AQ
multipliant cette valeur par 5 pour mettre le résultat à la place de 5j^ dans la seconde , on aura
faisant disparaître les dénominateurs, on obtiendra
56 a; -|- oZo — 6o a;=2io, ou 56 X — 6o:c= 210 — 23o,
ou — 4^ = — 20 ;
et changeant les signes des deux membres , d'après la remarque du numéro précédent , on trouvera enfin
Si l'on substitue, dans l'expression de jr, à la place de x sa valeur 5 , il viendra
et réduisant le numérateur de la valeur de^ , on aura
^ 7 Maintenant, comment faut-il interpréter le signe — qui affecte la quantité isolée i4? On conçoit bien ce que c est que l'assemblage de deux quantités séparées par le signe ' — , lorsque la quantité à soustraire est plus petite que celle dont on doit la retrancher ; mais de quoi peuton retrancher une quantité qui n'est jointe à aucune
autre dans le membre où elle se trouve ? Pour éclaircir cette espèce de paradoxe , le meilleur moyen qui e'ofFre, c'est de remonter aux équations mêmes qui expriment les conditions de la question; car tenant de plus près à son énoncé , on y lira mieux les circonstances qui ont amené la difficulté présente.
#Je reprends donc l'équation
je mets à la place de x sa valeur 5 , et il vient
La seule inspection de cette équation y fait reconnaître une absurdité. En effet, il n'est pas possible de former le nombre 46 en ajoutant quelque chose au nombre 60,, qui seul surpasse déjà 46.
Je prends aussi la seconde équation Sx'j-6y=:5o, et mettant 5 au lieu de :r , je trouve 40 -|- 5 j' = 3o ; même absurdité que tout-à-l'heure , puisqu'il faudrait que le nombre 3o pût se former en ajoutant quelque chose au nombre 40.
Or les quantités i2x on So dans la première équation , 8 x ou 40 dans la seconde , expriment ce que gagne l'ouvrier par son seul travail ; les quantités yy et 5y représentent les gains attribués à sa femme et à son fils ; tandis'que lesînombres46et 3o désignent les sommes données pour le salaire commun de ces trois personnes : on doit bien voir à présent en quoi coi;isiste l'absurdité.
D'après l'énoncé , l'ouvrier gagnerait plus à lui seul qu'il ne le fait aidé de sa femme et de son fils ; il est donc impossible de considérer l'argent attribué au travail de la femme et du fils cdnme augmentant le salaire de cet ouvrier.
Mais si , au lieu de prendre l'argent attribué à la l^mme et au fils comme un gain , on le regardait comme une dépense faite par eux à la charge de l'ouvrier, alors il faudrait retrancher cet argent de celui que l'homme aurait gagné seul , et il n'y aurait plus de contradiction dans les équations , puisqu'elles deviendraient
Go — 73^ = 46,
On tirerait de l'une comme de l'autre , ,^ j, ,^
et on conclurait de là que si l'ouvrier gagne 5 fr. par jour , sa femme et son fils lui occasionnent une dépense de a fr. ce qu'on peut d'ailleurs vérifier ainsi. Pour 12 jours de travail, il revient à l'ouvrier S^'- X 12 ou Go^""- -, la dépense de sa femme et de son fils , pendant 7 jours,
est de
2^- X 7 ou 14^'' :
il lui reste donc 46 fr.
Pour 8 jours de trayail , il revient à l'ouvrier 5^^- X 8 ou 4o^^- ; la dépense de sa femme et de son fils , pendant 5 jours , est de
2^"^- X 5 ou lo^'- :
il lui reste donc 3o fr.
Il est bien clair à présent qu'à l'énoncé du numéro 56 , il faut , pour que le problème proposé soit possible , avec les données précédentes, substituer celui-ci :
Un ouvrier travaillant chez un particulier pendant 1 2 jours j ayant eu avec lui, les ^premiers jours , sa femme et son fils , qui lui occasionnaient une dépense , a reçu 46 francs ; il a travaillé ensuite 8 autres jours , sur 5 desquels il avait avec lui sa femme et son fils , dont il
devait encore acquitter la dépense , et il a reçu 3o fr. On demande combien il gagnait par jour , et combien dépensaient, dans le même temps , sa femme et son fils.
En nommant x le gain journalier de l'ouvrier , et y la dépense de-sa femme et de son fils , pour le même temps, les équations du problème seront évidemment
8 a:— .5jr = 3o^
et étant résolues comme celles du numéro 56 , elles donneront
5g. Dans tous les cas où l'on trouvera pour la valeur de l'inconnue un nombre affecté du signe — , on pourra rectifier l'énoncé de la question d'une manière analogue a la précédente , en examinant avec soin quelle est la quantité qui , d additive qu'elle était dans le premier t3noncé , doit devenir soustractive dans le second ; mais l'Algèbre dispense de toute recherche à cet égard, lorsquon sait opérer convenablement sur les expressions affectées du signe — '; car ces expressions étant déduites des équations du problème , doivent satisfaire à ces équations : c'est - à - dire qu'en les soumettant aux opérations indiquées dans l'équation, on doit trouver, pour le premier membre , une valeur égale à celle du
second. Ainsi, l'expression ^, tirée des équations
doit , conjointement avec la valeur a: = 5 , déduite des mêmes équations , les vérifier toutes deux.
La substitution de la valeur de x donne d'abord ' 60 -f 73^ = 46,
Il reste à faire la substitution de à la place de y ;
et pour cela , il faut multiplier cette expression par 7 et par 5 , en ayant égard au signe — dont elle est affectée.
Si l'on y applique la règle des signes, donnée dans le numéro 42 , pour la division , on aura
puis , par la règle on obtiendra
1 des signes relative à la multiplication 7X--2 = — 14,
Les équations
et
devenant respectivement
et
seront vérifiées , non pas en ajoutant les deux parties du premier membre , mais bien en retranchant la seconde de la première , comme on l'a fait plus haut, d'après la considération de la forme de ces équations.
60. Les données du problème du numéro 58 n'ont pas permis de le résoudre dans le sens du premier énoncé , c'est-à-dire par addition , ou en regardant comme un gain l'argent attribué à la présence de la femme et du fils de l'ouvrier ; le second énoncé ne conviendrait pas davantage aux données du problème du numéro 56.
9^ É L é M E la s
Si Ton voulait considérer dans ce cas,^ comme expiimant une dépense , les équations
qu'on aurait alors , donneraient
^ = 5 et yr=::Zj4.
7 ' et la substitution de la valeur de x changerait d'abord ces équations en
L'absurdité de ces résultats est précisément contraire à celle des résultats du numéro 58 , puisqu'il s'agit ici de parvenir à des restés plus grands que les nombres 6o et 4o, dont on retranche les quantités jy et 5 y.
Non-seulement le signe — qui affecte l'expression de y indique l'absurdité , mais encore il la redresse ; car , suivant la règle des signes ,
— 5 X — â=: -f- lO.
Par ce moyen , les équations
6o — 7^=r74, 4o — 5jz=5o, devenant
6o -f- 14=: 74, 4o"Fio=5o, se vérifient par addition -, et par conséquent les quantités — 7 j et — 5y , transformées en -f- i4', -f- 10 > ^^ li^^ d'exprimer des dépenses à la charge de l'ouvrier , sont regardées comme un gain pour lui : on retombe donc encore, 3ans ce cas, sur le véritable énoncé de la question, ^1. On apprend par les exemples précédens quil
peut se trouver dans les énoncés des problèmes du premier degré , certaines contradictions que l'Algèbre fait non-seulement connaître , mais dont elle indique encore la rectification , en rendant soustractives des quantités qu'on avait regardées comme additives , ou additives des quantités que Von avait regardées comme soustractives, ou en donnant pour les inconnues des valeurs affectées du signe — .
Voilà ce qu'il faut entendre lorsqu'on dit communément que les valeurs aîFectées du signe — , et qu'on appelle solutions négatives , résolvent , dans un sens opposé à son énoncé , la question où elles se rencontrent.
Il suit de là qu'on peut regarder comme ne formant , à proprement parler y qu'une seule question , celles dont les énoncés sont liés entre eux de manière que les solutions qui satisfont à l'un des énoncés, peuvent, par un , simple changement de signe , satisfaire à l'autre.
62. Puisque les quantités négatives résolvent, dans un certain sens , les problèmes qui leur donnent naissance , il est à propos d'examiner de plus près leur usage , et d'abord , de s'assurer de la manière dont il convient d'effectuer les opérations indiquées sur ces quantités.
On a ci-dessus fait usage des règles des signes , trouvées précédemment pour chacune des opérations fondamentales ; mais ces-règles n'ont point été démontrées sur des quantités isolées. Pour la soustraction, par exemple, on a supposé qu'il fallait retrancher de a l'expression i — e , dans laquelle la quantité négative — c était précédée d'une quantité positive b (20). On réduirait bien h — c à — c, en faisant ^ = o , ce qui changerait le résultat en a-^c^ mais le raisonnement employé a l'endroit cité, supposant l'existence de la quantité b, ne paraît pas comprendre ce cas ; et la thcone
92 ÉLJÉMENS
des quantités négatives étant à la fois Tune des pTu3importantes et des plus épineuses de l'Algèbre il est a propos de l'appuyer sur des bases solides. Pour parvenir à ce but , il faut remonter à l'origine des quantités négatives.
La plus grande soustraction que l'on puisse opérer sur une quantité, c'est de la retrancher d'elle-même ; et dans ce cas , on a zéro pour reste : ainsi, a — a = o. Mais lorsque la quantité à retrancher surpasse celle dont Il tant la retrancher , on ne peut plus effectuer en entier la soustraction; on ne fait qu'opérer, dans la quantité à soustraire, une réduction égale à la quantité dont elle devrait être ôtée. Lorsque de 3, par exemple, il faut retrancher 5 , ou qu'on a la quantité 3 — - 5 , en ôtant d'abord 3 de 5 , on décompose 5 en deux parties û et «2 dont la soustraction successive reviendrait à celle de 5, et par là, au lieu de 3 — 5 on a Texpression équivalente 3 — 3 — 2 qui se réduit à — 2. Le signe — qui précède a montre que c'est ce dont il s'en faut que la soustraction ait pu s'opérer tout entière , en sorte que si l'on eût ajouté a à la première des quantités, on aurait eu 3 + a — 5 , ou zéro. On exprime donc , au moyen des signes algébriques , l'idée qu'on doit attacher à la quantité négative — a y en formant l'équation a — a = o , ou en regardant les symboles a — a , b — b j etc. comme équivalens à zéro.
Cela posé , on conçoit que si l'on joint à la quantité quelconque a le symbole b — bj qui n'est au fond que zéro , on ne changera point la valeur de cette quantité , et que par conséquent l'expression a -f- ^ — b n'est qu'une autre manière d'écrire la quantité a ; ce qui est d'ailleurs évident , puisque les termes -{^.b et — b se détruisent.
Mais ayant , par ce changement de forme , fait entrer dans la composition de a les quantités -^ b et — b, on voit que pour soustraire l'une quelconque de ces quan-
tités , il suffit de TefFacer. Si c'est -|- b qu'on veut soustraire de a , on l'effacera , et j^l restera a — b , ce qui s'accorde avec la convention établie n° 2 ; si c'est , au contraire , — Z> , on effacera cette dernière quantité , et il restera a -^ b , comme on le conclurait du n° 20.
A l'égard de la multiplication , on remarquera que le produit de a — a par -f- b , doit être a b — a b , parce que le multiplicande étant égal à zéro , le produit doit aussi être zéro ; et le premier terme étant ab j\e second doit nécessairement être -— a b , pour détruire ce premier.
On conclura de là que — a multiplié par -f- b doit donner — ab.
En multipliant a par b — Z> , on aura encore ab — ab ^ parce que le multiplicateur étant égal à zéro , le produit sera aussi égal à zéro ; et il faudra par conséquent que le second terme soit — ab pour détruire le premier -^ ab.
Donc -f- « multiplié par — b doit donner — ab.
Enfin si l'on multiplie — a par b — 3, le premier terme du produit étant , d'après ce qui précède , — abyîl faudra que le second terme soit -^ ab , puisque.le produit doit être nul en même temps que le multiplicateur. ^
Donc — a multiplié par — b doit donner '^ ab.
En rapprochant ces résultats , on en déduit les mêmes règles que celles du numéro 3 1.^
Le signe d'un quotient , combiné avec celui du diviseur, suivant les règles propres à la multiplication, devant reproduire le signe du dividende , on conclura de ce qui vient d'être dit , que la règle des signes, donnée n° 4^ , convient encore au cas actuel , et que par con- "^équent les quantités monômes , lorsqu'elles sont isolées, se combinent , par rapport à leurs signes y de même que lorsqu'elles font partie des polynômes.
94 ÉLJÊMENS
G3. D'après ces remarques on pourra toujours, lorsqu'on rencontrera des valeurs négatives , remonter au véritaLIe énoncé de la question résolue , en cherchant de quelle manière ces valeurs satisfont aux équations du problème proposé ; c'est ce que l'exemple suivant , qui se rapporte à des nombres différens d'espèce de ceux de la question du n° 56 , confirmera. ^
64' Deux couriers , pour aller à la rencontre l'un de l'autre, partent en même temps de deux villes dont la distance est donnée ; on sait combien de kilomètres chaque courier fait par heure , et on demande à quel point de la route qui joint les deux villes , ces couriers se rencontreront.
Afin de rendre plus évidentes les circonstances de la question , j'ai placé ci-dessous une figure dans laquelle les points indiqués par les grandes lettres A et B , repréwsentent les lieux de départ des couriers.
J'exprimerai à l'ordinaire par de petites lettres les données et les inconnues de la question.
a la distance des points de départ A et B ,
b le nombre de kilomètres que parcourt dans une
heure , le courier parti du point A , c le nombre de Idlomètres que parcourt dans le
même temps , le courier parti du point B.
La lettre R étant placée au point de rencontre des deux couriers, je nommerai a: le chemin AR fait par le premier, y\e chemin i?iî fait par le second; et comme
AR^BRz=A B,
j'aurai l'équation
Convsidérant ensuite que les chemins x et y sont par-
courus dans le même temps , on remarquera que le premier Courier , qui fait un nombre b de kilomètres en une heure de temps , emploiera à parcourir l'espace x
oc un temps marqué par j-.
De même le second courier , qui fait un nombre c de kilomètres en une heure, emploiera à parcourir, le
chemin jy, un temps marqué par-J^ -, on aura donc
Les équations de la question seront par conséquent
En faisant disparaître le dénominateur b de la se- -conde, on aura
mettant cette valeur de x dans la première équation , celle-ci deviendra
on en conclura ' " •'^-
by'j~cy = ac, d'où y = J^,
^ Remettant la valeur dey dans celle de a;, on ob-« tiendra
ou enfin
Puisqu'il n'entre aucun signe — dans les valeurs de X et de y , il est évident que quelques nombres (^u'on prenne pour les lettres a , 6 , c , on trouvera toujours pour X et pour y deux nombres affectés du signe -f- y et que par conséquent la question proposée sera toujours résolue dans le sens précis de son énoncé. En effet, on conçoit facilement que dans tous les cas où deux couriers' vont en même temps l'un vers l'autre , ils doivent nécessairement se rencontrer.
65. Je suppose à présent que les deux couriers aillent dans le même sens ; celui qui part du point A courant après celui qui part du point B , et qui tend vers un point C, placé au-delà du point B , par rapport au point u4.
Il est évident que , dans cette hypothèse , le courier parti du point A ne peut rencontrer le courier parti du point B , qu'autant qu'il va plus vite que ce dernier ; et le point de rencontre R n'est plus entre A etB , mais au-delà de B y par rapport à A.
En conservant les mêmes données que ci-dessus , et en observant qu'alors
