ilpi i

-f- etc. V a y

248. Il reste à trouver les valeurs de b\ c\ d\ e',/', etG^ Les premiers termes de la série , calculés au commencement du numéro précédent , donnent bien , au moyen de l'équation de relation , ^' = c' = 1 , <;?' = c' = 1 — 2^0^ ,

f^=^=zl — ipq 2yC?2^2 j fjj —- { -— ^ txpq — 2/?2^2 — 4/?3^3 j

mais on ne peut pas conclure de là la valeur générale de am,i : nous allons donner un moyen pour y parvenir. Puisque Am,o = 1 , la formule ( 1 ) donne

Ao,o = 1 = ^'.C'-S

etc. et généralement

^,„^o= i=±:^'.C'"ç'".p''".C'-'»-* zp/;'.g'«-»p«->.p'«-VC'-« ±:/.g>'«-2p«-a.p'«.-2.^'-«+i

=p etc. — <2i«-i,i.D.D'.C'-» H- <2iw^i.g"~» , qi etc. — tfiOT-,,i.D.D'.C'-^ 4- «2»«rf-i/i«C'-S

les

RES DERIVATIONS.

les signes supérieurs étant pour m pair, les inférieurs pour m impair. On conclud d'abord du système de ces équations que l'on a ^' = c', «?' = e', f^=^et généralement a2m,i= «2m-f-i,i» parce que ces quantités sont déterminées de la même manière par les équations ; on peut donc n'en prendre que celles de rang impair ou celles de rang pair , et réduire à la moitié le nombre des équations précédentes. Cela posé, si on prend les expressions réduites, ou si on les déduit de la formule (q) ci- dessus , on aura

etc., e

en général

— etc. — d^

pm^t

+ i..(2/?.-:2) ^ ^ __ ^f rn^i.m + 2

Ces équations sont à termes récurrens avec un terme constant. Quoiqu'il ne soit pas toujours aisé de tirer de ces sortes d'équations la valeur du terme général indépendante des termes précédens , cette recherche est cependant toujours censée plus simple que celle du terme général de la série récurrente double , parce que des équations de la forme des précédentes n'appartiennent qu'à une série récurrente simple.

Voici comment on peut parvenir à avoir l'expression générale dea^^i dans ce cas et autres semblables : on éliminera successivement , dans le système des équations précédentes, les quantités ^', d\f^ etc. , et quand on sera parvenu ainsi à la valeur de A' ou de la quantité suivante axo,\ , on verra déjà la loi que suivent les coëfficiens des puissances de pq , et l'on en conclura généralement

iP^q^ ^- etc. 5 i 'p'"q'»

Le problème est donc entièrement résolu, au moyen de cette expression et des formules ( q ) et ( 3 ).

Lagrange, à l'endroit cité, a donné trois solutions de cet exemple.

249. Nous allons donner un exemple du cas dont nous avons parlé à la fin du numéro Q4Q , dans lequel, sans que oc soit zéro, la série s'étend dans une autre région que la première et où il faut commencer le développement par un terme du dénominateur autre que «.

E X E M P L E V I I I. (*) Soit l'équation de relation

avec les conditions que ^m,o = 1 , tw étant zéro ou négatif quelconque , que ^m^o = o , m étant positif, et que ^i^i = o.

Je mets l'équation de relation sous cette forme

et je ferai am,n zéro par tout où cela ne sera pas contraire aux conditions précédentes ; au moyen de cette équation et des conditions je formerai le

tiommencement de la série suivant :

'ivÉr.

5oè'iftl«»fe

ait*:

etc.

En examinant cette série , j'aperçois sans peine que am,^ est zéro par tout f excepté au seul endroit dont les termes ont été distingués par des '^ , et où am «

(*) Voici une question qui conduit à cet exemple : «« Une urne renferme un nombre indéfini de billets « blancs et de billets noirs ; quelqu'un les tire un à un successivement , sous les conditions que quand il tire « un Dillet blanc on lui donne un franc , et qu'il en perde un quand il tire un billet noir : à chaque tirage « on ajoute dans l'urne un billet noir, mais on rejette le billet tiré, blanc ou noir. On demande de combien « de manières il peut se faire que le gain soit de m francs quand le nombre des billets noîts de l'urne a s'est accru de w. >»

DES DÉRIVATIONS. aa3

est rti^o ; car on a pour ce cas

Le numérateur de la fraction génératrice n'aura donc qu'un seul terme , et la fraction elle-même sera

— oc œ

1 — a; -H œ'-y — i j ^ xy^

Maintenant, si l'on commençoit le développement par le terme — i du dénominateur, on auroit une série où tous les exposans de ac et dej^ seroient positifs ; donc , puisque la série récurrente s'étend dans la seconde région où les exposans de x sont négatifs et ceux de y positifs , et qu'elle ne s'étend pas dans les régions où les exposans de y sont négatifs , il faut commencer le développement par le terme ^, c'est à-dire par Coc du dénominateur. Donc, puisqu'ici r = i et s = o, les lignes de démarcation (n.» 243) seront

ce o

ce qui fait voir que « n'a point de dérivée d ; il n'a point non plus de dérivée d' , car g"' = o ; donc on pourra mettre ce hors des signes d et d' dans la formule du n.° Q43 : en lui donnant sa valeur — 1 , et observant qu'il ne reste au numérateur que le seul coefficient b = 1 y cette formule donne ^;„^„ = p«».p'n.g'-i-{-^'»+i.p'«.^-*-f-p'»+2,p'ii.^-3 j etc. -f-p«.p'«. g"-" + '»-»-{- etc. Or , puisque la seule dérivée de C est S', et que pour passer de É'à ^' il faut une dérivation d et une dérivation d' , il s'ensuit que dans cette formule tous les termes où d eto' n'ont pas des indices égaux seront affectés de facteurs nuls ; il ne se conserve donc que le seul terme p^.p'". C~''"*"'"~S ^^ ^^^ ^^^^ (u^^'qSq), pour le terme général demandé ,

ce 1. '2 n

donc , puisque C = 1, et ^' = — 1 , partant (î'« = lii 1 , on a

' 1. Q. 3 n 1. Q (aî — m)

260. Nous ajouterions un plus grand nombre d'exemples*, s'il n'étoit temps de finir l'exposition d'une méthode que nous n'offrons que comme un essai.

324 DUCALCUI*

susceptible de perfection. Notre objet a été de faire voir que le calcul des dérivations s'applique avec facilité à la recherche des termes généraux des séries récurrentes doubles : si la méthode que nous venons de donner n'est pas toujours exempte de difficultés , ces difficultés ne tiennent pas aux dérivations , et la méthode même nous paroit digne d'attention , parce que nous la croyons nouvelle à plusieurs égards , et fondée sur des principes simples et directs.

Si nous pouvions nous étendre davantage sur ce sujet, nous examinerions les cas où les termes de la série , donnés par les conditions de la question , forment des lignes droites ou brisées qui traversent l'intérieur des régions; cette matière , où l'on peut quelquefois employer l'élimination d'une manière analogue à celle du n.^a^S , demande plus d'espace que nous ne pouvons lui en donner.

Arrêtons- nous un instant aux séries récurrentes triples.

(III

îi5 1 . La méthode que nous venons de donner pour les séries doubles s'étend d'une manière uniforme aux séries récurrentes triples : il n'y a guère de difficultés nouvelles que celles de la complication et de la longueur des calculs. Nous nous bornerons en conséquence à traiter le cas des séries triples qui répond au cas particulier du n° 2q3 pour les séries doubles.

Soit proposée l'équation de relation triple

O = CcAttifiifr -H hAm—ifn,r -f" y ■^m—\,n-\,r -f- b Am,n—\fT ~{~ y -^m—ifriir—i -\- G ylm,n,r-x -\- y ■^m,n—\fT~\ ~f~ 0 ■Am-i,n-i,r—\ y

je l'écrirai comme il suit, en supposant que le rectangle (i ) soit posé sur le rectangle (q) , afin de donner au second membre de cette équation la forme de parallélipipède rectangle

•\- QAm~\fn,T -\- OcAm,n,r

^trifiifr»

~+~ y -A m—lfTifT—i -|- b Amin,r-\

Je 8#pposerai aussi que les termes de la série récurrente triple soient disposés sous la forme de parallélipipède rectangle , la base de ce parallélipipède étant le tableau (3) du n.° qqi , après qu'on y aura mis l'indice inférieur ^o à la suite de

chaque

DES D]éRIYAT10N6. 225

, chaque terme; que sur cette base repose une tranche où les indices inférieurs qui répondent k m et k n soient les mêmes que ceux de la base , chacun des indices qui répondent à n étant suivi de l'indice ^i qui est la valeur de r dans cette tranche ; que sur celle-ci repose une autre tranche où les valeurs de m et de « demeurent encore les mêmes , celle de r étant = 2 dans toute la tranche , et ainsi de suite en montant.

Il est visible que si la série est continuée dans tous les sens , il y a huit régions différentes , séparées les unes des autres par trois plans , qui se coupent à angles droits; nommons première région celle dans laquelle les indices m, 72, r( ou les exposans de ac^y^ z) sont tous positifs ou zéro ; et supposons que , dans le cas proposé , la série soit renfermée dans cette région.

Détachons à présent de l'équation donnée l'échelle de relation

où l'on suppose la tranche ( 1 ) posée sur la tranche ( q ) , et promenons cette échelle dans l'espace du parallélipipède de la série , en la faisant mouvoir dans tous les sens, mais toujours parallèlement à elle-même : à chaque position , les termes de l'échelle appliqués contre ceux de la série donneront un cas particulier de l'équation de relation ; et avec un peu d'attention , on voit que cette équation peut toujours être satisfaite, c'est-à-dire que am^n,T peut toujours être zéro , excepté aux endroits qui répondent à am^nfO > à ceux qui répondent à am,o,r et à ceux qui répondent à «o^n^r , endroits qui sont compris, savoir les premiers dans le plan des oc et y , les seconds dans le plan des X et Zj et les troisièmes dans le plan des y et z. On a donc par là les termes qui se conservent au numérateur de la fraction génératrice triple , et cette fraction sera de la forme a-\-bx -hcx^ ~hdx^ -+- etc.

j ^y ^- c'xjy -+- d'xy -+- etc. -h b''z -H c'xz -\- d''x^z -+■ etc. ~h c'yz -h d"y^z -f- etc. -Hc'y2 j-^''^j2 4 etc. 'j-c"z^^d'"xz^-^ etc. -[-^''"722-+- etc.

l^"y3 -|etc. ^d'"'z^ -{-etc, -h etc.

-h etc. -\- etc.

ce -h Coo -]- y'xj -i- C'j -h y'ocz -+- C''z -+- y'yz H- rxyz

aaô D u c A L c u I.

On parvient au même résultat en multipliant la série triple en «3?, y, -s, qui représente la série récurrente , par le dénominateur de la fraction génératrice , que l'on obtient en étendant aux équations de relation triples ce qui a été dit aux n.''^ qq3 et 224 ; car le procédé précédent n'est qu'une manière d'abréger cette multiplication.

Si l'on suppose donnés les termes de la série récurrente qui répondent à ■^m,n,oi ^m,o,T et Ao,n,r , c'est-à-dire les termes qui touchent aux plans qui séparent la première région des autres , et que de plus on suppose la série bornée à la première région, c'est-à-dire que les termes à indice m, n ou r négatif soient zéro ; on aura , pour déterminer les coëfGciens du numérateur de la fraction génératrice , les équations générales suivantes , qu'on tire facilement de l'équation de relation , •

^mfOff ^= OC^m/OfT — 1~ GA/n—ifO/r

-+- b Am,o,r—\ ■+• y Am—\,OfT^\ j (^)

tto,nfr = CC-^o,n,r + b-/4o;«-i;r

-f- b Aoin,r-i -f- y yio,n-\,r-i'

Après avoir déterminé la fraction génératrice , on aura le terme général en développant par nos règles l'expression

Dans un premier développement on ne conservera des dérivées de a que celles qui se conservent dans le numérateur de la fraction génératrice , et l'on rejettera tous les termes qui se trouveroiènt multipliés par d'autres dérivées de a. Dans les développemens ultérieurs et réduits, on aura soin de prendre pour dernières dérivées de a celles qui le sont dans l'équation de relation ou dans le dénominateur de la fraction génératrice.

On voit aussi que toutes les fois que la série ne sort pas de la première région , oc n'étant point zéro , il faut commencer le développement par « : mais si la série s'étendoit dans les autres régions , ou que oc fût zéro , il faudroit appliquer et étendre aux séries triples les règles et les observations des numéros 24 1 et suivans. Des détails sur ces cas nous feroient excéder les bornes de cet ouvrage.

ExempleIX. (*) 262. Étant proposée l'équation de relation triple suivante

— ^Attifti—iiT / = O }

rJ \

PiÇ^s étant des quantités constantes données ; qu'on ait pour conditions que la série récurrente triple soit renfermée dans la première région , et que j4m,n,o= i, ■^m,o,r^^ o , Ao,n,r = O, lorsque m ^ n et S sont des entiers positifs quelconques: on demande l'expression du terme général Am,n,r- ^ao^,z~.

Cet exemple est évidemment compris dans le cas précédent , « , S", C', S"' étant respectivement égaux à i , — ;?, — ^, — j, et y', y'', y, J''' = o. Les équations (jo) , par les conditions précédentes, donnent zéro pour toutes les valeurs de am,o,r et de ao,n,r ; la première de ces équations donne encore zéro pour toutes les valeurs de ^^,0,0 et de ^o,«,o ; elle donne ensuite

c' = 1 , d' = 1 — p^ e' = 1 — p , am^i^o = i ^ p i

<^" = 1 — ^, e" =z 1 — p — ç, ,. am,^,o =1 — /? — ^> e'" = 1 — ^, am,'i,o = 1 — ;? — 9^»

Ainsi la fraction génératrice triple se réduit à la suivante

c^xy H- d^x^y -f- éx^y -f- f^x^y -i-7 etc.

H- d^^xy^ -+- e^'xy^ -}- f^x^y"^ -f- etc.

-H e"'x^3 ^y^"^2^3| etc.

-\- f^ocy^ H- etc.

H- etc.

ûf

c^ + cy -f- c''2

(*) La solution de cet exemple donne celle du problème suivant de Lagrange , n." 54 du mémoire cité. « On suppose qu'à chaque coup il puisse arriver trois événemens, que l'on désignera, pour plus de clarté, par « P , Ç , 5 , et que les probabilités de ces événemens soient respectivement égales à. p , ^ , s ; on demande « le sort d'un joueur qui parieroit d'amener l'événement S r fois avant que l'événement Q arrive n lois et « l'événement P, m fois. » Ce problème se rapporte à celui de la note de notre exemple premier, puisqu'il n'est autre chose que ce dernier problème étendu à trois événemens.

Le premier développement de Am,n,r=^ p'».p'«.p'''.(^«-i), où il faut prendre ce pour origine , se réduit donc , en rejetant toutes les dérivées de a qui ne se trouvent pas au numérateur , à cette seule série

Vp«-^p'«-^p''^<»-' h- <i'p'"-2.p'«-i.p''r.«-i ^ e'p«-3.p'''-«.p''''.a-» + etc.

H- e"'p'«-3.p''«-3.p"^cg-l -I- etc.

-H «»l-2,«;Op2.p'''.a-'

«;„,^„,,or>. D'.p''''.flr-' -H «m-i,«,oi>.p''''.«"

-H ««,H-2;op'^.p "".«-» 4- ^«,n-i;oD.p

-H £^m,n,o'g ^' or^

pmqit^r.

Puisque u n'a ici d'autres dérivées que g", C et 6"' , on aura généralement p"». p'«. p''^ a-» = p". p'«. ( ±: «-'^-^ C''' ) =

et avec un peu d'attention on voit que le développement réduit de la série précédente, écrite à rebours, sera

(yy3 1 3^32^ | 3yy^2 |. ^3^ |^ etC.

mS/jn-i

^ ^+i..-(^+^+^-4) „.,"^^'"^^.2..(m-l).1.2..(AZ-2/''"^""'

On voit dans cette expression qu'aucune puissance de p ne surpasse m — i et qu'aucune puissance de cj ne surpasse n — i ; de sorte qu'il est aisé de conclure que l'on peut se contenter de dire que le terme général est

■yim.n.r

desdehivatioks. 229

^' 3 C;>^H-3/?2y + 3;?<y2 4 y5).+.etc.

pourvu qu'on ait soin de rejeter du développement toutes les puissances de p plus hautes que rn — 1 et toutes celles de ^ plus hautes que n — 1.

Si l'on effectue la multiplication par 1 — (y^ -+- ^ ) , on transformera facilement cette dernière expression en celle-ci , qui est un peu plus simple ,

/• /*— f-~ 1 r r—\—i /*— f— Q s^\ \-^r{p-\-(f)-\ — (^2^Q^^4^2)^ J — (^3^3^2^^3^^2^.^3)^etc.}- ,,

série qu'on continuera tant que les puissances de p seront moindres que m , et celles de q moindres que n. C'est cette expression que Lagrange trouve au n.o 54 du mémoire cité.

253. On peut appliquer nos principes au cas que traite Lagrange au n.° 5i du même mémoire, et l'on parviendra à des expressions conformes à celles qu'il trouve : il suffit d'indiquer cette question ; car en voilà assez pour l'intelligence de notre méthode et pour mettre sur la voie ceux qui voudront l'appliquer à un plus grand nombre d'exemples.

aSo DU CALCUL