z n...n-Z

T ^. a (»-o ="'"-"+^-Tr-T'--rrr"^^-T-rT--T:TT+-^-r:i:5:4-i:^.4'^^'"-'

etc Substituant ces séries dans le développement (4), il devient

± ef-m-n-i Ç/nÇ'n ± /n. ra. «"n»-»- > ff'nÇ" i — ' "^ * — '■ Z jj-m - n- I ÇmÇvt -+• g» ^

n: m. n. a-ra-n Çin-l Ç n- I y' 3- 2. ' Çj -m-/i Ç m - 1 gi n- ' <v' j- etC.

2; . flt-m-n+ I h "«-ah ' "-'v'a ~>~ fifr.-

Cette formule, réduite par colonnes verticales, donne la formule (3) ci-dessus.

Fff

etc.

^06 DUCALCUL

(II-

241. Si la série s'étend dans les régions à exposans négatifs de x ou dé y, alors , pour former la fraction génératrice d'après l'équation de relation et les conditions de la question , après avoir fait en sorte -que les plus hauts indices de A dans cette équation soient m et n, on formera le dénominateur comme 1.**, n.® '23o. Ce dénominateur n'aura donc de cette manière que des exposans positifs de oc et de jy.

Puisque le numérateur est en général égal au produit de la série multipliée par le dénominateur , il est clair qu'en général il s'étend aussi dans les régions des exposans négatifs de x et de j^ : il est donc nécessaire d'examiner quels sont les termes où am^a , dans r ^ -,

ne devient pas zéro , en donnant k m et à n des valeurs particulières , nonseulement positives, mais encore négatives; [A] indique, comme ci -dessus n.° q3i , l'équation de relation dont on a fait passer tous les termes dans un seul membre.

A cet effet il faut , au moyen de l'équation de relation et des conditions de la question , calculer quelques-uns des premiers termes de la série , nonseulement dans la première région , comme n.° 23 1 , mais encore dans les autres régions : on verra ainsi quels sont les lignes ou les lieux où am^n ne devient pas zéro , c'est-à-dire, où l'équation de relation n'est point satisfaite; avec ces valeurs de am,n on formera le numérateur de la iraction génératrice.

242. Cela ne suffit pas dans ces cas : il est de plus nécessaire de savoir par quel terme du dénominateur il faut commencer le développement de la fraction génératrice, c'est-à-dire, si le dénominateur est par exemple Cx 4- C'y l yT^a ^ y'xy, il est nécessaire de savoir si c'est €" ou ë"' , ou un autre coëfGicient qu'il faut faire entrer dans l'origine des dérivations : on se décide ordinairement en examinant quelles sont les régions dans . lesquelles s'étend la série récurrente , les limites de la série dans ces régions , la direction de ces limites, et ensuite les formes du numérateur et du dénominateur.

Quand oc n'est point zéro et que la série est renfermée dans la première région , c'est-à-dire , dans les cas traités précédemment, il faut toujours commencer le développement par oc : mais il n'en est pas de même dans le cas où, sans que ce soit zéro, la série s'étend hors de la première région, ainsi que nous le ferons voir par la suite.

DBS DERIVATIONS. ZOJ

245. Voici à présent un théorème au moyen duquel on peut trouver l'expression du terme général , en commençant le développement par un terme quelconque du dénominateur , ou bien , pour nous exprimer à notre manière , en faisant entrer dans l'origine des dérivations un coefficient quelconque du dénominateur.

Théorème.

Étant proposée la fraction

a-{- bx -h cx^ -f- dx^ ■+- etc. \ (" « H- C^? 4- y J5 -f- ^x^ H- etc. '^ - ^ -H Z»y H- dxy -H d'xy -h etc. / \ H- ^^ H- y'^y + Sx^y -f- etc.

-f- c'y» -j- d'^xy^ -H etc. > X \ "+■ y'!x^ "^~ <î"-^J^ H- etc. \ ,

-|-^"y3 H-etc. I I -l-(î'''y3 -}-etc.

-f- etc. J l -+- etc.

et le coefficient de x^y^ dans son développement étant représenté par Am » ; ce coefficient , en prenant pour origine des dérivations non aoc~^^ mais en général aur,s~^ 1 otTfS étant le coefficient de xy^ dans le dénominateur , sera donné par la formule suivante : >

/^îp'» + ^p'«-^^ar,,-»— Ç'»+2^ç'«+2..(^.^^^^-2)4«p«r+5r.pf« + 3..(^2.Q,^^ -3) - etc.} , | 3 j p« 4-7-1 .p'« + '.oCr, S-' - Ç'" + ^'-'.p'" -^ ^'i0C.0Cr,s-^) H" p'"-+-2^->.p'''+3-.(«2.^^^^-3) etc. }

+ etc.

-H J' { p'"-+-''-2p'«4-'-i,«^^,-i pw+ar-a.n

rf- etc

l c" ; p'«+^p'«+^-2.a^/.-» - p'»+2r.p'«+2^-2. («.«,^,-2) + p'»+3''.p'«+2x-2.(«2.Qj^^^-3^ etc. {

+ ^"{etc. J -H etc ,

où l'on a en général pour un terme quelconque qui entre dans la composition

de cette formule :

fpm-hr-p pr„+,y^^^^^, pOT+2r-.i>,p^a + 2^-î. (a. 05,^,-2) 1

'*^'^J4-p'"+2''-^.p'«+3*-î.(a2.a,^,-3)pm + 4r-p,p'« + 4.-î.(^.3^^^^-4)^etc.^V p Qiq pouvant être positifs ou négatifs ensemble ou séparément. On rejettera les termes et les parties de termes où les indices de d ou de d' deviennent négatifs , ce qui fait que la formule est toujours composée d'un nombre fini de termes.

Pour le développement réduit de cette formule , il faut observer ce qui suit : Supposons que Ur,s soit «3,3 = i" ; en écrivant les coëfficiens du dénominateur suivant l'ordre qu'ils occupent dans le polynôme, mais en les disposant en rectangle , on mènera les deux lignes de démarcation comme on les voit ici :

S s i fi etc.

etc.

etc

i' fl & etc.

etc.

gin

etc.

giir

etc.

De la position de ces lignes on tire les conséquences suivantes :

1®. Toutes les lettres renfermées dans l'angle ont des dérivées indéfiniment tant par rapport à d que par rapport à d'.

2.° Les lettres des deux premières lignes horizontales ont des dérivées indéfiniment selon D , mais celles de la seconde de ces lignes , à commencer par g', n'ont pas de dérivées selon d'.

3.° Les lettres des trois premières verticales ont des dérivées indéfiniment selon d' ; mais celles de la dernière de ces lignes , à commencer par g" , n'ont point de dérivées selon d.

Si c'est par Ur,s en général que commence le développement , la ligne horizontale de démarcation sera placée après ^. lignes horizontales, et la ligne verticale , après r lignes verticales de coëfficiens du dénominateur.

On regardera au reste ce et ^", ou et et «r,,, comme des premières quantités.

244* Nous allons indiquer l'analyse qui conduit à ce théorème et qui lui sert de démonstration.

Supposons qu'il faille développer la fraction proposée en prenant pour origine des dérivations aocifx"^ , c'est-à-dire aJ'~* ; je divise le numérateur et le dénominateur par x^y qui multiplie S' » je fais ocr^y-^ = z (on feroit x-^y' = z, si l'origine des dérivations étoit ^ar,*"') » et j'ordonne suivant les dimen- . sions de a; , j' et z j la fraction proposée prendra cette forme ,

DES DÉ niVATlON

hxz

Vyz

ca;22 éxyz

dx^z o

d"xy^z d'y^z

etc.

o etc.

etc.

-H s'y "H ^"^j + yi^'^y + ^"«^?r

cez