EXEMPLE-VI

246. Étant donné le commencement de la table suivante, où chaque terme est formé de la somme de celui qui le précède dans la mémeiigne horizontale et de celui qui le suit d'un rang dans la ligne horizontale immédiatement supérieure , avec la condition que chacun des termes de la première ligne horizontale soit égal à l'unité : on demande le terme général de cette table :

•^ "^^î\ * i 1 1 11. etc.

1 Q 3 4 5 etc.

2 5 9 14 20 etc.

5 14 28 48 75 etc.

14 42 go i65" 275 etc.

etc. etc. etc. etc. etc. etc.

L'équation de relation est Am,n = ^m^i,n -H ^w-f-i^n-i; j'y metsm — 1 au lieu de m, et elle devient *^^ ri|t -^

DES DERIVATIONS.

ainsi ec est zéro ,ê'=i, S' = — i,y = — i,les autres dérivées de oc étant zéro.

Je continue la table proposée dans les autres régions au moyen de l'équation de relation , et j'ai ce tableau

etc

etc.

q8 go

etc.

OÙ les Termes marqués par des points demeurent indéterminés, parce que rien de ce qui est donné ne peut conduire à les déterminer; ils sont donc arbitraires. Faisons les égaux chacun à zéro. On pourroit leur donner d'autres valeurs, sans que la partie de la série comprise dans la première région en fut altérée. Je vois facilement que dans la supposition que nous venons de faire , l'équation de relation a lieu dans toute l'étendue de la série, excepté aux deux endroits après les termes desquels nous avons mis des*; ces endroits répondent aux termes tf 1^0 et a^i^i du numérateur, dont les valeurs sont

tous les autres coëfficiens du numérateur sont donc zéro. Ainsi le numérateur se réduit à x—x-y y et la fraction génératrice est

kX) ~~" ^Xy

bx + a^i^i.x~'^Y

X — x^ — y Çx -^ yx^ + Çy

Ici le développement doit commencer par ^, de sorte que l'origine sera aC'^,

ai6 DU CALCUL

et, en faisant, dans le théorème du n.** 143 , r = i et s = o , on aura, en observant qu'ici l'indice p de ap^q devient aussi négatif,

^{p^.p'».?-» — p^+^.p'^.Ca.^-a) -H p^ + a.p'n. (^2.^-3) __ etc. } , + /ï.a,,{p'«+^.p'«-^C-^ — D'"+3p'«-i.(^.^-3) |^ p'» + 4.p'«-i.(«2.f-3) etC.j. Les lignes d'origine ou de démarcation prennent dans ce cas la position suivante , en mettant les coëfficiens du dénominateur sous la forme de rectangle ,

oc Q y

Ainsi X n a point de dérivée selon d , donc le signe d n'affecte point a, ; et puisque , par la nature du dénominateur , « n'a d'autre dérivée selon d' que C' , on donnera facilement au développement précédent la forme suivante, en mettant pour b et a^i^i leurs valeurs 1 et — 1 ,

p'«.p'''.g'-» — e''p'»+».p'«-».g'-2 H- g''2p'»+2. p'«-2.^-3 __ etc. p'^+^.p'n-i.g'-i | g''p-»H-3.p'«-i.^-2 __ C'2p'"+4.p''»-3.g'-3 4 etc.

Mais , Ç n'ayant d'autre dérivée que y , tous les termes dans lesquels l'indice de d' n'est pas nul ne donneront rien : il n'y aura donc dans la première ligne de cette formule qu'un seul terme à conserver et un seul dans la seconde ; et l'on aura ainsi

OU , ^n développant encore ,

,w,vh!Ti»V r ■ ^1 (n4-i)(n + <2)(n-{-3). . . .(Qn4-7n) ^

Mettant pour g', ^', y leurs valeurs i , — i , — i , on aura

^1^^ ^ — — -^^ ^ ( 77i -j- 1 ) , ou bien