etc
De cette manière chaque polynôme double a été transformé en polynôme triple incomplet , car z n'y est qu'à la première puissance ; et chaque polynôme a été séparé en deux triangles , dont le second n'a que la première ligne horizontale et les deux premières obliques ; le nombre de ces lignes est déterminé par les indices de «2,1 , par lequel on commence le développement : ainsi , si on commençoit par ccr,! , il y auroit s lignes horizontales et r obliques. Les deux triangles de chaque polynôme sont tels que, le premier étant placé dans l'espace vide du second, les coëfficiens vont de suite sans interruption. On remarque qu'en prenant S' pour premier terme du dénominateur et
Ggg
210 DUCAIiCUL
aS'-^ pour origine des dérivations, il faudra regarder les coëfficiens a, ff, C', etc. du second triangle , indiqué par b-s , comme les dérivées par rapport à z des coëfficiens du premier triangle , indiqué par a ; de sorte qu'en désignant par d'' la dérivation relative à z, on aura d''.^' = «, t^.d'.^', = d'.«' = Ç, d'.d''.(Î' = D".g" = C'j P^.d''J' = d'.^' = y , et ainsi de suite.
Représentons par (a) la. fraction précédente entière et les parties triangulaires qui la composent par les lettres que nous avons mises à la suite de ces parties , et nous aurons
(a) = ^,~^,,^^ = (21 -+- î&z){a -{- jy\a.z)-^ = ^ ' a+D'. a. 2; ^^
(2Ï 4- S52;)(a-» -H D''.a-».2 H- p''2.a-».22 |^ ^''3.^-1.^3 | p''4.ft-i.z4 -1- etc.), ou , en effectuant la multiplication par 2Ï -f- S32 , et écrivant le produit partiel par ^z le premier ,
{^a) =z S5.a-^z -h aS.D'.o-^z^ | s8.p''2.a-».23 h- «J5.p''5.a-'.z4 -h etc.
-f- 3t.a-* H- 2Ï.D''.a-^z + 2ï.p''2.a-i.22 4- 5ï.p''3.a->.23 f 2ï.p''4.a-».z4 + etc.
De là on tirera aisément le coefficient de x"^y^ dans le développement de (a). En effet, puisque z est ici= x-'^y-'^ , les termes affectés de x^y^^ x'^ + ^y^-^^Zf a;«+4jn + 22;2 ^ ^«i+e^n-f-s^S ^ ©tc. , 0;'"+ ^/^^«-'-/'zi' , etc. seront tous des mêmes dimensions x"y'^. On voit donc, qu'en substituant dans la dernière équation, au lieu de 95, 5t et a, leurs valeurs en séries ordonnées suivant xety; pour avoir le coëfij|ient de x'"y'^ dans(«), iliaudra prendre le coefficient de x"" + ^y» + » dans as.a-^z , ensuite celui de aî'"+4y«+2 Jans ^,y''.<r^.z^j et ainsi de suite, puis le coëf&cient dex^y"^ dansSï.a-», le coefficient dea;'" + 2j^''+i dans2ï.p''.a-^z, et ainsi de suite; de sorte qu'on aura, n." 187, en ordonnant par rapport à a, bj c, dy etc. h\ c', d'j e\ etc. c", d'\ etc. et désignant par Am,n le coefficient de x^y^ dans {a) ,
aCD^^ 2.p'«+ i.^'-t 4- PW + 4.P'» + 2.d'' J-i H- p^-f-e.p'fl + S.pVa, j^f-, ^ g^ç j -t- ^'(p'» + ».p'''+ '.,î'-^ 4- p'« + 3.pr«+2,j3'f^^f-i ^ p'« + 5.p'«-+-3.pV2.^^-i ^ gjç j
4-c(p'«.p'«+^(î'-^H-p'"+^.p'« + 2.D''.J'-i4-p«z+4p'«H-3.pV2.j'-i^etc.) -h etc.
+ ^'(p'»+2.p'nj'-i -+- p'« + 4.p'«+l.D''.(J'-l 4- p*»+6,p'«-t-2.pV2jf i ^ejçy ^c'(pm + i.p'»J'-i -j- p'» + 3.p'« + i.D''.J'-i^P».-t-5. p'« + 2.p''2.^U 4- etc.)
-l-,^'(p'«.p'«.(^'-i 4- p'^ + ^.p'" + i.d''.(J'-i 4-g'"-+-4.p'« + a.p''2j'-i 4- etc.) 4- etc. 4- c"{ etc. ) 4- etc.
DESDERIVATIONS. 211
A présent , si on reporte les yeux sur le dénominateur* de la fraction pro- ■ posée , on verra que toutes les dérivées des lettres simples du premier triangle a , où d'' auroit un indice supérieur à l'unité , sont nulles , car il n'entre dans le second triangle hz d'autre puissance de z que la première. Ainsi ç''^.^' = o, p2.D'.p''3.J' = o, p''2.g' = o, etc. De là il s'ensuit que, a étant la dérivée d'' de S' , comme on Va vu ci-dessus , il est évident qu'on a d". S'-' = — J'-^d'. (J' = — ^'-^ ce,
etc.
Substituant ces valeurs dans la formule précédente , on a pour le coefficient cherché de dc^y^ , >
«Cp^+a.p'n+i.J'-i - Ç'« + 4.p'« + 9.(^.J'-2)^, Ç'B+e.p'n + S.^^s.^'-S) — gtC.) -H Z»(ç'»+'.g'« + ^(J'-i — p^ + S.p'n+a (^.^^-2^ |, p'» + 5.p'« + 3.(^2.J'-3) etc.) H- etc
-j-^Yp«+2.p'«.^'-i ^ D'"H-4.p'«4-i.(^.^'-3) ^ p'» + 6.p'«+2.(^2j'-3) etc.)
-Hc'(p'» + ï.p'''.(i^'-» — p^+^.p'^+'.Ca.^'-^') 4- p'" + 5.p'/r + 2.(Q52.^'-3) etc.) H- etc. H- etc. ,,
On voit en outre par la forme du second triangle I6i que jf g , ii rj, etc. n'ont pas de dérivées selon d' et que y', S'\ s"i i'^tti^i etc. n'en ont point selon D ; ce qui fait voir la nécessité des lignes de démarcation dont nous avons parlé dans le numéro Q43. ' .
La même analyse s'étendant en général au cas où l'on prendroitar^/O^D^* pour premier terme du dénominateur, on en conclud aisément le théorème précédent, qu'il s'agissoit de démontrer.
Ce théorème est du à Français, Professeur de Mathématiques -à Colmar;
• je lui avois communiqué mes méthodes de dérivation et l'application que j'en
faisois aux séries récurrentes doubles , ce qui lui a fourni l'occasion de trouver
ce théorème et de faire des observations sur les cas où les séries récurrentes
doubles s'étendent dans différentes régions.
245. Des applications à des exemples vont éclaircir les règles que nous venons de donner.
ai2
du calcui.
Exemple V.^
Soit proposée l'équation de relation
o -*^Wy«-J t
dans laquelle ce est zéro , qu'on ait pour condition que les termes A , B', C\ Z)'", etc. de la première ligne verticale de la série soient données ou arbitraires , ceux de la même ligne étendue dans la quatrième région étant zéro , et qu'on suppose zéro tous les termes de la série dans les seconde et troisième régions : on demande l'expression du terme général Am,n de cette série.
En disposant les termes donnés par la question , comme on les voit ici ;
-^OyO
Ao,2
etc. ,
on verra facilement , en promenant sur ce tableau de la série le second membre
y Am-ifti-'l ~\- h Attifii-^x
de l'équation am.^» =
Un
I » qu'
on pourra faire <2«,« == o
pour toutes les valeurs particulières de m et«, excepté aux endroits qui répondent à tfoyi, «o;2» ao,Zt 6tc. ao^nt etc., pour lesquels on a généralement
ainsi ^0,0 étant = o , les seuls coëfficiens qui restent au numérateur seront h' = Ç'^0,0 , c" =&Ao,x ,d"> = ê"^o,2, e'^ = Ç'-^o,3, etc. ao,n = C'Ao,n-i , etc. , et la fraction génératrice sera l,y H- cy^ -+- d'y^ -t- e'y^ -h etc. + <ïo;B-iy" -f- «o;«r" + * -4- etc.
--h C'y -h y'ocy Puisque la série ne s'étend pas dans les régions des exposans négatifs de a?, on voit qu'aucun terme n'y sauroit être affecté de a?-» , x-^ , etc. , et que dans
le
T> t s DÉRIVATIONS. 2l3
le développement de cette fraction on ne peut prendre ni Coo ni y'xy pour premier terme du dénominateur , mais qu'il faut prendre €'f ; ainsi l'origine des dérivations sera aC'-^ , et l'on aura par la formule du n.** 243 , en y faisant r=o et s= 1 , et mettant au lieu de a, h\ c", ^"', etc. leurs yaleurs précédentes ,
Am,n = ( 1 )
C'^,ofp'".p'«.^'-^ — ç'».p'«+ '.(«.€"'-=') -H p'».p'«+^(«2.^'-^) — etc.} -f-^'y^o^iîp^.p'»-!.^'-! ^ p'».p'''.(a.^'-^) -h- p'".p'''+».(«»2.C'-3) — etc.}
+ etc -:
. -f-^'^o.«lp'».C'-^ — p'».D'(a.C'-0 -+- p'".p'^.(«^.C'-5) — etc.} -f-C'A^ + ilp'-p'-'-^-'— P'"-(«-^'~') H-. P'".»'.(«^.^'-2) - etc.}
~h etc
-f-^'^o,«4-'«{p'"-p'-"'-^'-' ^p'».p'-'« + ».(«.C'-^)-Hetc. =b p'».(a'».Ç'-'»-0}.
Puisque r = o et j = 1 , les lignes d'origine ou de démarcation prennent ici
la position suivante (n.** 243 ), en disposant en rectangle les coëfficiens du
dénominateur , «
Ainsi ni « ni C' n'ont de dérivées selon d' , car «y" est zéro. Donc tous les termes de la formule précédente ( i ) affectés de d' avec des indices positifs sont nuls, et, tous ceux à indices négatifs devant être re jetés, la formule se réduit à > , .
Am,n = ( 2 )
■rj^o,«p«.e'-^ — ^o,«+',p'«.(a.^'-2) -f- ^o,n + 2p'".(û;2.^'-5) — etc.
q:: ^o,n+m-i^'^. (oc"'-'. €'-"") ±: ^o,«+mp'".(a'".^'-'"-*)}.
Donc, à cause de « = o, n.oc = C, et p^.a, d^,^;, etc. = o , on trouve, en exécutant les dérivations sur oc , qu'on fera zéro ensuite ,
— etc. =b Jo,n+m.C'"C'-"'-']^ Or on a ici ^m-k^^i-k-i ^
le signe + ou — ayant lieu suivant que m — A est pair ou impair.
2l4 ©UCALCUL
Donc on a enfin . '
-<4»ly« . I ..... (3 )
H- etc. -1- ^o,«-hin-..>W7'C'"-ï -f- u4o,n-i-m.C'^] ,
le signe supérieur ou inférieur ayant lieu suivant que m est pair ou impair. Ce résultat s'accorde avec celui que l'on peut déduire d'une solution différente du même exemple , donnée par Laplace dans les mémoires de Paris , année 1779, n."*XVII, page 267.
Si l'on fait n négatif dans la formule ( 1 ) ci-dessus , on trouve , en rejetant les termes et celles de leurs parties où les indices de d sont négatifs et ceux de d' négatifs ou positifs ^ o , que cette formule se réduit à la suivante :
±: g"î AoP^C»"-^'"""') — AiP'"-('»""^'-^'~''~') ^- A^P'^-Ca""^"-^'-"-^) — etc. j laquelle , à cause que a = o et que sa seule dérivée d est ê", devient
-/i CTy— n • • ( 5 )
±:C'î^o,o.ê'''ç'«-^g''-"~^-^o,i.g" + ^ç'"-"-^^'-"-^+^o,2.g«+2p'»-«-2.g''-«-3 etc.^ D'où il suit que Am,-n n'est zéro qu'autant que ni est <[ n. Ainsi la série récurrente s'étend , sous forme de triangle , dans la quatrième région.
