AR — B R = A B
on aura
La seconde équation
n'exprimant que l'égalité des temps employés par les couriers à parcourir les espaces A RetB R,ne change point.
Les deux équations ci-dessus , étant résolues comme les précédentes , donnent
ac
-y^za, hy-'cy=^ac,
h ac ah c
c h'-'C cXp^-^-c)^ et enfin ^a#f.f
Ici les valeurs de x et de^ ne seront positives qu'autant qu'on prendra b plus grand que c , c'est-à-dire qu'on supposera que le courier parti du point ^ va plus vite que l'autre.
Si l'on fait, par exemple,
Z> = 20, c=io,
on a
d'où il résulte que le point de rencontre R est éloigné du point u4 de deux fois AB.
Si l'on suppose ensuite b plus petit que c ; qu'on fasse , par exemple ,
on trouve
10 — 20 — lO
lo — 20 —10
Élém, d'Algèbre. i4* édition. 7
Ces valeurs étant affectées du signe — , font voir que la question ne peut plus être résolue dans le sens de son énoncé ; et en effet il est absurde de supposer que le Courier parti du point A , ne parcourant que 10 kilomètres par heure, puisse jamais atteindre le courier parti du point B , qui fait 20 kilomètres par heure , et qui est en avant du premier.
^^. Cependant ces mêmes valeurs résolvent la question dans un certain sens ; car en les substituant dans les équations
on a , par les règles des signes ,
équations qui sont satisfaites , puisqu'en effectuant les réductions qui se présentent , le premier membre devient égal au second ; et si l'on fait attention aux signes des ternies qui composent la première , on verra comment il faut modifier l'énoncé de la question pour en ôter l'absurdité.
En effet, c'est le chemin a, correspondant à x et parcouru par le premier courier , qui est véritablement soustrait du chemin Q.a , correspondant à ^ et parcouru par le second courier ; c'est donc comme si l'on avait changé y en x et x eny , et comme si l'on avait supposé que le courier parti du point B allât après l'autre.
Ce changement dans l'énoncé en produit un dans la direction du chemin des couriers ; ils ne tendent plu» vers le point C , mais du côté opposé , vers le point C, C/omme le montre la figure suivante : ^ hW,/.
et leur rencontre
se fait en R\ Il résulte de là
BBI — AK — AB,
ce qui donne
on a toujours d'ailleurs <r^îf
et on trouverait
ab ioa
~c — b 20 — 10 ' ac 9.0 a
valeurs positives , qui résolvent la question dans le sens précis de son énoncé.
67. Cette question présente un cas dans lequel elle est tout-à-fait absurde. Ce cas a lieu lorsqu'on suppose que les deux couriers vont également vite ', il est visible que de quelque côté qu'on les fasse marcher, ils ne peuvent jamais se rencontrer, puisqu'ils conservent entre eux l'intervalle de leurs points de départ. Cette absurdité, qu'aucune modification dans l'énoncé ne peut faire disparaître , se manifeste bien évidemment dans les équations.
On a alors b z= c ^ puisque les couriers allant également vite, parcourent le même espace dans une heure ; l'équation
devient
et donne
Par là l'équation x
= ûse
change
en
ou
lOO JÊ L É M E N s
résultat bien absurde , puisqu'il suppose nulle une quantité a dont la grandeur est donnée.
68. Cette absurdité se montre d'une manière assez singulière dans les valeurs des inconnues
ab ac
leur dénominateur b — c devenant o lorsque b = c, on a
ac
ab
On n'aperçoit pas aisément ce que peut être le quotient d'une division , quand le diviseur est zéro -, on voit seulement que si l'on prenait b très voisin de c , les valeurs de a: et dey deviendraient très grandes. Pour s'en convaincre , il n'y a qu'à prendre
6 a ^ on aura x = — = oo « ,
5,8a yr=-^ — =2Qa; •^ o,2 ^
qu'on passe ensuite à
on aura
Sa ^ x = = bo a.
qu'on fasse encore
il viendra
Sa ^
X = mbooa,
5,QQa
D'A L G jÈ B R E. 101
«t on voit facilement que le diviseur diminuant à mesure qu'on rend plus petite la différence des nombres b et c , on obtient des valeurs de plus en plus grandes.
Cependant , comme quelque petite que soit une quantité , elle ne peut jamais être prise pour zéro , il s'ensuit que quelque peu différens qu'on supposât les nombres représentés par les lettres Z> et c , et quelque grandes que fussent par conséquent les valeurs de x et de y résultantes , jamais on n'atteindrait à celles qui répondent au cas où b ^= c.
Ces dernières ne pouvant être représentées par aucun nombre , quelque grand qu'on le suppose , sont dites in-
TTi
finies^ et toute expression de la forme — , dont le dénominateur est zéro, est regardée comme le symbole de
Cet exemple montre qaeV infini mathématique est une idée négative , puisqu'on n'y parvient que par l'impossibilité d'assigner une quantité qui puisse résoudre la question.
On pourrait demander ici comment les valeurs
ab ac
satisfont aux équations proposées ; car c'est une propriété essentielle de l'Algèbre que les symboles des valeurs des in* connues, quels qu'ils soient, étant soumis aux opérations indiquées sur ces inconnues , satisfassent aux équations du problème.
En les substituant dans les équations
qui répondent au cas où è:=r c , on a , par la première , ah ah
ah — ah ou = ûr^ ou ah — aZ>r=aXo,
ou enfin
0 = 0, puisque flXo = o.
La seconde équation donne , dans la même circonr stance ,
ah ah
les deux membres de chaque équation devenant égaux, ces équations sont satisfaites.
Il reste encore à expliquer comment la notion indiquée par l'expression — , corrige l'absurdité du résultat
trouvé dans le n° ^j. Pour cela, on divisera par x les deux membres de l'équation
X'-y'=a\ on aura
et comme l'équation
donne x =y , la première deviendra
1 — 1=- ou o=-.
L'erreur consiste ici dans la quantité -, dont le second
membre surpasse le premier ; mais cette erreur deviendra de plus en plus petite, à mesure qu'on prendra pour a; un plus grand nombre. C'est donc avec raison que l'Al-^ gèbre donne pour x une expression qu'aucun nombre*
D'A L G È B R E. Io3
quelque grand qu'il soit, ne saurait représenter , mais qui, venant à la suite de celles qui représentent des nombres de plus en plus grands , indique dans quel sens on peut atténuer de plus en plus Terreur de la supposition.
63. Si les couriers, allant également vite et dans le même sens, partaient du même point, leur jonction ne se ferait plus à un point particulier , puisqu'elle aurait lieu dans toute l'étendue de leur course : il est bon de voir comment cette circonstance est représentée par les valeurs que prennent dans ce cas les inconnues x et y,
Le point A et le point B étant confondus ensemble , on a pour ce cas , a= o , et toujours è = c ; il vient donc
^^ o o* -^ o o' Pour interpréter ces valeurs , qui indiquent une division dans laquelle le dividende et le diviseur sont nulg tous les deux, je remonte aux équations de la question. La première , devenant
X — y = o , donne x r=.y ; et substituant cette valeur dans la seconde équation qui est alors S -3-^^
oc y .. . y y
La dernière équation ayant ses deux membres identiques , c'est-à-dire composés des mêmes termes , pris avec le même signe , est satisfaite , quelque valeur qu'on assigne à^ , et ne saurait déterminer cette inconnue. D'ailleurs, il est évident que l'équation
Y=*^ revient a x-=.y ^
et n'exprime par conséquent rien de plus que la
première (*). Il résulte seulement de Tune et de l'autre , que les deux couriers seront toujours ensemble , puisque les distances x et y partent toutes deux du point w^, et sont égales, leur valeur restant d'ailleurs indéterminée. L'expression - est donc ici le symbole d'une quantité indéterminée : je dis ici , car il y a des cas où cela n'est pas ; mais alors l'expression proposée n*a pas la même origine que la précédente. 70. Pour en donner un exemple , soit
Cette quantité devient 3 dans sa forme actuelle , lorsqu'on fait a = 6 ; mais si on la réduit d'abord à sa plus simple expression, en supprimant le facteur a — è, commun au numérateur et au dénominateur, on trouve
ce qui donne 2a quand az=:b.
Il n'en est pas de même des valeurs de a: et de y, trouvées dans le n*^ précédent; car elles ne sont pas susceptibles d'être réduites aune plus simple expression.
Il suit de ce que je viens de dire, que lorsqu'on rencontre une expression qui devient f, il faut, avant de prononcer sur sa valeur , chercher si le numérateur et le dénominateur n'ont pas quelque facteur commun qui, devenant nul, rende ces deux termes égaux à zéro en même temps ; et en le supprimant , on ob-
(*) Pour abréger le discours , les analystes appliquent aux équations mêmes , l'epithè te d'' identiques.
•^ =-y est une dquation identique, 5 — 3x = 5 — 3a- en est une
autre; et quand deux e'quations n'expriment que la même chose, on dit aussi que ces équations sont identiques.
D'A L G E B R E. Io5
tiendra la vraie valeur de l'expression proposée. Il y a cependant des cas qui pourraient échapper à cette méthode ; mais les bornes de cet Ouvrage ne me permettent que de faire remarquer \efait analytique. C'est en traitant du Calcul différentiel, qu'on donne les procédés généraux pour trouver la vraie valeur des quantités qui deviennent J ("^•).
71 . Ce quiprécèdefait voir bien clairement que les solutions algébriques y ou satisfont complètement à l'énoncé du problème y quand il est possible, ou indiquent une modification à faire dans l'énoncé , lorsque les données présentent des contradictions qui peuvent être levées , ou enfin font connaître une impossibilité absolue, lorsqu'il n'y a aucun moyen de résoudre avec les mêmes données, une question analogue dans un certain sens à la proposée.
72. Il faut remarquer dans la solution des différens cas de la question précédente , que le changement de signe des inconnues x et y répond à un changement dans la direction des chemins que ces inconnues représentent. Quand l'inconnue j^ était comptée de B vers A , elle avait dans l'équation
le signe -f-, et elle a pris le signe— pour le second cas, lorsqu'on l'a portée du côté opposé, de B vers C, n° 65 , puisqu'on a eu pour première équation
oo—y:=a.
En effectuant ce changement de signe dans la seconde
{* ) Voyez le Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral^ lora. I, ou le Traité élémentaire sur le même sujet.
équation,
on trouverait
résultat qui n'est pas celui qu'on a donné dans le n° cité ; mais il faut observer que le chemin jy se compose par des multiples de l'espace c que parcourt en une heure le Courier parti du point B, et cet espace étant dirigé dans le même sens que l'espace j, doit être supposé de même signe , et prendre par conséquent le signe — lorsqu'on le donne ky : on aura, par cette remarque ,
T= — — ou T=-b — c b c
Il suffit donc d'un simple changement de signe pour comprendre le second cas de la question dans le premier; et c'est ainsi que l'Algèbre doune à la fois la solution de plusieurs questions analogues.
Le problème du n° 1 5 en offre un exemple bien évident. On a supposé dans cet article , que le père devait au lîlsune somme d\ si on veut résoudre la question dans l'hypothèse contraire, c'est-à-dire en supposant que le fils doive à son père la somme d , il suffira de changer le signe de d, dans la valeur de a;, et l'on aura b c — d
enfin , si on les suppose quittes l'un envers l'autre , i} faudra faire c?=o, et il viendra bc
Rien n'est plus aisé que de vérifier ces deux solutions, en mettant de nouveau le problème en équation , pour chacun des cas q\i'on vient d'énoncer.
