OP O
et, d'après ce qui vient d'être dit, je trouve i pour les dixaines de la racine ; ces dixaines étant doublées , me donnent le nombre a , par lequel il faut diviser les deux premiers chiffres 22 du reste. Or 22 contient 2 onze fois , et non-seulement on ne peut avoir à la racine , ni plus de 10, ni 10 , mais 9 lui-même serait encore trop fort dans le cas actuel ; car en écrivant 9 à côté de a, et multipliant 29 par 9 , comme le prescrit la règle , on aurait pour résultat 261 , qu'on ne saurait retrancher de 224. On ne doit donc regarder la division de 22 par 2, que comme un moyen approximatif de trouver les unités , et il faut diminuer le quotient obtenu, jusqu'à ce qu'on parvienne à un produit qui ne surpasse point le reste 224 , condition que remplit le nombre 8 , puisque 8 X 28 = 224 j donc la racine cherchée est 18.
En formant les trois parties du quarré de 18, on trouve d'^iioo
2 ab:= 160 b^== 64 Total, 524= 18 X i8,
et on voit que les 6 dixaines que contient le quarré des unités étant réunies à 160, double produit des dixaines par les unités , altèrent ce produit , de manière que la division par le double des dixaines ne peut plus donner les unités seules.
92. L'extraction de la racine quarrée d'un nombre composé de trois ou de quatre chiffres , ne saurait arrêter, d'après ce qui précède ; mais il faut encore quelques détails pour mettre le lecteur en état d'extraire la racine d'un nombre exprimé par autant déchiffres qu'on voudra, et on va les voir naître des principes déjà posés.
Tout nombre au-dessous de 100 n'aura que quatre chiffres à son quarré, puisque celui' de icc est iQOOo
ou le plus petit nombre exprimé par cinq chiffres. Cela posé , pour examiner la formation du quarré d'un nombre au-dessus de loo, de ^y^, par exemple , on pourra décomposer ce nombre en 4'jo-\-'5 , ou 4? dixaines , plus 3 unités • et pour déduire son quarré de la formule
on fera a-=^4l dixaines =470 unités, ô = 3 unités , d'où
a" •=. 220900 Q, ab •=. 2820
Total , 223729= 473 X 47'^'
On voit dans cet exemple que le quarré des dixaines n'a point de chiffres significatifs d'un ordre inférieur aux centaines , et cela doit être en général , puisque des dixaines multipliées par des dixaines, produisent toujours des centaines (^Arith. 52).
C'est donc dans la partie 2237 qui reste sur la gauche du nombre proposé, après qu'on en a séparé les dixaines et les unités, qu'il faut chercher le quarré des dixaines ; et comme 473 tombe entre 47 dixaines , ou 470 , et 48 dixaines , ou 480 , 2237 doit tomber entre le quarré de 47 et celui de 48 , d'où il suit que le plus grand quarré contenu dans 2237 , sera celui de 47 > ^^ ^^s dixaines de la racine. Il est évident que pour retrouver ces dixaines, il faut opérer comme sil'on voulait extraire la racine quarrée de 2237 ; mais au lieu d'arriver à un résultat exact , on trouvera un reste contenant les cen-« taines formées par le double produit des 47 dixaines multipliées par les unités.
Pour effectuer le calcul, on dispose l'opération comme on le voit ici :
Sj
oco o
On sépare d'abord ]çs deux derniers chiffres 29, et pour extraire la racine du nombre 9237 restant sur la gauche , on sépare encore les deux derniers chiffres 37 de ce nombre ; de cette manière , le nombre proposé est partagé en tranches de deux chiffres , en allant de droite à gauche. On opère sur les deux premières tranches comme on l'a fait d^ns le numéro précédent sur le nombre 2209, ce qui donne les deux premiers chiffres 4? ^^ ^^ racine ; mais on trouve un reste 28, lequel, joint aux deux chiffres 29 de la dernière tranche , renferme le double du produit des 4? dixaines par le>s unités , et le quarré des unités. On sépare le chiffre 9, qui ne peut faire partie du double produit des dixaines par les unités , et on divise 289 par 94, double des 47 dixaines ; écrivant le quotient 3 à côté de 94, et multipliant 943 par 3 , il vient 2829 , nombre précisément é^al au dernier reste , et l'opération est terminée.
93. Pour montrer comment il faut opérer sur un nombre quelconque , je vais extraire la racine de 22391824. Quelle que soit cette racine , on peut toujours la concevoir décomiX)sée en dixaines et en unités , comme dans les exemples précédens. Le quarré des dixaines n'ayant aucun chiffre signilicatif d'un ordre ' inférieur aux centaines , les deux derniers chiffres 24 ne pourront y entrer 5 on les st?parera
donc, 6t la question sera ramenée d'abord à chercher le plus grand quarré contenu dans la partie 223918, restante à gauche. Cette partie étant composée de plus de deux chiffres , il en faut conclure que le nombre ■ qui exprime les dixaines de la racine cherchée , en a plus d'un ; il peut donc être décomposé à son tour en dixaines et en unités. Le quarré de ces dixaines n'entrant point dans les deux derniers chiffres iS de la partie 2239183 c'est dans les chiffres 2239 restant à gauche , qu'il faudra le chercher ; et puisque 2239 ^ encore plus de deux chiffres , le quarré qu'il doit contenir en renfermera au moins deux à sa racine ; le nombre qui exprimé les dixaines que l'on cherche , aura donc plus d'un chiffre : c'est donc enfin dans 22 qu'il faudra chercher le quarré de celui qui représente les unités de l'ordre le plus élevé de la racine demandée. Par cette suite de faisonnemens , qu'on peut pousser aussi loin qu'on voudra , le nombre proposé se trouvera partagé en tranches de deux chiffres en allant de droite à gauche ] il est bon néanmoins d'être prévenu que la dernière tranche à gauche pourra ne contenir qu'un seul chiffre.
Le nombre proposé étant ainsi partagé en tranches, et disposé Comme On le voit ici , on opère sur les trois premières tranches comme dans l'exemple du numéro précédent ; et lorsqu'on a trouvé les trois premiers chiffres 4/3, à côté du reste i89jOnabaisselaquatnème tranche 24, et on considère le nombre 18924 , comme contenantle double produit des 4/3 dixaines trouvées par les unités cherchées , <^<^oo o
3oi,8 282 9
rp i L li M È N s
plus le quarré de ces unités. On sépare le dernier chiffre 4 ; on divise ceux qui restent à gauche par 946, double de 473 , et on fait ensuite la yériUcation du quotient 2 , comme dans les opérations précédentes.
L'opération se termine là dans cet exemple \ mais il est aisé de voir que s'il y avait une tranche de plus , les quatre chiffres trouvés /^'j'5q. , exprimeraie"ntles dixaines d'une racine dont on chercherait les unités, et que par conséquent il faudrait diviser le reste qu'il y aurait alors , plus le premier chiffre de la tranche suivante , par le double de ces dixaines , et ainsi de suite pour chacune des tranches à abaisser successivement.
94. S'il arrivait qu'après avoir abaissé une tranche , le reste , joint au premier chiffre de cette tranche , ne contînt point le double des chiffres trouvés, il faudrait poser o à la racine ; car, alors , la racine n'aurait point d'unités de cet ordre : on abaisserait ensuite la tranche suivante pour continuer l'opération comme à
l'ordinaire. L'exemple ci- 49)4^^)0,9
joint est relatif à ce cas. On 04,20,9
n'a point écrit les quantités o 00 o
à soustraire , mais on a effectué les soustractions par
la pensée , comme dans la division.
95. Tous les nombres ne sont pas des quarrés parfaits. En jetant les yeux sur la table de la page i35 , on voit qu'entre les quarrés de chacun des neuf premiers nombres , il existe des lacunes comprenant plusieurs nombres qui n'ont point de racine ; 45 , par exemple , n'est point un quarré , puisqu'il tombe entre 36 et 49. Il arrivera donc le plus souvent que le nombre dont on demandera la racine quari'ée, n'en aura point -, mais en opérant comme s'il en avait une , le résultat sera la racine du plus grand quarré qu'il contient. Si l'on cherche , par exemple, la racine de 2276, on trouvera 4/ » et il restera ^'j , ce qui montre que
le plus grand quarré contenu dans 2276, est celui de ^'j^ ou 2209.
Comme on pourrait craindre , après avoir trouvé la racine du plus grand quarré contenu dans un nombre , d'avoir mis quelques chiffres trop faibles à la racine , voici un moyen de reconnaître si le reste est trop considérable , et si la racine trouvée est trop petite. Le quarré de a 4" ^ étant
a«-f- 2aZ> + Z)%
si l'on fait i = i , le quarré de a -f- 1 sera
quantité qui diffère de a^, quarré de a , du double de a, plus l'unité. Donc si la racine trouvée devait être augmentée de V unité ou de plus que l'unité , il faudrait que son quarré , retranché du nombre proposé , laissât un reste au moins égal à deux fois cette racine , plus l'unité. Toutes les fois que cette circonstance n'aura pas lieu , la racine extraite sera en effet celle du plus grand quarré contenu dans le nombre proposé.
96. Puisque , pour multiplier une fraction par une fraction , il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux , il est évident que le produit d'une fraction par elle-même , ou le quarré d'une fraction est égal au quarré de son numérateur , divisé parle quarré de son dénominateur. Il suit de là que pour extraire la racine quarrée d'une fraction , il faut extraire celle de son numérateur et celle de son déno-
25 5 mmateur. Ainsi la racine de ^ est ^^ parce que 5
est la racine quarrée de 25 , et 8 celle de 64.
C'est une chose très importante à remarquer , que
rion-éeulement les quarrés des fractions proprement dites, sont toujours des fractions, mais que tout nombre fractionnaire iiréductible , étant multiplié par luimême , donnera toujours un résultat fractionnaire aussi irréductible.
97. Cette proposition repose sur celle-ci : Tout nombre premier P , qui divise le produit A B Je deux nombres A et B , divise nécessairement l'un de ces nombres.
Je suppose qu'il ne divise pas -ff , etque B le surpasse; en désignant par q le quotient entier de cette division, et par B' le reste, on aura
B=.qPJtB',
d'où , en multipliant par A , an déduira
ABz^qAP-^AB^
et divisant les deux membres de cette équation par P , on obtiendra
AB j^ ^B'
d'où il résulte que la divisibilité de AB par P entraîne celle du produit AB' parle même nombre. Or B' étant le reste de la division de B par P , est nécessairement moindre queP: ainsi, ne pouvant pas diviser ^'parP, on divisera P par B\ on aura un quotient (jr' et un reste B"\ puis on divisera P par B\ on aura un quotient^" et un reste F" y et ainsi de suite, puisque P est un nombre premier.
Cela posé, on aura cette suite d'équations
p ■=, q' B' ->t B\ P = q"B"'{-B"', etc.;
multipliant chaque membre par A , on obtiendra
AP^qJB'^AB", AP=q"AB"+AB'", etc.
divisant par P, il viendra
^=^9 -p-+-p-> -^ = 9 -p-4--p-, etc.,
résultats qui font voir que AB' étant divisible par P , les produits ^Z»^, AB"'j etc. , doivent l'être aussi. Mais les restes B\ B'\ E" , etc. , déviennent de plus en plus petits ; et l'on doit tomber enfin sur l'unité , car les opérations indiquées ci -dessus se continuent de la même manière tant que ces restes surpassent 1, puisque P est un nombre premier ; et quand on est parvenu à l'unité , on a le produit ^ X 1 , qui doit être divisible par P : donc A , lui-même , doit être divisible par P.
Il suit de là que si le nombre premier JP, qu'on suppose ne pas diviser B , ne divise pas non plus A, il ne divisera point le produit de ces nombres.
( Cette démonstration est , â peu près , extraite de la Théorie des nombres de M. Legendre. ) (*)
