Maintenant, lorsque la fraction - est irréductible

il n'y a aucun nombre premier qui puisse diviser à la

{*) Il est facile de voir que la proposition ci-dessus s'e'tend à uu produit couipose d'autant de facteurs que l'on voudra , et que si ces facteurs sont tous des nombres premiers, le pioduit ne peut être divise' par aucun autre nombre premier, ce qui prouve que la décomposition d'un nondireen facteurs simples ( ^/itA. 162) ne saurait s'efFccluer que d'une seule manière,

Déplus, un nombre compose ne pouvant pas diviser un autre nombre, sans que celui-ci ne soit divisible successivement par chacun des facteurs simples du premier, il en résulte que tout nombre composé qui est premier avec l'un des f;<clenrs d'un produit ^B , ue divisera ce produit qu'autant qu'il divisera l'autre facteur.

Ceci prouve la proposition énoncée dans le n» 5ç) de C A rit luné"

tique, que toute fraction dont les termes sont premiers entre eux, est

• j .-i I . h d ^.^ . , hc

irréductible : car soit - = — : on en déduira </ = — , et si « et i sont a c. a

premiers entre eux , il faudra , pour que d soit entier, que a divise c»

ce qui suppose t- = ou ^ « , et d'où il résulte <i =; ou > h.

Elém, d'Algèbre. 14^ édition. 10

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fois b et a; or, d'après ce qui précède , tout nombre premier qui ne divise pas a , ne peut diviser a^a , ou a^ ; tout nombre premier qui ne divise pas h , ne divise pas b y, h ou b^ : les nombres a" et b"^ sont donc alors premiers entre eux • et par conséquent le

quarré — de la fraction - , étant irréductible , comme

a^ CL

cette fraction , ne saurait être un nombre entier.

99. Il résulte de cette dernière proposition, que tous les nombres entiers , qui ne sont point des quarrés parfaits, n'ont point de racine , non-seulement en nombres entiers, mais encore en nombres fractionnaires . Cependant on sent qu'il doit exister une quantité qui , multipliée par elle-même , produise un nombre quelconque , 2276 , par exemple , et que dans ce cas , cette quantité est comprise entre 47 et 48 ; car ^j y:, ^j , donne un produit moindre que ce nombre /^^ Y, ^'^ en donne un plus grand • et en partageant l'intervalle qui se trouve entre ^j et 48 , par des fractions , on trouve des nombres qui , multipliés par eux-mêmes , donnent des produits plus grands que le quarré de /^j , moindres que celui de 48, et de plus en plus approchans du nombre 2276.

L'extraction de la racine quarrée , appliquée aux nombres qui ne sont pas des quarrés parfaits , donne donc naissance à une nouvelle espèce de nombres , de même que la division engendre les fractions ; mais il y a cette différence entre les fractions et les racines des nombres qui ne sont pas des quarrés parfaits , qut les premières , qui se composent toujours d'un nombre exact de parties de l'unité , ont avec cette unité une commune mesure , ou un rapport exprimé par des nombres entiers , et que les secondes n'en ont point.

En concevant l'unité partagée en cinq parties , par exemple , on exprime avec neuf de ces parties le quotient de la division de 9 par 5, ou f ; k étant contenu

cinq fois dans Tunité et neuf fois dans f , est la commune mesure de 1* unité et de la fraction f , et le rapport de ces quantités est celui des nombres entiers 5 et 3.

En considérant que les nombres entiers , aussi bien que les fractions , ont avec l'unité une commune mesure , on dit que ces quantités sont commensurables avec l'unité, ou simplement commensurables; et parce que leurs rapports ^ ou raisons , avec l'unité, sont exprimés par des nombres entiers , on désigne aussi les nombres- entiers et les fractions , sous le nom commun de nombres rationnels.

Au contraire , la racine quarrée d'un nombre qui n'est pas un quarré parfait , est incommensurable ou irrationnelle , parce que , ne pouvant être représentée par aucune fraction , il s'ensuit qu'en quelque nombre de parties qu'on suppose l'unité divisée , aucune ne sera assez petites pour mesurer en même temps , d'une manière exacte , cette racine et l'unité.

Pour indiquer en général une racine à extraire , soit qu on puisse l'obtenir exactement ou non , on se sert du signe {/ qu'on nouiine radical ç

\/iS est la même chose que 4,

yQ est incommensurable ou irrationnelle.

100, Quoiqu'on ne puisse , par aucun nombre entier ou fractionnaire, obtenir une expression exacte de V^2, on en approche cependant d'aussi près qu'on veut , en convertissant ce nombre en fraction dont le dénominateur soit un quarré \ et la racine du numérateur, prise seulement en nombre entier , donne celle du nombre proposé , exprimée en parties de l'espèce marquée par ïa racine quarrée du dénominateur.

Si l'on convertit , par exemple , le nombre 2 en sS^'"", on aura ~, La racine de 5o étant 7 en nombre entier , et celle de 26 étant exactement 5 , on aura | , ou i | pour la racine de 2 , approchée à moins d'un ô^*"^.