f 34j^— jZz — Q
aSa + 56 j — io3 z; r=: 8 ; prenant la valeur de y dans la première de ces équations , on aura
Par cette valeur , la seconde devient
étant délivrée du dénominateur 34 , elle se change en 34x262 -f- 56 X73zi—56Xi9o--34Xio3z=:::34x8 ou en
8568 4- 4088 z — . 10640 — 35o2 z rr= 272. La réduction du premier membre de ce résultat conduit à
cToù Ton tire ^^ ?
""=■58^' "" "^4- En remontant de la valeur de s à celle de j , on aura
et avec ces deux valeurs , on trouvera
^^284-4x3~9X4^P-8+iP^-36 4 ^u a: = 2.
On a donc payé 2 fr. pour le transport d'un petit vase ,
3 pour celui d'un moyen ,
4 pour celui d'un grand.
Cet exemple suffit pour montrer comment il faut s'y prendre dans tous les autres cas.
81. Il arrive souvent que toutes les inconnues n'entrent pas à la fois dans toutes les équations ; cette circonstance ne change pas la méthode : il suffit de bien examiner la liaison des inconnues pour passer des unes aux autres.
Soient pour exemple les quatre équations
3 u — Qy =r 2, 9, X -\- 5 y = 39 ,
renferma^t les inconnues Uj x, y et z.
Avec un peu d'attention , on voit qu'en prenant dans la seconde équation la valeur de x, pour la substituer dans la troisième, le résultat contenant alors j' etz, fera, par sa combinaison avec la quatrième équation, connaître ces deux quantités; puis avec la valeur de^, on aura celles de u et de x, par le moyen de la première et de la seconde équation. En opérant ainsi , on fera le calcul suiva'^*;^^
5 X ^~ y -^-jz—ii,
ou 196 l5jy l4zi = 22,
OU i5j'-fi4z— 173 (67).
Les deux équations
i5jy-{- 145=: 173, ,
étant résolues , donneront
^ — 5, 2.^=7; et par ces valeurs , on aura
ou UZ=z4''
Q-{~2y 2 -\- 10 la
"-"~3~— ~3~~3" les nombres cherchés sont donc
4> 13, 5 et 7.
82. La méthode que je viens d'exposer s'appliquerait aux équations Httérales, de même qu'aux équations numériques ; mais la multitude des lettres qu'il faudrait employer pour représenter généralement les données , lorsque le nombre des équations et des inconnues surpasse 2 , a engagé les algébristes à chercher une manière de les exprimer plus simplement. Je la ferai connaître dans l'article suivant ; mais afin de fournir au lecteur l'occasion de s'exercer à mettre les problèmes en équation et à les résoudre, j'ai réuni ci-dessous une suite d'énoncés, et j'ai indiqué à la fin de chacun les résultats qu'on doit trouver.
1 °. Un père étant interrogé sur l'âge de sonfils, répond,si du double de l'âge qu'il a maintenant vous retranchez le triple de celui qu'il avait il y a six ans , vous aurez son âge actuel^
Réponse : L'enfant avait 9 ans.
2.'^. Diophante, l'auteur du plus ancien livre d'Algèbre qui nous reste , passa dans l'enfance le sixième du temps qu'il vécut, un douzième dans l'adolescence, ensuite il se maria^ et passa dans cette union le septième de sa vie, augmenté de cinq ans , avant d'avoir unfils auquel il survécut de quatre ans , et qui n'atteignit que la moitié de l'âge où son père est parvenu; quel âge avait Diophante j lorsqu'il mourut ?
Réponse : 84 ans.
^"^ Un marchand prélève tous les ans sur les fonds ^^'i^
a dans le commerce , une somme de i ooo francs pour la dépense de son ménage; cependant chaque année s on bien augmente du tiers de ce qui j'este , et au bout de trois ans se trouve doublé; combien avait-il au commencement de la première année ?
Réponse : i ^^oo francs.
4°. Un marchanda deux espèces de thé, la première à 1 ^francs le kilogramme , la deuxième à 1 8 francs ; combien doit-il prendre de chacune pour en former une caisse de i oo kilogrammes qui vaille 1 68o francs ?
Réponse : Zokilog. de la première etyo de la seconde,
5°. On a rempli en lo. minutes un vase contenant Sg litves d'eau, en faisant couler successivement deux fontaines, dont l'une fournissait ^litres par minute et Vautre 3 ; 071 demande pendant combien de minutes chaque fontaine a coulé ?
Réponse : La première 3 minutes , et la seconde 9. 6° . tfne montre marquant midi , V aiguille des minutes se trouve sur celle des heures ; on demande quel est le point du cadran où se fera la prochaine rencontre des aiguilles ?
Réponse : Lorsqu^il sera 1 heure 5 minutes et ^. Obs. Ce problème se rapporte à celui du n° 65. 7°. Un homme rencontrant des pauvres, veut donner 26 centimes à chacun , mais en comptant sa monnaie , il s'aperçoit qu'il lui manque pour cela 10 centimes, alors il ne donne que 20 centimes à chaque pauvre et il lui reste 25 centimes; on demande combien cet homme avait de monnaie , et quel était le nombre des pauvres ?
Réponse : // avait 1 franc 65 centimes, et les pauvres étaient au nombre de 7.
8^ Trois frères ont acheté un bien pour 5oooo francs;
il manque aupremier pour payer à lui seul cette acquisition, la moitié de l'argent qu'a le second ; celui-ci paierait l'acquisition à lui seul, si V on ajoutait à ce qu'il possède le tiers de ce qu'a le premier ; eirfm le troisième aurait besoin pour faire ce même paiement, de joindre à ce qu'il cr, le quart de ce que possède le premier ; combien chacun a-t-il d' arguent ?
Rép. Le premier a ZooQofr. , le deuxième 4oooo , et le troisième 42600.
9°. Après unepartie, trois joueurs comptent leur argent; un seul ayant perdu , les deux autres ont gagné chacun une somme égale à celle qu'ils ont mise au jeu ; après une seconde partie ^ Vun des joueurs qui avait gagné dans la précédente perd, et les deux autres gagnent chacun une somme égale à celle qu'ils avaient en commentant la seconde partie ; à une troisième partie , le joueur qui jusque-là avait gagné, perd, avec chacundes deux autres une somme égale à celle qu'ils avaient en commençant cette dernière partie , et alors les trois joueurs sortent avec 10,0 francs chacun; combien avaient-ils en entrant au jeu ?
Rép. Celui qui a perdu à la l '^ partie avait 1 ^^ francs , celui qui a perdu à la 9.^ 1 o5 ,
celui qui a perdu à la 3^ 60.
Formules générales pour la résolution des équations ^ du premier degré.
8o . Pour obvier à l'inconvénient que f ai fait remarquer au commencement du numéro précédent , on a imaginé de représenter par la même lettre tous les coefficiens d'une même inconnue , mais de les distinguer en les affectant d'un ou de plusieurs accens, suivant le nombre des équations.
Leô équations générales à deux inconnues s' écrivent ainsi:
a'x -{-b'y^zd.
lies coefîiciens de l'inconnue x sont représentés tous deux par a , ceux àey par è ; mais l'accent que portent les lettres de la seconde équation , fait voir qu'on ne les regarde pas comme ayant la même valeur que leurs correspondantes dans la première. Ainsi a! est une quantité différente àe a , b' une quantité différente de b. Lorsqu'il y a trois équations , on les écrit ainsi :
a X -{-b y -{-c z=zd , a' x-\-b' y-^-c' z:=:d' , a"x^b"y-^c"z=zd!'.
Tous les coefîiciens de l'inconnue x sont désignés par la lettre a, ceux dejy paré , ceux de z par c ; mais chaque lettre porte des accens différens qui marquent qu'elle appartient à diverses quantités. Ainsi a, a\ a", sont trois quantités différentes, et de même des autres.
Suivant cette marche , s'il y avait quatre inconnues et quatre équations , on les écrirait ainsi :
a x -\- b y '\- c z ^ d u-=z e ^ a! X + b'y -\-c' z-{-d'u — e\ a"x -f- b"y -\- c"z + d"u ■=. e\ cfx -f- ^y + d"z -f d"u = e'".
84. Afin do simplifier les calculs, en évitant les fractions , on modifie ainsi le procédé de félimination : Soient les équations
a'x -f b'y ■=. c \ il est évident que si l'une des inconnues , x , par exemple , avait le même coefficient dans les deux équations , il suffirait de les retrancher l'une de l'autre , pour faire
disparaître cette inconnue. Cela s'aperçoit tout de suite sur les équations
10 jî 4~ 9 y = i5,
qui donnent
11^ gj'^a/ — l5, ou 2J/rr:l2, ouj/ = G.
Il est visible aussi qu'on peut rendre immédiatement, les coefficiens de x égaux dans les équations
en multipliant les deux membres de la première par a coefficient de x dans la seconde, et les deux membres de la seconde par a , coefficient de x dans la première ; on obtient ainsi,
a a^ X -}- a' b y = a^ c , aa' x -{- a b'y = a d ,
Retranchant ensuite la première de celles-ci de la seconde , l'inconnue x disparaîtra ; on aura seulement («y — ab)y=zac — a'c,
équation qui ne contient plus que l'inconnuej/ ; et Ion en déduira
ab'-^ba!'
^ Le procédé que je viens d'employer peut toujours s'appliquer aux équations du premier degré , pour en chasser l'une quelconque des inconnues.
En éliminant de même l'inconnue y , on aurait la valeur de x.
Si l'on applique ce procédé aux trois équations renfermant a: , j et 2i , on pourra d'abord éliminer X entre la première et la seconde, puis entre la première et la troisième \ on parviendra ainsi à deux équations , qui ne
renfermeront plus quev et z , et entre lesquelles on éliminera ensuite j. -a M
Si l'on effectue le calcul , l'équation en z , à laquelle on paiTiendra , aura un facteur commun à tous ses termes, et ne sera par conséquent pas la plus simple que l'on puisse obtenir.
85. Bézout a donné une méthode fort simple pour éliminer à la fois toutes les inconnues hors une, et par laquelle on ramène immédiatement la question à des équations qui contiennent une inconnue de moins que les proposées. Quoique ce procédé ne soit nécessaire que lorsqu'il s'agit des équations à trois inconnues , je commencerai par l'appliquer à celles qui n'en contiennent que deux , afm d'embrasser le sujet en entier. Soient les deux équations
a X -f- èj' = c,
en multipliant la première par une quantité m , qui soit indéterminée, il viendra
amx-{-b m y =:cm\ et retranchant de ce résultat Véquation
a' X ^b'y — c' , on aura
^...x — a'x-i'bmy — b'y^cm'-'c/, (^am--'a')x-^{bm-^b^)y^cm-'c\
Puisque rien ne détermine la quantité m, on peut supposer qu'elle soit telle, que b m ^ b' . Dans ce cas , le terme multiplié parj/ disparaissant, on a
am ou
mais à
cause de è m
=zb'
, il résulte.
donc
cU
cU-
-bc'^
"" ab'
~ab'^
-ba''
Au lieu de supposer bm = b', si l'on fait am=a\ le terme affecté de x s'évanouira, et il viendra
cm — c^ y — bm—b"
La valeur de m ne sera plus la même que tout-à-l'heure ; car on aura
et en substituant dans l'expression de j, on trouvera
ca' — ac'
y^bd^ab" En changeant les signes du numérateur et du dénominateur de cette valeur (67), son dénominateur sera le même que celui de x , puisqu'on aura
ac' — ca!
y '~ ab'---ba!' 8ff. Soient maintenant les trois équations
ax-]-by~\-cz=id,
l'analogie conduira aisément à multiplier la première et la seconde par deux quantités indéterminées m et 71, à les ajouter ensemble, et à en retrancher la troisième • car par ce moyen elles seront employées toutes
en même temps, et les deux nouvelles quantités în et rt , dont il est permis de disposer à volonté , pourront être déterminées de manière à faire disparaître en même temps du résultat deux des inconnues. En opérant ainsi , et réunissant les termes qui multiplient une même inconnue , on aura
( am-\-an-^a" )x-j-(bm-j-b'n^b" )y-\- (cm-f-c'/i — c" )z
Si Ton veut faire disparaître x et y, il faudra poser pour cela les équations
a m -^ a' ji=r a", hm-^ b' n = b\
et alors il viendra
dm-\-d' n — d"
c jn-{- c' Ji — c''
Des deux équations dans lesquelles m et Ji sont les inconnues , il est facile de déduire la valeur de ces quantités au moyen des résultats obtenus dans le numéro précédent; car il suiïit de changer dans ceux-ci x en m, y en /i, et d'écrire au lieu des lettres
""'^'^ heslettresJ'''"'^"" a\b\c'V^''^^^'^^'ib,b\b%
ce qui donnera
ab'-^ba!* ab"—ba"
Substituant ces valeurs dans celle de z, et réduisant tous les termes au même dénominateur , on trouvera
__ dih'a"^a'b")-^d\ab"--ba")'-d"(ab'-^ba') ^ ~ c{b'a"-^ab")-\-c{ci b"—b a")-—i"{ci b'-^-b a)'
8i Ton avait fait évanouir les termes affectés dex et de z, on aurait euj;les lettres m et n auraient dépendu des deux équations
Sa m -^anz=a", cm-^- en = c";
et en opiérant comme ci-dessus, on aurait trouvé
d(c'a"^a'c") -^df(a d'-^c a")--'d"{a c'^c a ) y^b {cd'-^d c") 4- b' {a c"—c a")-^b\a c'-^c a)'
Enfin , en posant les équations
bm-^b'n7=:zb", cm + c'nz=^ c" ,
on ferait disparaître les termes multipliés par j/ et par z ; et il viendrait
d{c'b"^¥c") -hdfjb c"-^c b")---d\b c—c b') ^ ■"■ a{c'b"—b'c") -\- a{b d'-'C b")---a"(J) c'— "c b' ) *
En développant ces valeurs de manière à rendre leurs termes alternativement positifs et négatifs, et changeant en même temps les signes du numérateur et ceux du dénominateur , dans la première et dans la troisième , on pourra leur donner les formes suivantes :
ab'd"-- a d'b" + ddb"^ b a'd" + b d'à"— d b'a" ^—ab' c"— a d b" -f c a'b"— b a! d' -f- b dd'-^ c b' a"' ' '
__a d'd'^ a cd" -f- c a'd"—dd d' -f d dcé'-^ c d' a" y ~~~a b'd'— a db" -f-c d b"— b ad' -f- b da"— c b' a" '
dUd'— d db" -f- c d'b"^ b d'd' -f- b dd"— c b'd" , ^ -~'a b'd'— a db" -f c a!b"— b a'd' + b da"— c b'a"' 87. Soient les quatre équations
ax-^by-\-cz^-du = e,^§> ; ^^r ' d X ^ b' y -^ d z ^ d' u =z e', d'x -f- b"y -f- d'z -j- d"u = d', d^x -f- y y + d"z 4- d"u = d" ) Elém. d'Algèbre. 14* édition. 9
l3o ÉL^MENS
on multipliera la première par m , la seconde par n , la troisième par p , on ajoutera les produits , et en retranchant ensuite la quatrième , on trouvera
(am + fl'n 4- a"p — «") ^^ + {bm + b'n -f- b"p — b"')y + (c77i -f-c/ /i + c"p — c"0 z -^{dm + d'il + d"p^d"')u ^zem-^e'n •j'e"p — e".
Pour avoir u, on posera
a m -|- an -\- a"p ■=. a"'^ ^
bm-i-b'n-{-b"pz=zb"\ cm ~\- c'n -{■ c"p = c"', et il viendra
em + e'ri-f e"p — e*
" "" dm+ti'n'\'d"p-d^''
Le cas de quatre inconnues est donc ramené à celui de trois, au moyen des équations précédentes qui déterminent les facteurs m, n, p. Il faut remarquer que les lettres dete, n'entrant point dans ces équations, n'entreront pas non plus dans les valeurs de m, 7t, p, et qu'il suit de là que le numérateur de l'expression de u se conclut du dénominateur en changeant les e,qui sont les coefficiens de cette inconnue^ dans les d correspondans , qui sont les termes tout connus des équations proposées.
Cette loi, qu'on aurait déjà pu apercevoir dans les n°» 85 et 86 , s'étend à toutes les inconnues , en quelque nombre qu elles soient. Quant à leur numérateur, l'observation des résultats obtenus précédemment, fournit le moyen de les retrouver sans calcul.
88. Pour remonter au premier anneau de la chaîne , je prends l'équation à une inconnue ax=b ; j'en tire
où l'on voit que le numérateur estle terme tout connu b, et le dénominateur, le coeîTicient a de l'inconnue.
d'aLGEBUE. 131
Les deux équations
ax-\-by=zc, «'x -{- b'y = c' ,
ont conduit à
c b' — b c' ^^!!IZ£^'
^=^inrw' y-^ûb' — bâ''
le dénominateur se compose encore des lettres a, a', b,b\ qui multiplient les inconnues : on écrit d'abord la lettre a à côté de la lettre b , ce qui donne ab ; on échange ensuite a et b entre eux pour avoir 6 a , et en affectant cet arrangement du signe — , il vient «6 — ba ; on met enfin un accent à la seconde lettre de chaque terme : voilà le dénominateur a b' — ba! formé.
Cela fait, pour former le numérateur de x, on change, d'après la remarque qui termine le n^ précédent, les a en c , et les Z> en c pour celui de ^ ; de cette manière , on trouve quel'un est cb' — b c\ et l'autre ac — cd .
Il faut un peu plus d'attention pour reconnaître la formation du dénominateur des équations à trois inconnues. Cependant , puisque dans le cas des deux inconnues , le dénominateur présente tous les arrangemens possibles des deux lettres a et Z> qui multiplient ces inconnues, il est naturel de penser que lorsqu'il y a trois inconnues, leur dénominateur doit renfermer tous les arrangemens des trois lettres a, b ^ c; et pour former ces arrangemens avec ordre , on s'y prend de la manière suivante.
On forme d'abord les arrangemens ab — ba des deux letttes a et Z> ; à la suite du premier a Z>, on écrit la troisième lettre c, ce qui donneaZ>c; et faisant passer cette lettre partoutes les places, avec l'attention de changer le signe chaque fois , et de ne pas troubler l'ordre respectif de cf et de Z> , il en résulte
ab c — aQb-\-cab.
Ij2 É L É M E K S
Opérant de même sur le second arrangement de deux
lettres — b a, il vient
^■^b ac^b ca — cba-j
^réunissant ces produits aux trois précédens, puis marquant la seconde lettre d'un accent et la troisième de deux, on trouve
ab'c"-'ac'b"-^ca'b"'-ba'c"'hbc'a"-~cb'a\
résukat conformé à celui que présentent les formules obtenues immédiatement.
Il est facile de conclure de là, que pour former le dénominateur dans le cas de quatre inconnues, il faudrait introduire la lettre d dans chacun des six produits
abc—^acb"\-cab — bac-\-bca'~~cbaj
et lui faire occuper successivement toutes les places ; le produit abc, par exemple, donnerait les quatre suivans;
ab cd — abdù-^adbc — dab c.
En opérant de même sur les cinq autres produits de trois lettres, le résultat total aurait vingt-quatre termes, dans chacun desquels la seconde lettre porterait un accent, la troisième deux, et la quatrième trois (*).
89. Pour faire servir ces formules à la résolution des équations numériques, il faudra comparer terme à terme, les équations proposées, avec les équations générales des numéros précédens.
Pour résoudre , par exemple , les trois' équations
(*) M. Laplace, dans la seconde partie des Mémoires de TAcademie des Sciences pont 1772 , page 294, a démontre à priori ces lèplcs. Voyez aussi \cs Annales tle Mathématiques pures et appliquées, pni lyi. Gergonne, T. FV , page 1^8, cl ï. XH, p 38r.
il faudra \&6 comparer , terme à terme , avec celles du n° 86 , ce qui donnera
a =2 7, è = 5, c ==: a, ^ = 79, a' := 8, Ô' 1= 7, i/ = 9, ^' r= laa , a"=i, Ô"=4, c''z=5, rf^=:55.
Substituant ces valeurs dans les expressions générales des inconnues x\y çt a, et effectuant les opérations indiquées, on trouvera
Il est important de remarquer que les mêmes expressions serviraient encore ^ quand les équations proposées n'auraient pas tous leurs termes affectés du signe + > comme semblent le supposer les équationsgénéralesdont ces expressions sont déduites. Soient, pour exemple,
— 5x-j- <^y^Qz = — 20, 11 X — y y — 6z=37;
il faudra , ^n comparant les termes de ces équations à leurs correspondàns dans les équations générales, avoir égard aux signes, ce qui donnera
a"^ ^ ll^b"=:^ 7, C":= ~ 6, d"= + 37 ,
et ensuite déterminer, conformément aux règles du numéro 3 1 , le signe que doit prendre chaque terme des expressions générales àe x^y^z, d'après les signes des facteurs dont il est composé. On trouvera d'abord que le premier ternie du dénominateur commun , qui est a b^c", devenant -|.3x + 4X — G, change de signe, et produit— 72; et en faisant la même chose pour les
autres termes , tant des numérateurs que des dénominateurs, prenant, d'une part, la somme de ceux qui sont positifs, et de l'autre, celle de ceux qui sont négatifs, on obtiendra
îi.'T'J^ — 2834 — ^o
Des équations du second degré à une seule inconnue.
90. Dans les équations que j'ai traitées jusqu'ici, les inconnues ne montaient qu'à la première puissance, ou n'étaient point multipliées entre elles : ces équations n'étaient que du premier degré ; mais si l'on se proposait seulement la question suivante : Trouver un nombre tel, qu* étant multiplié par son quintuple , le produit soit égal à 126 , en désignant ce nombre par a:, son quintuple serait Sx , et on aurait
Cette équation est du second degré , parce qu'elle renferme oc^ j ou la seconde puissance de l'inconnue. Si l'on dégage cette seconde puissance de son coefficient 5 , on obtiendra
X^'=-—p~j ou X^=:23. •
On ne saurait ici conclurel'inconnue x comme dans le numéro 11, et la question proposée est seulement ramenée à trouver un nombre qui, multiplié'par lui-même, donne 25. Avec un peu d'attention , on reconnaît que ce nombre est 5; mais il arrive rarement que l'on puisse deviner ainsi la solution cherchée ; on est donc conduit à cette nouvelle question numérique : trouver un nom-
bre qui, multiplié par lui-même , donne un produit égal à un nombre proposé, ou , ce qui est la même chose, revenir de la seconde puissance au nombre qui l'a produite, et qu'on appelle sa racine quarrée. Je vais m'occuper d'abord de cette question , parce que la solution servira pour déterminer les inconnues dans toutes les équations du second degré.
9 1 . La méthode qu'il faut employer pour trouver ou extrairela racine des nombres, suppose que l'on connaisse la seconde puissance de ceux qui sont exprimés par un seul chiffre ; voici donc les neuf premiers nombres avec leur seconde puissance écrite au-dessous de chacun :
On voit par cette table que la seconde puissance d'un nombre exprimé par un seul chiffre , n'en contient pas plus de deux : 10, qui est le plus petit des nombres exprimés par deux chiffres, en a trois à sonquarré, 100. Pour se préparer à décomposer la seconde puissance d'un nombre exprimé par deux chiffres, il faut en étudier d'abord la formation; et pour cela, je vais chercher comment chaque partie du nombre 4/, par exemple, concourt à la production du quarré de ce nombre.
On peut décomposer 4/ en 4o -f- 7, ou en 4 dixaineset 7 unités ; en représentant par a les dixaines du nombre proposé , et par b ses unités , sa seconde puissance sera exprimée par
(^a+b) (a-fZ>) =za^-\-2ab-^b^y
c'est-à-dire qu'elle contiendra trois parties , savoir : le quarré des dixaines , deux fois le produit des dixaines par les unités , et le quarré des unités. Dans l'exemple que j'ai choisi, a = 4dixaines ou /^ unités, et 5 =7',
E xN
on aura
Total,
2ab-}-¥~
Pour revenir maintenant du nombre 2209 ^ ^^ racine 47, on observera d'abord que le quarré des dixaines , 1600, n'a point de chiJOFre significatif d'un ordre inférieur aux centaines ,, et qu'il est le plus grand quarré que puissent contenir les 22 centaines de 2209; car 32 tombe entre 16 et 26, c'est-à-dire entre le quarré de 4 et celui de 5 , comme ^j tombe entre 4 dixaines ou 40 , et 5 dixaines ou 5o.
Si donc on cherche le plus grand quarré contenu dans 22, on trouvera 1 6, dont la racine 4 exprimera lesdixaines de celle de 2209 : retranchant ensuite 16 centaines ou 1600, de 2209, ^® reste 609 contiendra encore le double produit des dixaines parles unités, 56o, et le quarré des unités, 49- Mais le double produit des dixaines par les unités, n'ayant point de chiffres d'un ordre inférieur aux dixaines, doit se trouver dans les deux premiers chiffres 60 du reste 609, qui contiendront en outre les dixaines provenues du quarré des unités. Cependant, si l'on divise 60 parle double des dixaines 8, on aura , en négligeant le reste , un quotient 7 égal auX imités cherchées. Multipliant ensuite par 7 le nombre 8 , considéré comme des dixaines , on formera le double du produit des dixaines par les unités , 56o, et le retranchant du reste total 609 , on obtiendra une différence 49 , qui doit être, et qui est en effet le quarré des unités.
L/opération que je viens de raisonner se dispose ainsi :
On écrit le nombre proposé comme s'il s'agissait de le diviser par un autre, et on destine à la racine la place que devrait occuper le diviseur.^ Ensuite on sépare par une virgule les unités et les dixaines , pour ne considérer que les deux premiers chiftres sur la gauche , qui doivent contenir Içquarré des dixaines de la racine. On cherche le plus grand quarré 16, contenu dans ces deux chiffres ; on en porte la racine 4 à la place qui lui est affectée, et on retranche 16 de as. A côté du reste G, on abaisse les deux autres chiffres , 09 , du nombre proposé ; on sépare le dernier qui n'entre point dans le double produit des dixaines par les unités ; on divise la partie restante à gauche par 8 , double des dixaines de la racine, ce qui donne pour quotient les unités 7 ; et pour former tout d'un coup les deux dernières parties du quarré que doit contenir 609 , on écrit 7 à côté de 8 , d'où résulte le nombre 87 , égal au double des dixaines plus les unités , ou à 2 a -h ^, et qui, étant multiplié par 7 ou par 5, reproduit 609 = 2 ^ ô -{- b'^y ou le double produit des dixaines par les unités , plus le quarré des unités : faisant la soustraction il ne reste rien ; et l'opération achevée prouve que 47 ^st la racine quarrée de 2209.
Soit encore à extraire la racine quarrée de 5^4 ; je dispose l'opération comme il suit :
22,4 ft8
