Pour appliquer ces règles aux quantités

50^-^22 a^b+i^a^h^— 6 a^b^—4an.^'^Sa^b\ 5a^^2a^b-{'4a^b\

qui m'ont servi d'exemple, plus haut, on les dispose comme s'il s'agissait d'effectuer la division arithmétique.

Dividende.

Sa7'^2!2a^b-\-i2a^b''—6a^b^—4a^b^+Sa''P --5a7+ !ia^b'-4q^b^

Reste —zoa^b -f Sa^''—6a^b^—4a^b^-^Sa^b^ -j-2oa^b-Sa^b^+i6a^P

Raste r^ioa^P—4a%^-^Sa''b^

— 1 oa^b^^4a^^—8a''b^

Reste - • — - -

Diviseur.

Ba^—2a^b-j-4a''b'

Quotient.

a^^4a'b+zP

Le signe d,u, premiei^ X^V?,^. Sq' du dividende étant le lïifmç^^ que çelu^ de, Sfifi, preraiegr ter^ne du diviseur y on

devrait mettre -f- au quotient; mais comme' il s'agit dn

premier terme , on omet ce signe.

En divisant Sa' par 6a^, on a pour quatient a^, que l'on écrit sous le diviseur.

Multipliant successivement les trois termes du diviseur par le premier terme a^ du quotient, et écrivant les produits sous les termes correspondans du dividende , après avoir changé les signes de ces produits pour les retrancher (20) , on forme la quantité

dont on fait la réduction avec le dividende ; et on obtiet pour reste

—20 a^b-\- Sœ> b^ — e a^b^-^4an^-^Sa^ b\ En continuant la division sur ce reste , le premier terme — zoa^b, divisé par 5 a*, donne pour quotient — 4^^^> ce quotient ayant le signe — , à cause que le dividende et le diviseur sont de signes difFérens. En le multipliant par tous les termes du diviseur, et changeant les signes^ on forme la quantité

-f-2oa6 6 SaH'' -\~ iGan\ dont on fait la réduction avec le dividende , et on obtient ppar reste

| ioa'^b^-^4a^b^-{'Sd'b\

Divisant le premier terme de ce nouveau dividende partiel, 10 a^b^^ par le premier terme 5 a^ du diviseur > multipliant par le résultat + 2 b^, tout le diviseur j écrivant les produits sous le dividende partiel , en observant de chanp:er leur signe , et faisant la réduction , il ne reste rien , ce qui montre que -f- 2 Z>^ est le dernier terme du quotient cherché , lequel a par conséquent pour expression a^ — 4^^^ 'h^ ^^'

44. Il est à propos de remarquer que dans la division , les multiplications des différens termes du quotient par

d'algèbre. 63

le diviseur , produisent souvent des termes qui ne se trouvent pas dans le dividende , et qu'il faut diviser ensuite par le premier terme du diviseur. Ces termes sont ceux qui se sont détruits lorsqu'on a formé le dividende par la multiplication de ses deux facteurs , le quotient et le diviseur. Yoici un exemple remarquable de ces réductions :

Soit a^ — b^ à diviser par a—b:

Division. . Multiplication.

a'j^ab^b'

^a^b — b^ — a^b-^ab'

^ab-'—b^ — ab^-^P

a — b a^-f ab-\-b'

a^—a^b ^a^b—ab"" J^ab^— P

résultat a^^b^.

Le premier terme a? du dividende , divisé par le premier terme a du diviseur , donne pour quotient a^; en multipliant ce quotient par le diviseur, et changeant les signes des produits, on trouve — a^ | ^^^ ^ . \^ terme— a^ détruit le premier terme du dividende; mais il reste le terme a" b , qui ne se trouvait pas d'abord dans le dividende. Puisqu'il contient la lettre a, on peut le diviser par le premier terme du diviseur, et on obtient + ab. Multipliant ce quotient par le diviseur, et changeant les signes des produits, il vient — d'b -{~ab^ : le terme —a'b détruit le précédent ; mais il reste le terme + a b\ qui n'étaitpas non plus dans le dividende. Qu'on ledivise par a, on aura pour quotient + b"--, multipliant ce quotient partiel par le diviseur , on aura, en changeant les iignes , — a b^J^b^ ; le premier terme — ab^ détruira le

précédent , et le second -|- ^^ détruira le dernier terme ^rrrZ»^ quî rcstoit du dividende.

Pour bien comprendre le mécanisme de la division , il suffit de jeter les yeux sur la multiplication du quotient a»^ ab -{- b'^ par le diviseur a — b , placée à côté de la division précédente ; on verra que tous les termes reproduits dans les divisions partielles sont ceux qui se détruisent dans le résultat de la multiplication.

45. Il arrive quelquefois que la quantité par rapport à laquelle on ordonne, se trouve à la même puissance dans plusieurs termes , soit du dividende , soit du diviseur. Dans ce cas , il faut ranger dans une même colonne , ou bien écrire immédiatement à la suite les uns des autres , ces termes , en observant de les ordonner entre eux par rapport à une autre lettre.

Soit^a^b^+b''c^—a'c^—a^+2a^c^'\-b^+Qb^c^"\'a^b^

à diviser par a* — b^ — c'^.

En ordonnant la première de ces quantités par rapport à la lettre a, on placera dans une même colonne les termes — a^ Z;'' et -|- 2 œ^ c% dans une autre les termes -f a^ M et — cj" c^ ; enfin dans une dernière colonne les trois termes -f-Z>^ -f-sMc^ -f b^'à, en les ordonnant par rapport àla lettre 6, comme on le voit àlapage suivante.

Le premier terme — a^ du dividende étant divisé par le premier terme a^ du diviseur, donne — a^ pour le premier terme du quotient ; formant ensuite les produits de ce quotient par tous les termes du diviseur, changeant les signes de ces produits pour les retrancher du dividende, en plaçant dans une même colonne les termes affectés de la même puissance de a,, il vient , après la réduction des termes semblables, le 1" reste , qu'on prendra pour second dividende partiel.

Le premier terme — î^a^b^ de ce nouveau dividende étant divisé par a", donne pour le second terme du quotient , — - 2 a* Z^ ; formant ensuite les produits dt ce quo-

D A li G E B R E. 6^

tient par tous les termes du diviseur, changeant les signes de ces produits pour les retrancher du dividende partiel en plaçant dans une même colonne les termes affectés de la même puissance de «, il vient , après la réduction des termes semblables , le 2® reste , qu oii prendra pour un troisième dividende partiel.

L'opération se continuant de la même manière sur le 2® reste et sur les suivaus , on trouvera encore trois termes au quotient. Le dernier étant multiplié par tous les termes du diviseur, donne des produits qui, retranchés du 4^ reste , le détruisent en entier • la division se fait donc exactement , et par conséquent le diviseur est facteur du dividende.