ARTICLE CINQUIÈME
Applications du calcul des dérivations au retour général
des séries.
264. Nous ferons dépendre dans cet article le retour des séries de leur transformation , en présentant les propositions les plus étendues sur le retour des séries et des fonctions , comme une suite naturelle d'un théorème fort général sur la transformation des séries : il suffira ensuite d'étendre ce théorème , pour en voir découler plusieurs propositions sur le retour des séries doubles. Les dérivations offrent de grands avantages dans ces recherches , en y apportant la simplicité et la facilité ; et les formules auxquelles elles nous conduiront peuvent encore servir à d'autres usages , comme à trouver la somme de beaucoup de séries , à rendre les séries plus convergentes , etc. : mais nous n'avons pu entrer dans aucun détail sur ces objets ; nous avons cru devoir seulement nous arrêter à quelques conséquences relatives aiix dérivations.
Problème.
q55. Étant donnée la série
A -^ Bx -\- Cx-^ -h Dx^ 4- Bx'\ -f- Fx^ -H etc. , .....( 1 )
on propose de la transformer en une autre de cette forme '
<ï H- ^a;(C-f- y^ -H <^x2 + etc.) « -f- 0032(5"-^ y^ H- <y^2 j etc.)2'«
-\- dx^{Q-^- yx H- ^x^ -h etc.)3'« -j- etc. , ^
A ^ B yC^ etc., et ^, «y, «J, etc. étant des quantités quelconques indépendantes les unes des autres et même arbitraires , et m étant aussi quelconque.
Ce problème est l'inverse de l'exemple du numéro 62 ; et c'est de la solution de cet exemple que nous allons déduire celle du présent problème. On voit que la question se réduit à trouver les valeurs de «, b^ c, d^ etc. en A^ B\ C, X>, etc. et en ^, y, J, etc.
Prenons donc les coëfûciens de x^ x'^y x', etc. de la série du numéro 62 sans les développer autrement qu'en C, afin d'en mieux voir la loi ; savoir :
DES DÉRIVATIONS. ïSl
B = ^ff",
C == bv>, C" -+- c?2w j
X) = ^p2.ç« ^« CD.Ê'2'» -H «^C^», .....(3)
£ = ^pS.Ç* H- cp2.^2m i ^i^D. ^3« -f e^A»,
etc. , où la loi est facile à saisir, sur tout si l'on fait attention à la remarque du numéro 63.
Tirons à présent de ces formules les valeurs de <x , h^ c, «?, e, etc. , en substituant successivement dans chaque équation les valeurs de <z, ^, c, etc. tirées des équations précédentes et développées en y. Nous aurons de cette manière :
je substitue cette valeur de h dans la 3.® des équations précédentes, et j'ai
développant en «y et réduisant, je trouve
c = CC-2m ^.mC-2'»-'y ;
mettant les valeurs réduites de ^ et c dans la 4'* des équations précédentes, j'ai
d = D^-"^^ — (C^-a»» — ^m^-2"-ïy)g'-3«D.g'2'» — -5C-4«p2.g'«,
développant en y et réduisant,
substituant les valeurs réduites de ^, c, ^ dans la 5.* équation, je trouve e = £g'-4'«{Z)ê'-3«-CQ772Ç-3'»-»y4-^(-m^-^'»-»D.yH--^^^^iii^ e'-3«-2y2)} x
développant en y et réduisant,
e = £^-4'» — £)3mê'-4«-ïy -f- C(- QwC-4«-»D.y -4- ^^il^lti' ^-4«-2<y2)
„, « y ?n(Am-hi) ^ w(4/7î-|- iVdTW-f-Q) - , - 2. -4-5(-mÇ-4'»->p2.y H V4 — ZLJç-4«-2d.72 ^^ ^^^ 5— ^ é^-'*'"- V) 5
et ainsi de suite.
fl3a DUCAliCUL
En examinant dans les valeurs réduites de c, d ^ e, etc. les quantités en Ç et «y , il est visible que ces valeurs peuvent se mettre sous cette forme
C = ^(îC^-a»» H-^D.Ç-s»), .....(4)
c = ^(4^ €'-4'" H- 3jDd. ê'-4'" -H QCp^.Ç-/,»» | ^p3. g'M'»), etc., où la loi est manifeste et très- simple; de sorte qu'on peut continuer facilement ces formules aussi loin qu'on voudra; et l'on en conclud sur-lechamp que , an désignant à l'ordinaire la /z'*""" lettre après a ^ on a , pour le terme général ,
" n\ H- etc. -4- S/^p^-S. g'-"'» -j-QC*p«-2.g*-'"n +^p«-i. g'-'»«p ^
Ç devant être regardé comme un premier terme dans les dérivations. Ainsi le problème est résolu.
Î256. On peut mettre les formules (4) et (5), que nous venons d'obtenir, sous une forme encore plus simple. En effet, si on rapporte B , C, D, etc. à A considéré comme premier terme (n.° iqi), on a
B =^ -D.A y 2C=D.D.^, 3Z) = p2.D.y^, 4 fî = p3. D. v^ , etc.
{n-<2)A„^2 = p"-3. n.A , {n- i)A„^i = ^"-^.b.A , nAn = p"-».D.y^; ainsi la formule (5 ) , pour le terme général , peut se mettre sous cette forme
1 ( ^-'"«. pn-l. D. A -+- D. C'""". p"-2. D. ^. H- p2. ^-«'« p«-3. D. ^ H- etc. /
■+- p«-3. C-""". p2. D. ^ + p«-2. C-'"". T>.D.A -+- p«-i. C-""". r>.A) Or la quantité A étant indépendante de C, cette série se réduit, par le n.° 97 , à cette expression très - abrégée
«, = ip«-i.(C-««.D.v^), (6)
A et C étant des premiers termes dans les dérivations. Les formules (4) deviennent ainsi
an =
c = fD.(C-='».D.^),
e = :Lp3.(^-4".D.^), etc.
DESD^niVATIONS. 233
267. En résumant ce qui précède, on a ce théorème, remarquable par sa généralité , sa simplicité et sa fécondité. *
TnioRÈME.
Pour transformer la série quelconque
A -h Bx -i- Cx^ H- Dx^ -+- Ex^ 4- etc. ..... (i)
en une série de la forme
« -H bx{Q -H y^ -h ^x^ -f- etc.)* -f- cx^{S -\- yx -^ ^x^ H- etc.)^'» H- ^J23(C H- yx+iJ'jra ^ etc. )3'« H-etc.-f-«„:cn(g'-f-y:c H- <J^2 |etc.)«'» 4- etc. ; on fera , pour abréger ,
f = C H- y^ -H èx^ H- ax^ -h etc. , ... (m)
et l'on aura cette formule "*
A -+- Bx -H Cx^ 4- Dx^ 4- Ea;4.4- etc. = A 4- ^-'«.D.^.^î'» 4- iD.(é'-2'».D.y^).aî2j9»i -4 ip2.(^-3m.D.^).a;3j3m
1 V • • '(iv)
»j« etc. 4 — p'»-i.(Ç-«'».D.^).a;V'" 4- etc. ,
^ et g" étant considérés dans les dérivations comme des premiers termes et comme des quantités indépendantes l'une de l'autre ; de sorte , qu'en faisant y = ^î*", le terme général de la transformée sera
<Za.j« = -p«-».(g'-'"». D.^).JK" = (V)
7î| ^ etc. 4- 3Z).p«-3.g>-/i/» j QC.D'-a.^-HOT ^ 5.ç«-i.^-«'«^-^'' • '^^'^
L'exposant m est quelconque, entier, fractionnaire , irrationnel , etc.
268. Démonstration. Nous n'avons trouvé d'une manière rigoureuse , à la fin du n.° q55, que les valeurs de ^ï, ^, c, ^, e ; et nous en avons conclu en général celle de an : cette conclusion n'est qu'une induction , fondée à la vérité sur une loi que tout annonce être générale ; et l'on se contente souvent de pareilles inductions. Mais voici une démonstration de notre théorème , qui paroît ne rien laisser à désirer.
Les formules (3) du n.° 255 , dont on sait que la loi se conserve toujours, sont toutes des équations du premier degré en Z> , c , 6? , e , etc. , ainsi qu'en B ^ C, D^ E, etc. : si donc on élimine les quantités ^, c, d, e, etc. , afin d'avoir successivement leurs valeurs en ^ , C, D, £, etc. , on sait, par l'élimination des inconnues des équations du premier degré , que dans ces valeurs
254 DUCALCUL
de ^, c, d^ e, etc. les quantités B ^ C^ D, E, etc. ne seront que du premier degré , et qu'aucun terme ne contiendra le produit de deux ou de plusieurs de ces quantités ; de sorte que ces valeurs seront de la forme suivante
e = b"'.JS -4- c"'.D -H b'".C -+- e"'.J?,
etc ;
an = b^"-).^» + c^-^-o.^»-! + bC-o.^,, 4- etc. H- hn^^'^KB , - ♦ etc.
Avec un peu d'attention on voit que ces mêmes valeurs peuvent aussi se mettre sous cette forme :
a =: A , b = p.n.A , c = T>.{p\T>.A) f d = T>^.(p".o.A) , e = d3.(^'".d.^), et en général a^ = d«-'.(/?^''-'^.d.^) ; Pf p^ , p" , p"\ etc. p^^'^^ , yy^"^, etc. étant des indéterminées, indépendantes de A , mais fonctions de C et de tu. Cela posé , soit
y = œ(C -\- yx -\- J^2 ^ g^3 | etc.)«, •••;(0
on aura généralement
A -h Bx -{- Cx^ -f- Dx^ -I- £a:4 -|- etc. =
A -+■ p.H.A.J -\- D.(p'.D.A).y^ -h D2.(;?".D.y^).j3 H- D3.(yC>"'.D.y^).^4
