Étant donnée l'équation de relation

^mjii = p^m-i,n-\. "f- ( 1 '-p)Am-x,n-\-l » (l)

avec les conditions que Am,o = i , m étant un entier positif quelconque , et que^oyn=o, n étant un entier quelconque positif ou négatif, excepté lorsque in = o , auquel cas ^0,0 = 1 î qne de plus on suppose A„^a = o pour toutes les valeurs négatives de m : faisant 1 — p = q^ pour plus de simplicité , on demande le terme général.

Je mets d'abord /2 — 1 au lieu de n dans l'équation de relation , et je l'écris ainsi

O -^AmfH^i; (a)

— ^Am—iffi

on a mis un o dans le second membre pour conserver aux termes leurs places

dans la disposition en rectangle. Au moyen des conditions données et de

l'équation ( 2 ) , je calcule le commencement de la série et je trouve

etc.

^ o etc.

etc.

q^-^iq^p

etc.

q^q'ip^'Xq^p'i^

etc.

p-\'P^q'\''ip'^q'^^

etc.

p^ + Qp^

p^-^ap'^q

etc.

(*) On est conduit à cet exemple par le problème V de Lagrange, numéros 58 et suivans du mémoire cité, savoir : «< La probabilité d'amener un événement donné à chaque coup étant p , un joueur parie qu'en « m coups au moins il amènera cet événement un nombre de fois qui surpassera de n le nombre des fois « qu'il ne l'amènera pas. »

ai8 * ^ D u c A I. c u I.

Si l'on examine sur ce tableau les lignes et les lieux où l'équation de relation

n'est pas satisfaite , c'est-à-dire où am,n n'est pas zéro dans

on trouvera que cela a lieu pour les seuls termes désignés par des * , et qui répondent aux valeurs de ^o^i , ^1,1 , <Z2,i > ^3/i> etc. am,i, etc. indéfiniment ; ainsi le numérateur de la fraction génératrice se réduit à une seule ligne , et la fraction elle-même sera

b'y -h c'œy -+■ d^x'^y -h éoc^y -f- fx^y -f- etc.

— qx -j- y — P^y^ Pour avoir l'expression du terme général Am,n , il est aisé de voir que la série ne s'étendant pas dans les régions des exposans négatifs de x , mais bien dans celle des exposans négatifs de j^ , et ^o^o étant = 1 , il faut commencer le développement de la fraction précédente par le terme y du dénominateur , et prendre aC'-^ pour origine des dérivations; les lignes de démarcation seront donc , à cause de r == 0 et de 5= 1 ,

où l'on voit que « et g" n'ont point de dérivées selon d'. On aura donc par le théorème du n.° 243 , en mettant a hors du signe d' , puisqu'il n'a point de dérivée selon d'',

^'{p'»,ç'«.C'-» — ç«.(ap''' + 1.^-2) H- p'".(a2p'«+2.C'-5) — etc.}

H- ^'îp'»-2.p'«.C'-» — ^"'-^ocB'''+KC'-^) H- p'»-2.(«2p'« + 2.g"-3) — etc.( H- e'{p'»-3.p'«.g"-i — p'"-3.(ap'n + i.g"-2) -+- p'«-3.(a2p^«-f-2.^r 3') etcj

/î-^-y'ÎP'""'''-p'"-^'~' — p'"-4.(«p'«+».ê"-2) -f- p'»-4.(«2p'«+2.^'-3) etc»J H- etc.

Si l'on développe cette formule par rapport à oc , elle devient , en faisant après le développement «5 = 0, C = — ^, et 7, ^, g, etc. = o ,

DESDERIVATIONS. 219

^'{p^p'^g"-» H- ^p'»-t.p'«-t-ï.g'^-2 + <72pw-2.p'«4-2.^'-5 ^- etc.}

H- c'{p'"-».p'''.g"-» -H ^p'»-2.p'« + i.^'-2 -I- ^2pm-3.p'/i4-2,g"-5 4 etc.| + /i^'Ip^-^p'^C'-i H- ^p'»-3.p'«+i.g''-2 f ^2pm-4,pfn + 2.^/-3 >] etc.}

H- e'[p'»-3p\^'-i j ^p'«-4.p''» + i.g''-2 4- ^2pm-5.p'/H-2.^'-3 |> etc.} -f- etc. H- etc.

Actuellement , puisqu'en vertu de l'équation de relation la seule quantité qui dérive de ê*' est (î", les autres étant zéro, j'observe que, pour arriver de fi^' à J" , il faut nécessairement faire une dérivation d et une dérivation d'. De là on conclud que tous les termes de la formule précédente dans lesquels les indices de d et de d' qui affectent C' ne sont pas égaux entre eux, ne peuvent donner que des quantités affectées de facteurs nuls, et qu'ils disparoîtront par conséquent. Il ne faut donc conserver que les termes où ces indices sont égaux. Mais il est visible que dans chaque ligne de la formule il ne peut y avoir qu'un seul de ces termes , et que s'il y en a un dans la première , il ne peut y en avoir aucun dans aucune ligne paire ; que s'il y en a un dans la seconde ligne , il ne peut y en avoir aucun dans aucune ligne impaire. Le premier cas arrive quand m -\- n es>t pair , et le second quand m -\- n est impair.

Supposons d'abordée premier cas , et que le terme de la première ligne dans, lequel les indices 4e d et de d' sont égaux soit ^'p"*-'. p'»-*-^. ^'-^-^ ; il est clair que le terme pareil dans la troisième ligne sera ^^ip'»-^-'.p'«4-^-i.g''-^ , que celui de la cinquième ligne sera ^'-2p'n-^-2. p''» + ^-2. C'"^"*"^ , et ainsi de suite. Or on a généralement ^

donc p'«-^.ç'n + ^.C'-^^ =: ■^— î n ~ 7^ P""'.

^ ^ 1. 2. 3 {pi — l)'

Mais on doit avoir m — l:=.n-\-[^ donc /=f(A7ï— «), et(7/î— 0=7(w+«);

^±^ ^L±^ ~("^-^)-.i m{rn-\\ (yy^-(^+"-^^ ^L+ï

doncp .p' .^' = ^ p

On a donc pour le terme générsj ^ m -^ n étant pair ,

aao DU CALCUL

-f- etcv V a y

Quand m-^ n est impair , on trouvera de la même manière

— (/7z-i)(m-.2)......(w-^ii^)