reste — abd"" — c'^d^ — d^m

(2ettefois, les termes affectés de rz^ sont otés du divi-

D' A L G È B R E. yS

dende , et il n'y reste plus que les termes affectés de la première puissance de a. Pour les faire disparaître, on divisera d'ajbord le terme a c^tti par am, et il viendra pour quotient c*; multipliant le diviseur par le quotient, et retranchant les produits, du dividende, on aura le a^ reste \ prenant ce o.^ reste pour un nouveau dividende, on y supprimera le facteur dJ", qui n'est point dans le diviseur ', il viendra

-^^ab — & — dm y qu'on multipliera de nouveau par m, et on aura — ab Tw-^ c^m — c^m^ | am-\-d^

-^abm-i-bd^ \—b

reste -\-bd^ — c^m — dm^

Le reste bd^ — c^ m — dm^ de cette dernière division ne contenant plus a, il s'ensuit que s'il existe entre les deux quantités proposées un commun diviseur, il est indépendant de la lettre a.

Parvenu à ce point, on ne peut plus continuer la division par rapport à la lettre a ; mais on observera que s'il existe un commun diviseur indépendant de a entre les quantités Z>J^—c^ m — J 771* et am-\-d'^, il faut qu'il divise séparément les deux parties amet d^ du diviseur ; car en général, si une quantité est ordonnée par rapport aux puissances de la lettre a, tout diviseur de cette quantité, indépendant de a, doit diviser séparément les quantités qui multiplient les diverses puissances de cette lettre.

Pour s'en convaincre , il suffit de faire attention qi^ , dans ce cas, chacune des quantités proposées doit être le produit d'une quantité dépendante de a, et du diviseur commun qui n'en dépend point. Or, si l'on a , par exemple, l'expression

Aa^ + Ba'^-^Ca^ + Da + JS, dfins laquelle les lettres J , B , C, D, E, désignent des

quantités quelconques indépendantes de a, et qu'on la multiplie par une quantité M aussi indépendante de a, le produit

ordonné par rapport à a , contiendra encore les mêmes puissances de a qu'auparavant ; mais le coefficient de chacune de ces puissances sera un multiple de M.

Cela posé, si l'on remet pour ttz- la quantité b — c que cette lettre représente , on aura les quantités

alb^c')-\-d^', or il est visible que b — cetd^ n'ont aucun facteur commun : donc les deux quantités proposées n'oat point de diviseur commun.

Si l'on n'avait pu reçonnaîtrô à la seule ingpectioi^ qu'il n'existait pas de diviseur commun entre b — c et d^, il aurait fallu chercher leur plus grand commun diviseur , en les ordonnant par rapport à une même lettre , et s'assurer ensuite s'il pouvait diviser aussi la quantité ôJ* — c*(^— c)--c/(ô— c)^

5o. Au lieu de remettre à la fin de l'opération à découvrir le plus grand commun diviseur, indépendant de la lettre par rapport à laquelle on a ordonné les deux quantités, il est plus commode de le chercher d'abord, parce que le plus souvent les restes de chaque opération partielle se compliquent à mesure qu'on avance, et le calcul devient de plus en plus pénible.

Soient , par exemple , les quantités

a^b^-]-aH^-\-b^c'''--a^c^—a^,bc^ — b^c^, d'b'\-ab''-+-b^-~a'C'^abc'-^b''c',

après les avoir ordonnées par rapport à la lettre a , pe qui donnera

j'obseiTe d'abord, que si elles ont un diviseur commun qui soit indépendant de <2, il faut qu'il divise en particulier chacune des quantités qui multiplient les diverse^ puissances de a (49) , ainsi que les quantités Mc^ — b^ c^ etP — Z>^ c , qui ne renferment point cette lettre.

La question) est donc ramenée à trouver les diviseurs communs aux deux quantités b^ — c^etb — c , et à vérifier ensuite si , parmi ces diviseurs , il s'en trouve qui puissent diviser en même temps

P^bc" et b^—'bc, b^c'^b^à et P^b^c.

En divisant Z»"^ — c^ par Z> — c, on trouve un quotient exact Z> -f- c ; Z>— -c est donc diviseur commun des quantités b^ — c^ et è — c, qui visiblement n'en peuvent avoir d'autres, puisque la quantité b — c n'est divisible que par elle-même et par l'unité. Il faut donc s'assurer si è— c divise les autres quantités rapportées ci-dessus , ou bien s'il divise en même temps les deux quantités proposées ; c'est ce qui arrive en effet , et il vient

(ô4-c)û4+(ô^+ bc) a^-\-bH^ + b^c^, d'-^ba^b^.

Pour amener ces dernières expressions au plus haut degré de simplicité possible , il convient d'essayer si I4 première n'est pas divisible par ^-f-c; cette division étant effectuée, réussit, et l'on n'a plus qu'à chercher le plus grand commun diviseur des quantités fort simples

aiJ^ba^-\-b^c\ a^^ ba -i-b\

En opérant sur celles-ci, comme le prescritla règle, on parvient, après la seconde division, à un reste contenant la lettre a à ia première puissance seulement ; et comme ce reste n'est pas diviseur commun , on en conclut que la lettre a ne fait point partie du plus grand commun divi-

seur cherché , qui n'est composé par conséquent que du seul facteur b — c.

Si, outre ce diviseur, on en eût trouvé un autre dans lequel fût entrée la quantité a, il aurait 'fallu multiplier ces deux diviseurs l'un par l'autre pour obtenir le plus grand commun diviseur cherché.

Ces remarques suffiront, dçs qu'on aura acquis un peu d'habitude dans l'analyse , pour parvenir, dans tous les cas , au plus grand commun diviseur ; et on trouvera sans peine que las quantités

^ a?b — Q.'j a^bc — G aZ?c*-f-i8Z>c3, ont pour plus grand commun diviseur la quantité

5 1 . Les quatre opérations fondamentales, c'est-à-dire l'addition , la soustraction , la multiplication et la division, s'effectuent sur les fractions algébriques comme sur les fractions arithmétiques , en observant seulement de suivre , dans les opérations prescrites par les règles de l'Arithmétique, les procédés indiqués ci-dessus à l'égard des quantités algébriques. Je me bornerai donc à rappeler ici ces règles, en donnant un exemple de l'application de chacune.

La somme des fractions

abc d' d' 2'

qui ont le même dénominateur , ou

abc a'^b -^ c . . ., ^r ^

La diiFéi'ence des fractions

jul ont le même dénominateur , ou

D*ALGEBRE. 77

d cl d '

L'entier a joint à la fraction - , ou l'expression

. b ac b ac -j-b . . .. ^ ^

a4--= — = ■ — (Anthm. 67).

De même l'expression

b ac b ac — b

Réciproquement

,, . ac A-b ac b b

1 expression •=. f-- = û-f--,

c ce c

V • ac^—b ac b ^ r j *-l cc\ 1 expression == ==« {Anth. 66).

a c 52. Les fractions y , -,, étant réduites au même dénob a

minateur, deviennent respectivement

ad bc , . . ^ r>ON 7—,, 7—, (Anthm. 68).

bd bd

Quand les fractions proposées sont égales, on trouve ad=bcj divisant alors les deux membres par cd et en nommant q le quotient , il vient

ad a bc b ,, , , ,

ïd = c '='?' ^ = 5 = "?' ^ °" "=^'?' *='^'''

ainsi, les deux termes de l'une des fractions ne sont que ceux de l'autre multipliés par un facteur commun.

Les fractions

78 iÉLÉMENS

par la même réduction , deviennent respectivement

a dfh c bfh ehdh gb df. . . , ^ . Tdfh> bljh^ bdJTi' l-JJjyrithm.Q^).

J'ai donné dans le numéro 69 de l'Arithmétique, un procédé pour parvenir dans certains cas à un dénominateur plus simple que celui qui résulte de la règle générale ; les symboles algébriques en facilitent beaucoup l'application , ainsi qu'on va le voir.

Par exemple , si l'on a les deux fractions 7—, 7—%, il

bc bj

est facile de voir que les deux dénominateurs seraient les mêmes , si f était facteur du premier , et c facteur du second : on multipliera donc les deux termes de la première fraction par f^ et les deux termes de la seconde

par c, ce qui donnera les, fractions j-~, et ^— > , plus

, abf^bcd , . , . .

simples que r-7~:> et -7-7— -7., qu on aurait en multipliant par les dénominateurs primitifs.

En général, on rassemble en un seul produit, pouf en composer le dénominateur commun, tous les facteurs dijférens élevés à la plus haute des puissances où ils se trouvent dans les dénominateurs des fractions proposées; et il ne reste plus qu'à multiplier le numérateur de chaque fraction par les facteurs de ce produit , qui manquent dans le dénominateur de la fraction.

1 1 r • ^ de.

Ayant, par exemple, les tractions -r^, w-, r;;» )^

forme le produit Z)^ c/g; je multiplie Je numérateur de la première fraction par /g, celui de la seconde par Z» cg, celui delà troisième par b^fy et j'obtiens

«/g bcdg b^f

b^cfg' b^cfg' b^cfg

d'algèbre. 79