b^cA ^ J^a^bi — b^ — Mc^ —d'i^c'^-{-b^c
4^ reste
Elém. d'Algèbre. i4« édition.
06 ÉLEMENS
46. On facilite quejquefois la division en décomposant à vue une quantité dans ses facteurs. Si l'on avait , par exemple, 8 «^— 4 a^ è^^-f 4^^ + 2 c^— ^=^+ 1 à diviser par 20^ — Z>^ + 1 , ce diviseui' formant les trois derniers termes du dividende , il suffirait de chercher s'il est facteur des trois premiers ; mais ceux-ci ont visiblement pour facteur commun /^a^ , car Sa^—4aH'' +4a^:=4a^i2a^-'b^-^i ). Par cette observation , le dividende deviendrait
ou (Qa3 è=^|.i)(4«3^ 1).
la division s'effectuerait donc sur-le-champ , en supprimant le facteur sa^—b^'-^i égal au diviseur, et le quotient serait 4 «^ + ^ •
L'habitude du calcul algébrique suggère une foule de remarques de ce genre , par lesquelles on abrège les opérations, et Von parvient aisément à reconnaître les décompositions en facteurs. On rend souvent ces décompositions très évidentes, lorsqu'au lieu d'effectuer les multiplications qui se présentent, on ne fait que les indiquer.
Des fractions algébriques.
47. Lorsqu'on applique le procédé de la division algébrique à deux quantités dont l'une n*est pas facteur de l'autre, on reconnaît l'impossibilité de l'effectuer, parce qu'on parvient , dans la suite des opérations , à un reste dont le premier terme ne peut être divisé par celui du diviseur. En voici un exemple .
a^^a^b-i-zP a^-^b' — a^ — ab^
1 " reste a-'b —ab^-\-2. b^ -^a'b—b^
2^ reste ^ab'^^b^.
Le premier terme — a b"" du second reste, ne peut se diviser par a*, premier terme du diviseur; ainsi la di-
tision s'arrête à ce point. On pourrait , comme en
Arithmétique, joindre au quotient a-j- b , la fraction
— ab^^P
TTrn — ) ayant pour numérateur le reste, et pour
dénominateur le diviseur ; et le quotient serait
P — aba^-\-b^
On voit aisément que la division doit s'arrêter quand on parvient à un reste dont le premier terme ne contient la lettre par rapport à laquelle on a ordonné , quà une puissance inférieure à celle de la même lettre dans le premier terme du diviseur.
48 • Lorsque la division algébrique de deux quantités ne peut s'effectuer, l'expression du quotient reste indiquée sous une forme fractionnaire , en prenant le dividende pour le numérateur et le diviseur pour le dénominateur ; et pour l'amener au plus haut degré de simplicité possible, il faut chercher si le dividende et le diviseur n'ont pas des facteurs communs , pour les supprimer (38). Mais quand il s'agit de polynômes , les facteurs communs ne se découvrent pas avec la même facilité que dans les monômes ; on ne les trouve en général qu'en cherchant , par une méthode analogue à celle qu'on a donnée en Arithmétique pour les nombres, le plus grand commun diviseur des deux quantités proposées.
On ne saurait assigner les grandeurs relatives des expressions algébriques , tant qu'on ne donne point des valeurs aux lettres qu elles renferment ; la dénomination de plus grand commun diviseur j appliquée à ces expressions, ne doit donc pas être prise tout-à-fait daris le même sens qu'en Arithmétique.
- En Algèbre, il faut entenàxe^axle plus grand commun diviseur de deux expressions , celui de leurs diviseur-? communs qui renferme le plus de facteurs dans tous ses termes, ou qui est du degré le plus élevé (27). Sa dé-
termination repose , comme en Arithmétique , sur ce principe : Tout diviseur commun à deux quantités y doit diviser le reste de leur division.
La démonstration qu'on en adonnée dans le n^ 61 de l'Arithmétique, devient plus facile à saisir lorsqu'on y emploie les symboles algébriques. En effet, soient A çt B les deux quantités proposées, D leur diviseur commun , Q le quotient de la division de J par Z? et K le reste, on aura
A==Bq + R\ puis divisant les deux membres de cette équation par le diviseur commun D , il viendra
A __BQ R
et si l'on fait - :r= a, ^ = ^ > quotiens exacts par
l'hypothèse, on changera l'équation ci-déssus en
a — bQ-h-jj> d'où a-^bQ^-t
en passant le terme bQ dans le premier membre. Or , puisque 1^ premier membre, qui dans ce cas doit être composé des mêmes termes que le second, est maintenant un entier , il faut que R soit divisible par D, Réciproquement , tout diviseur commun aux quan-
JB zzz 1 R tités BetR doit diviser A ; car si l'on fait ^ ^ ' D^ '"'
l'équation ^= -^+ ]} ^^^venant
i^bQ + r.
il s'ensuit que A est nécessairement divisible par /?, quand è et r sont des entiers.
D'après ces principes, on commencera, comme en Aritb* mètique, par chercher sil' une des quantités ji' est pas ellemême diviseur de l'autre ; si la division ne se fait pas exactement, on divisera le premier diviseurpar le reste ,
et ainsi de suite ; et celui des restes qui divisera exactement le précédent , sera le plus grand commun diviseur des deux quantités proposées : mais il sera nécessaire d'apporter dans les divisions indiquées , des attentions qui tiennent à la nature des quantités algébriques.
On ne doit d'abord cherclier le diviseur commun de deux expressions algébriques , que lorsqu'elles ont des lettres communes -, il faut en choisir une, par rapport à laquelle on ordonnera les expressions proposées , et on prendra pour dividende celle où cette lettre aura le plus haut exposant : l'autre sera le diviseur.
Soient les deux quantités
Zé — '5a^b-^ab^'^b^, 4a''b^bab'-{-b\ qui sont déjà ordonnées par rapport à la lettre a\ on prendra la première pour dividende, et la seconde pour diviseur. Il se présente , dès le commencement de l'opération , une difficulté qu'on ne rencontre point dans les nombres , c'est que le premier terme du diviseur ne peut diviser exactement celui du dividende , à cause des facteurs 4 et è de l'un , qui ne sont pas dans l'autre. Mais la lettre b étant commune à tous les termes du diviseur, sans l'être à tous ceux du dividende , il s'ensuit (4o) que b est facteur du diviseur et ne l'est point du dividende ; or tout diviseur commun à deux quantités ne peut se composer que des facteurs qui sont communs à l'une et à l'autre ; donc, s'il existe un tel diviseur entre les deux quantités proposées, il ne peut se trouver que parmi les facteurs de la quantité /^a'^ — bab-\-b^ qui reste quand on a supprimé b, de la quantité 4a* b — Sab* -^b^ : ainsi la question se réduit à chercher le plus grand commun diviseur des deux quantités
4a^^5ab + Z>*.
Par la même raison qu'on a pu supprimer dans l'une
70 ]5lémens
des quantités proposées^ le facteur è qui n'entrait pas dans l'autre , on peut aussi introduire dans celle-ci un nouveau facteur , pourvu qu'il ne soit point facteur de la première. Par cette opération ^ le plus grand commun diviseur de ces quantités , qui n'est formé que des facteurs communs à toutes deux, ne sera point altéré. Je profiterai de cette remarque pour multiplier la quantité 3a^ — Zd'b -^ ab"^ — b^ par 4 , qui n'est point facteui: de la quantité 4 «^ — S ab-^b^ j afin de rendre possible la division du premier terme de l'une par le premief terme de l'autre.
J'aurai de cette manière pour dividende la quantité i2a^'^i2a'b-{-4ab^—'4b^, pour diviseur la quantité
4a^ — 5ûZ>-|-è% et le quotient partiel sera 3 a.
Multipliant le diviseur par ce quotient, et retranchant le produit du dividende , il viendra pour reste
5a'b-{-ab^'-'4b\ quantité qui, d'après le principe posé au commencement de cet article , doit encore avoir avec 4 à^ — 5ab-^b^, le même plus grand commun diviseur que la première.
Profitant des remarques faites plus haut, je supprime le facteur b , commun à tous les termes du reste ci-dessus , et je le multiplie par 4, afin de rendre possible la division de son premier terme par celui du diviseur. J'ai alors pour dividende la quantité
i2a^+4ab'-'iGb\ et pour diviseur la quantité
4a^— 5flô-(-è^; le quotient partiel est 3.
Multipliant le diviseur par le quotient, et retranchant le produit du dividende, on a pour reste
i^ab — i^b^'y et la question est réduite à chercher le plus grand com-
d'algèbre. y 71
mun diviseur entre cette quantité et
Blaisia lettre a, par rapport à laquelle se fak la division, n'étant plus dans le reste qu'au premier degré , tandis qu elle est au second dans le diviseur, c'est celui-ci qu'il . faut prendre pour dividende , et on doit faire du reste le diviseur.
Avant de commencer cette nouvelle division , je supprime du diviseur 19 aô ■— 19 ^»* le facteur 196, comînun à tousses termes, et qui n'est point facteur du dividende ; j'ai donc pour dividende la quantité
et pour diviseur
La division s'opère exactement; ainsi, a — ^ est le plus
grand commun diviseur demandé.
En remontant depuis la dernière division Jusqu'à la première , on prouverait aussi à posteriori , que la quantité a — b doit diviser exactement les deux quantités proposées, et qu'elle doit être la plus composée de celles qui peuvent le faire ; et en divisant par a — b les deux quantités proposées,
3a3— Sa^'^ + aè» — &^ ^a^b'-'Sab^-\-b\ on les décompose ainsi qu'il suit \
{Za'-{-b-) (^a^b), i4ab^b^) {a-^-b),
49 . Lorsque la quantité qu'on prend pour diviseur contient plusieurs termes ©ula lettre par rapport à laquelle on a ordonné , se trouve au même degré , il y a une attention à avoir, sans laquelle l'opération ne saurait se terminer. En yoicî un exemple.
Soient les quantités
«•è + flc* — (P, ab — ae-f-c?; si l'on prépare l'opération comme pour une 'division ordi-
^cf b -^ a* c^ a d"
ab-^ac-\-d^
resté a^c-]-ac' — ad^ — d^,
en divisant d'abord a'b par ab , on trouve pour quo-» tient a ; multipliant le diviseur par ce quotient, et re^ tranchant les produits, du dividende, le reste contiendra un nouveau terme , où a sera au second degré , savoir , a^c provenant du produit de — ac par a. L'opération n'aura fait de cette manière aucun progrès ; car en prenant le reste a" c -}- ac^^-^ a d'' -^ d^ pour dividende , et le multipliant par ô , pour rendre possible la division par ab , on aura
ab — ac'\-d'^
d'bc + abc'^abd'-'--bd^ — a^bc-^-a" c^ —acd^
reste a^ c^ + abcf^acd'-'^abd^^bd^,
et le terme — ac reproduira encore un terme a^ c*, où
a sera au q^ degré*
Pour éviter cet inconvénient , il faut observer que le diviseur ab-^ aç-\-d^z=a (b—^c) '■\'d'^j en réunissant les termes ab' — ac en un seul ; et faisant, pour abréger les calculs , è — c== zn , on aura pour diviseur a m -f- ^^ ; mais alors il faudra multiplier tout le dividende a'b •]- ac^ — d^ par le facteur tti , afin d'avoir un nouveau dividende dont le premier terme soit divisible par la quantité am formant le premier terme du diviseur: l'opération deviendra
a^-bm^ac^'m — d^ m am-^d''
— a^bm — abd^
ab
i^"" reste —a bd'-^ac'- m—d^ m — ac'^m — cM^
