Pour la multiplication, on

y X c = 7- {Arithm. 53) , a c ac . j . , ^.

Pour la diwsion ,

r à diviser par c, donne ^ou^- X - (^Arithm. 54, 76) ;

«,,. . c, o, ^ ,d ad , . . ,

T a diviser par -^ , donne 7 X - =t- ( Arithm. 79 ) .

Les termes des fractions précédentes étaient monômes; mais si on avait des fractions dont les termes fussent des polynômes, il n'y aurait qu'à effectuer par les règles données pour les quantités complexes, les opérations indiquées sur les monômes : c'est ainsi que l'on a

c-\-d c — d (c-f-<^) (c — d') __a?^ab'---d'b^b^

Le quotient de la fraction'

^ — j- divisée par -. ■ ^itK\ *

c ""j-" CL C ^—' CL t

est ^'' + b\.c-d^ia--{.b^){c-^d)' c-j-d ^ a-^b (^c-\-d) (^a—b) a^c^b''c—'a^d—b^d ac-^ad — bc — bd *

et ainsi des autres opérations.

54. Lorsqu'on possède bien tout ce qui précède , on peut résoudre une équation du pi/emier degré , quelque compliquée qu'elle soit.

8ô ÉLÉMEN6

Si l'on avait , par exemple , l'équation

on commencerait par faire disparaître les dénominâ-^ teurs, en indiquant seulement les opérations; il viendrait alors

:=2x(^a — b) (3a+6) — ac {a — b);

puis effectuant les multiplications , on trouverait

Z a^ X -^ /^ ab X -{- b^ x — Za^c-^ <!^abc — b^ c

■i'iCia^b--Sab^^4P =

6 a'^ X — /^abx — 2b^x< — a^c-^abc:

transposant dans un seul membre tous les termes affectés

de x, on obtiendrait

'--3a^X'i-Sabx-j'3b''x = 2 aV + 5 aèc -f- ^>^c— 12 a^Z> +8a6* -f- 46^ d'où l'on conclurait enfin

2a''c-{-5abc-\-b''c—iQa^b-j-Sab''-\-4P '^"~ — 3a^-f 8a6-f-3Z;=^ ^ ""*

Des questions à deux inconnues , et des quantités négatives.

55 . Dans les questions résolues précédemment , on n'a fait entrer qu'une seule inconnue, au moyen de laquelle on a exprimé , avec les quantités connues, toutes les conditions de la question. Il est souvent plus commode pour quelques-unes de ces questions, d'employer deux inconnues ; mais alors il faut qu'il y ,ait, explicitement ou implicitement, deux conditions pour former deux équations , sans quoi , on ne pourrait déterminer en même temps les deux inconnues.

La question du numéro 3 , surtout comme elle est énoncée dans le numéro 4 t se présente naturellement

avec deux inconnues ; savoir, l'un et l'autre des nombres cherchés. En effet , si l'on désigne

le plus petit par x , le plus grand par y , leur somme par a , leur différence par bj on aura , par l'énoncé de la question , oo-j-y — a, y—oo=b.

Chacune de ces deux équations, considérée seule, ne peut déterminer absolument l'une des inconnues. Si de la seconde , par exemple , on tire la valeur de y , elle donnera

y=zb-\-x,

valeur qui semble d'abord ne rien apprendre sur ce qu'on cherche, puisqu'elle contient la quantité x, qui n'est pas donnée; mais si, à la place de l'inconnue y qu'elle représente , on la met dans la première équation , cette équation , ne renfermant plus alors que la seule inconnue x, en donnera la valeur par les procédés déjà enseignés.

On aura en effet , par cette substitution , X'^b 4-^==a, ou 2X-l-b=za,

ou enfin ' x=i^ •

et mettant cette valeur de x dans celle de y, qui est b -^Xj on obtiendra

y:=b^xz=zb-^ =:-~i--:

on aura donc, pour les deux nombres inconnus, les mêmes expressions que dans le numéro 3.

Il est facile de voir , en effet , que la solution ci-dessus ne diffère point, quant alu fond, de celle du n° 5- Elém. d'Algèbre. i4« édition» 6

82 ELÉMENS

seulement j'ai posé et résolu la seconde équation y — x:=: b , que je m'étais contenté d'énoncer en langage ordinaire dans le numéro cité, et dont j'avais conclu , sans calcul algébrique , que le plus grand nombre était X -j- b.