Il est visibV que cette opération , fondée sur ce
qu'on a vu, dane le numéro ^6 , que le quarré d'une fraction était exprimé par une nouvelle fraction qui avait pour numérateur le quarré du numérateur primitif, et pour dénominateur le quarré du dénominateur primitif , s'applique à quelqu'espèce de fraction que ce soit , et plus facilement encore aux décimales qu'à toutes les autres. En effet , il suit de son principe , que le quarré d'un nombre exprimé en dixièmes , doit l'être en centièmes , que celui d'un nombre exprimé en centièmes , doit l'être en dix - millièmes , et ainsi de suite ; et que par conséquent le nombre des chiffres décimaux du quarré est toujours double de celui de la racine. Cette dernière remarque peut encore se déduire du principe de la multiplication des nombres décimaux , qui veut qu'un produit renferme autant de chiffres décimaux qu'il y en a tant dans l'un des facteurs que dans l'autre. Dans le cas actuel , le nombre proposé , considéré comme le produit de sa racine multipliée par elle-même , doit avoir deux fois autant de chiffres décimaux que cette racine.
Ce qui précède étant bien compris , il est aisé d'en conclure que si l'on veut obtenir la racine quarrée de 227 , par exemple , à moins d'un centième près , il faut réduire ce nombre en dix-millièmes , c'est-à-dire , ajouter quatre zéros à sa suite , ce qui donnera 2270000 dix-millièmes , dont on extraira la racine comme d'un pareil nombre d'unités ; mais pour marquer que le résultat doit être des centièmes, on séparera, par une viri^ule, les deux derniers chiffres sur la droite. On trouvera ainsi , que la racine de 227 , à moins d'un centième près, est i5,o6 ; voici l'opération :
i5oB
3oo6
Si le nombre proposé contenait déjà des décimales, il faudrait en rendre le nombre pair , ainsi que l'exige l'extraction. Pour extraire, par,exemple , la racine de 5i,7 , on mettrait un zéro à la suite de ce nombre , pour qu'il eût au moins des centièmes, et on extrairait ensuite la racine de 5 1,70. Si Ton voulait avoir une décimale de plus, on mettrait deux zéros de plus à la suite de ce nombre , ce qui ferait 61,7000 , et l'on trouverait 7,19 pour sa racine.
Ceux qui voudront s'exercer , pourront chercher les racines quarrées des nombres a et 3 , avec sept chiffres décimaux , ce qui exigera qu'ils mettent quatorze zéros à la suite de ces nombres, et ils devront trouver pour résultat
V^â=i,4i4ai36, v/3=:i,73ao5o8.
10a. Lorsqu'on a trouvé plus de la moitié des chiffres qu'on veut avoir à la racine , on peut obtenir le reste par la seule division. Soit pour exemple 33976 • la racine quarrée de ce nombre est 181 , avec un reste ai 5 ; en divisant ce reste 2x5 par oGa , double de 181 , et poussant le quotient jusqu'à deux décimales, on aura 0,69 , qu'il faudra ajouter avec 181 , et il en résultera 181,69 pour la racine de 32976 , exacte à moins d'un centième près.
Pour prouver la légitimité de ce procédé , je désigne par N le nombre proposé , par a la racine du plus grand quarré contenu dans ce nombre , et par b ce qu'il faut ajouter à cette racine pour avoir la racine exacte du nombre proposé ; on aura , d'après ces dénominations? ,
d'où N'-d'^iLab-^b'\
et divisant par 2.a , on trouvera
Ce résultat fait voir que le premier membre pourra
iSo B L iS M E N s
ètve pris pour la valeur de b , toutes les fois que la quan-^
tité — sera plus petite que l'unité de l'ordre le moins
élevé qui se trouve dans b. Mais le quarré d'un nombre ne pouvant avoir au plus que deux fois autant de chiffres que ce nombre , il s ensuit que si le nombre de chiffres de a surpasse le double de ceux de è, la quantité — sera alors une fraction.
Dans l'exemple précédent, fl= 181 unités ou i8icx) centièmes , et a par conséquent un chiffre de plus que le
quarré de 69 centièmes ; aussi la fraction — devient
alors -i-;—- et se trouve beaucoup au-dessous d*une unité de la seconde partie 69 , ou d'un centième d'unité de la première-.
io3. Ceci conduit à une méthode pour approcher de la racine quarrée d'un nombre par des fractions ordinaires , en continuant indéfmiment le procédé de l'extraction des racines. En effet, a étant la racine du plus grand quarré contenu dans N ,best nécessairement
une fraction , et la quantité — étant alors beaucoup
plus petite que b, peut se négliger.
Soit , pour exemple , à extraire la racine quarrée de s -, le plus grand quarré contenu dans ce nombre étant i , après l'en avoir retranché , il reste 1. Divisant ce reste par le double de la racine , on trouve ^ ; prenant ce quotient pour la quantité b , il vient, pour une première approximation de la racine, 1 -j- ^, ouf- Elevant cette racine au quarré , on trouve | , qui , retranchés de 2 oux, donneront pour reste —^. Dans ce cas , la formule
devient
En prenant — -j^ pour b , il viendra pour la seconde approximation | — -n = H j quarrant — , Qn trouvera '{f , quantité qui surpasse encore a ou yu- S^^" stituant 7^' à la place de a , il en résultera
ce qui donneara
la troisième approximation aéra donc
la 12X34"^ 4o3 . 4oB*
ïl est facile de continuer cette opération aussi loin qu'on voudra. Je donnerai dans le Complément de ce Traité, d'autres formules plus commodes pour exti'aire les racines en général.
104. Pour approcher de la racine quarrée d'une fraction, ridée qui s'offre d'abord est d'extraire par approximation la racine quarrée du numérateur et celle du dénominateur; mais en y réfléchissant un peu, on s'apercevra bientôt qu'on peut éviter l'une de ces opérations , en faisant en sorte que le dénominateur soit un quarré parfait , ce qui ne tient qu'à multiplier parce dénominateur, les deux termes de la fraction proposée. Si l'on avait, par exemple , à extraire la racine quarrée de 1, on changerait cette fraction en
3X7.Qi
7X7 49' en multipliant ses deux termes par 1© dénominateur 7. La racine du numérateur do cette dernière fraction, étant
prise en nombre entier , donne f pour celle de ^ , et ce résultat est approché à moins de j.
Pour obtenir un plus haut degré d'exactitude, il faudrait convertir, au moins par approximation,la fraction ■} en une autre dont le dénominateur fût le quarré d'un nombre plus grand que 7, On aurait, par exemple, à moins de -j^ près, la racine demandée, sil'on convertissait f en 226'''"^^, puisque 226 est le quarré de i5 ; il viendrait ainsi ^^ de 226^'"" ou ^ , à moins de ^7 ; la racine de ^Ys est entre -j^ et jf , mais plus près de la seconde fraction que de la première , parce que 96 est plus près de 100 que de 81 : on aurait donc 77 o^ f pour la racine de | à moins de jj P^'ès.
Si l'on voulait employer les décimales pour extraire la racine approchée du numérateur de la fraction f| , on trouverait 4,583 pour la racine approchée du numérateur 2 1 , et on diviserait ce résultat par la racine du nouveau dénominateur. En poussant le quotient jusqu'à trois décimales, on aurait o,655.
io5. Actuellement on est en état de résoudre toutes les équations dans lesquelles il n'entre que la seconde puissance de l'inconnue , combinée avec des quantités connues.
Il suffit pour cela de réunir dan>s un seul membre tous les termes affectés de cette puissance, puis de la dégager de ses multiplicateurs, par la. règle dun° 11 : on obtient la valeur de r inconnue, en extrayant la racine quarrée de l'autre membre.
Soit pour exemple l'équation
En faisant disparaître les diviseurs , on trouve d'abord • i5^=— 168=84— 14^'.
ms le premier membra le tei le terme 168 , il viendra
Transposant dans le premier membra le terme 14 ^% et dans le second le terme 168 , il viendra
ou 29 x''^ 262,
et ^ Tf y
Il fautbienremarquer quepour indiquer laracine de la fraction ^^ j'ai fait descendre le signe i^ au-dessous de la barre qui sépare le numérateur du dénominateur. Si j'a-
vais écrit -^^ , cette expression aurait marque le quotient que donne laracine quarrée du nombre 262 , quand on la divise par 29 , résultat différent du premier, dans lequel la division doit être effectuée avant l'extraction de la racine.
Soit encore l'équation littérale
en opérant comme sur la précédente , on aura successivement
ao(f — cj(f = (P — b'^y
Je ferai observer à cette occasion, que lorsqu'on veut indiquer la racine quarrée d'une quantité complexe , il faut prolonger la barre supérieure du radical sur toute la quantité.
La racine de la quantité 4 ci'b — 2 6^-|- c% s'écrirait ainsi,
ou bien encore .
en substituante labarre supérieure du radical une parenthèse renfermant toutes les parties de la quantité dont il faut extraire la racine ; et cette dernière expression peut quelquefois paraître préférable à l'autre ( 35 ).
En général, toute équation du second degré de l'es^ pèce que je considère ici, pourra, par la transposition de ©es termes, être ramenée à la forme
paf
"désignant le coefficient quelconque de x* ; et on en
tirera, .. ,
loÇ. Par rapport aux nombres absolus, cette solution est complète, puisqu'elle ramène à pratiquer sur le nombre , soit entier , soit fractionnaire , que représente la
quantité ~ , une opération arithmétique conduisarit
toujours à un résultat soit exact, soit approchant du vrai d'aussi près qu'on voudra ; maia en ayant égard aux signes dont les quantités peuvent être affectées , l'extraction de la racine quarrée laisse une ambiguïté d'après laquelle toute équation du second degré est susceptible de deux solutions , tandis que oeJles du premier degré n'en ont qu'une.
En effet, dans l'équation générale a?* =35, la valeur de X étant la quantité qui, élevée-au quarré, produit
26 , die pourra , si l'on oonsîdère les (joantît^ ^gébriquement , être affectée indifféremment du signe -f ou du signe — ; car, soit qu'on la désigne par -f 5 ou par — 5 , on aura également pour son quarré ,
'^*^5x-f 5=:-f-25 ou— 5X — 5i=4-2^5:
on peut donc prendre
ic = 4- 5,
Par la même raiso», pour l'équation générale
Cl Cl
on aura indifféremment
ou
On comprend ces deux expr^sions dans la suivante :
où le double signe ±: indique qu'on peut affecter alternativement du signe -|- ou du signe — , la valeur numérique de
D'après ce qu'on vient de remarquer , c'est une règle générale , qu*t/ faut donner à la racine quarrée d'une quantité quelconque le double signe rh.
On pourrait, d'après cette règle, demander pourquoi, X étant la racine quarrée de or'jOn n'affecte pas aussi X du double signe ±: ? On répondra d'abord, avec M. Develey ( Algèbre d'Emile , T. II. ) , que la ^ettre 00 ayant été posée simplement sans signe ( c'est-à-dire avec le signe -f ) , comme le symbole de l'inconnue , c'est dans cet état qu'il en faut déterminer la valeur, et que lorsqu'on cherche un nombre x dont le quarré soit h, par exemple, il n'y a que ces deux solutions possibles: ^ = + yi', x= — yb. Ensuite, quand même, en résolvant l'équation x^=ib, on écrirait dt x=±i \/b , et qu'on arrangerait ces signes de toutes les manières possibles , savoir :
on n'obtiendrait rien de plus, puisqu'en changeant le signe des membres de la seconde équation de chaque ligne (67), on retomberait sur la première.
107. 11 suit encore de la considération des signe*, que si le second membre de l'équation générale
P était un nombre négatif, l'équation serait absurde, puisque le quarré d'une quantité affectée , soit du signe + , soit du signe — , étant toujours affecté du signe -+-, on ne peut trouver, ni dans l'ordre des quantités positives , ni dans celui des quantités négatives , aucune quantité dont le quarré soit négatif.
C'est cette circonstance qu'on exprime lorsqu'on dit que la racine d'une quantité négative est imaginaire.
Si l'on parvenait à l'équation ^
d'à l g È d r e. iSj
on en tirerait
x^ == 9 — iï5 ,
ou
or il n'y a aucun nombre qui, multiplié par lui-même, puisse produire — 16. Ilest bien vrai que — 4 niultiplié par -\-/i donne — 16; mais ces deux quantités, ayant un signe différent, ne peuvent être considérées comme égales, et leur produit n'est par conséquent pas un quarré. On verra plus bas de nouveaux éclaircissemens sur cette espèce de conti-adiction , qu'il faut bien distinguer de celle du n°58, qu'un simple changement dans le signe de l'inconnue a fait disparaître -, ici c'est le signe du quarré x* qu'il faudrait changer.
108. Pour être complète , une équation du second degré à une seule inconnue doit contenir trois sortes de termes, savoir : des termes affectés du quarré de l'inconnue, d'autres affectés de l'inconnue au premier degré , d'autres enfin tout connus ; telles sont les équations
X* 4x=zl2, 4^ ^X^'zrz^. 2X. ^
La première est, à quelques égards , plus simple que la seconde, parce qu'elle ne renferme que trois termes , que le quarré de xy est pris positivement, et n'a pour coefiicient que l'unité. C'est sous cette dernière forme qu'on met toujours les équations du second degré avant de les résoudre ; en sorte qu'elles peuvent être représentées alors par la formule
x^ -j-pxz=zq^
p et q désignant des quantités connues, soit positives, Foit négatives.
Il est visible qu'on amènera toute équation du second degré à cet état, i"". en passant dans un seul membre tous les ternies affectés de x (10) ; 3°. en changeant le signe de chaque terme de l'équation pour rendre positif
l58 lÊ L É M E N s
celui de as*, ^i\ était d'abord négatif (67) * 3°. en divisant tous les termes de l'équation par le multiplicateur de cr*, si ce quarré en a un (u), ou en multipliant par son divi^ seur, s'il est divisé (12).
En appliquant ceci à l'équation
elle devient, lorsqu'on passe dans le premier membre les termes affectés de x ,
lorsqu'on change les signes ,
lorsqu'on multiplie par le diviseur 5 ,
3 :r* — 5o x=: — Î20 ; f t lorsqu'on divise par le multiplicateur 3 ,
En comparant cette équation avec la formule générale
on aurait pour ce cas particulier . •
109. Pour parvenir à la solution des équations ainsi préparées , il faut se rappeler la remarque faite dans le n°34, que le quarré d'une quantité composée dé deux termes , contient toujours le quaiTé du premier terme , le double du premier terme multiplié par le second , et le quarré du second; et que par conséquent le premier membre de l'équation
x^ -|- 9 a a; -f- a"" = ^ , dans laquelle a et & sont des quantités connues , est un quarré parfait , celui de x-^a, d'où il insulte {x-j-a)ix+a) — b
Prenant alors la racine quarrée du premier nuembre , e4 indiquant celk du second, on aura
équation qui n'est plus que du premier degré, par rapport à l'inconnue x , et donne , en transposant ,
Une équation du second degré serait donc facilement ré-solue si elle était ramenée à la forme
c est-à-dire si son premier membre était un quarré.
Mais le premier membre de l'équation générale
x^ -{'pxt=:q,
renferme déjà deux termes que l'on peut regarder comme faisant partie du quarré d'un binôme , savoir : x^ qui sera le quarré du premier terme x^ etporqui sera le double du premier multiplié par le second , lequel ne peut être par conséquent que la moitié dep, ou-^p! Pour achever le quarré du binôme x-^-^p, il faudrait encore le quarré du second terme |p; mais ce quarré peut être formé , puisque p et | p sont des quantités connues , et peut ensuite être ajouté au premier membre , pourvu qu'on l'ajoute en même temps au second , afin de conserver l'égalité ; et ce dernier membre demeurera encore tout connu.
Le quarré de ^ p étant \ p^ , son addition aux deux membres de l'équation proposée ,
x^-i-px — q, la change en
aî=^-|-pa; + ^p^ = (7 + iP% a,.,. ,. .
résultat dontle premier membre est le quarré de a: -f- Ip; prenant donc la racine des deux membres, j'ai
et transposant , il vient
d'où je tire successivement
et 0:=— ip— v/^ + ;p^
J'ai donné le signe -f- su second terme ~ p de la racine du premier membre de l'équation proposée , à cause que le second terme de ce membre était positif; il faut y mettre le signe — dans le cas contraire , parce que le quarré x^ — Q.ax -j-a°- répond au binôme x — a.
La résolution d'une équation quelconque du second degré, s'obtiendra en rapportant cette équation àla formule générale
x'' '\-px = q'y
ou bien en appliquant immédiatement à l'équation proposée , l'opération que l'on a faite sur cette formule , et qui peut s'énoncer comme il suit :
Rendre le premier membre de T équation proposée un quarré parfait ^en y ajoutant^ ainsi qu au second, lequarré de la moitié de la quantité donnée qui multiplie la première puissance de l'inconnue; égaler ensuite les racines quanées de chaque membre , en observant que celle du premier est composée de V inconnue et de la moitié de la quantité donnée , qui la multiplie dans le second terme , prise avec le sis:ne de cette quantité , et que la racine du second menibre doit être précédée du signe dz, et indiquée par le signe ]/, si elle ne peut, s'obtenir immédiatement.
En voici des exemples.
1 10. Trouver un nombre tel, qucn l'ajoutant j fois à spn quarré, le somme soit 44^
X désignant le nombre cherché , l'équation sera évidemment
Pour la résoudre, je prends ^ , moitié du coefficient 7 qui multiplie a:, et l'élevant au quarré , j'ai la quantité ~ que j'ajoute à chaque membre , ainsi qu'il suit:
et en réduisant le second membre en une seule fraction^, il vient
La racine du premier membre est, suivant la règle ci-
dessus, X -f ^ , et on trouve pour celle du second — ;
donc l't
jquation
de
laquell
e on tire
La première valeur de x résout la question dans le sens de son énoncé , puisqu'on a , par cette valeur,
somme 44,
Eiém. d'Algèbre. 14^ éàition. u
Quanta la seconde, comme eile est affectée du signe — , le terme 7 x, devenant
7X — ii== — 77, doit être retranché de x^; en sorte que l'énoncé de la question résolue par le nombre 1 1 , est celui-ci :
Trouver un nombre tel, qucn retranchant 7 fois ce nombre de son quarré, il reste 44-
La valeur négative modifie donc ici la question d'une manière analogue à ce qu'on a vu pour les équations du premier degré.
Si l'on mettait l'énoncé ci-dessus en équation, on obtiendrait
x^—yx=:44, et en la résolvant , il viendrait
, 4,9 naS .
La valeur négative de x est devenue positive , parce qu'elle satisfait littéralement au nouvel énoncé, et la valeur positive, qui n'y satisfait pas de môme, est devenue négative.
On voit par là que , dans le second degré, l'Algèbre
réunit dans la même formule deux questions qui ont entre elles une certaine analogie.
111. Quelquefois les énoncés qui mènent à des équations du second degré sont susceptibles de deux solutions; le suivant est dans ce cas.
Trouver un nombre tel, que si Von ajoute i5 à son quairé, la somme soit égale à S fois ce nombre.
Soit X le nombre cherché; l'équation du problème sera
x^ -{-i5~Sx.
En mettant cette équation sous la forme prescrite Jï° 1 08 , on aura
x'^__8.x — — i5, a:- — 8x4-i6 = -~i5+ iG, x^ — 8a:-f-l6r=i, S x— 4=:±:i,
x=:4±:i, ou a: = 5,
Il y a donc deux nombres difFérens 5 et 3, qui jouissent de la propriété comprise dans l'énoncé,
112. Quelquefois aussi on rencontre des énoncés qui ne peuvent être résolus d'aucune manière dans leur sens précis, et qui doivent être modifiés ; ce cas est celui où les deux racines de l'équation sont négatives , comme celles de la suivante :
Cette équation, qui exprime que le quarré du nombre cherché, augmenté de S fois ce nombre, et encore de Q ^ doit donner une somme égale à 2 , ne peut évidemment être vérifiée par addition, comme elle est posée, puisque déjà
6 surpasse 2; et en effet, si on la résout, on trouve siiccessivement
Les signes — dont sont affectés les nombres 1 et 4 , font voir que le ternie 5 x doit être retranché des autres, ou que l'énoncé doit, pour les deux valeurs, être rédigé ainsi :
Trouver un nombre tel , que si on le retranche o fois de sonquarré, et quon ajoute 6 ou reste y on oit 2 pour résultat.
Cet énoncé fournit l'équation
qui donne pour x les deux valeurs positives 1 et ^.
11 3. Soit encore ce problème :
Partager un nombre p en deux parties dont le produit soit égal à q.
En désignant une de ces parties par a? , l'autre sera exprimée par p — X, et leur produit sera px — x*; on aura donc l'équation
p X — x^^=zq ,
ou, en changeant les signes,
résolvant cette dernière , on trouvera
Si , pour particulariser la question , on faisait
P==lO, (7=21,
on aurait
x = S±: /aô — 21,
ou 07 ==: 5 ±1 2 ,
Xt=7,
c'est-à-dire que l'une des parties serait 7, et l'autre serait par conséquent 10 — 7 ou 3.
Si l'on prenait au contraire 3 pour a:, l'autre partie serait 10 — 3 ou 7; en sorte queparrapportàl'énoncé actuel, la question n'a, à proprement parler, qu'une solution, puisque la seconde n'est qu'un changement d'ordre entre iCS parties.
L'inspection attentive de la valeur de x fait voir que dans la question dont il s'agit, on ne peut pas prendre tout-àfait arbitrairement les nombres p et q ; car si £7 surpassait
'-y , ou le quarre de - p , la quantité '— ; q serait négative , et on retomberait sur le caractère d'absurdité remarqué dans le n° 107.
Si l'on prenait, par exemple,
p =; 1 o et <7 := 3o , il viendrait
le problème serait donc impossible avec ces données. 114. L'absurdité des questions qui conduisent à des
racines imaginaires ne se manifeste que par la conclusion , et l'on doit désirer de connaître par des caractères tenant de plus près à l'énoncé , en quoi consiste l'absurdiitédu problème,de laquelle résulte celle de la solution; c'est ce que fera voir d'une manière précise la considération suivante.
Soit d la différence des deux parties du nombre proposé -, la plus grande sera--|--, la plus petite- (5) ;
or il est bien prouvé (23 , 3o et 34) que
K^'^Q.J Va ^y '4 4 •
donc le produit des deux parties du nombre proposé ,
quelles qu'elles soient, est toujours moindre que ^, ou
quelequarrédelamoitié de leur somme, tant que d n'est pas nul \ et quand cette circonstance a lieu, chacune
de ces deux parties étant égale à-, leur produit n'est
que ^. Il est donc absurde de demander qu'il soit plus
grand; et c'est avec raison que l'Algèbre, répondant alors d'une manière contradictoire aux principes , prouve par là que ce qu'on cherche n'existe pas.
Ce qu'on vient de montrer sur l'équation
x^ — px= — q ^
fournie par la question précédente , convient à toutes
celles ,du second degré où q est négatif dans le second
membre , les seules dans lesquelles on puisse rencontrer
des racines imaginaires , puisque le terme — placé
SOUS le radical, conserve toujours le signe -f- quel que soit celui de p. En effet , quand on aurait l'équation ji:'- -f- p ,r =r — q^ ou x^ -)- /' ^ "h 7= ^ j
on verrait d'abord qu'elle ne saurait admettre aucune solution positive , puisque son premier membre ne renferme que des termes additifs; et pour savoir si l'inconnue x pourrait être négative, il suffirait de changer a: en — y. L'inconnuej' aurait alors des valeurs positives qui seraient données par l'équation
y — PJ'4-^ = o, ou y — pjr= — (7,
précisément la même que celle du numéro précédent ; or les valeurs de x ne pouvant être réelles que lorsque celles de y léseraient, elles deviendraient encore imaginaires dans le cas actuel, si q surpassait ^.
On voit donc, parles remarques ci-dessus, comment et pourquoi , lorsque le terme tout connu d'une équation du second degré est négatif dans le second membre, et dIus grand que le quarré de la moitié du coefficient de la première puissance de V inconnue, cette équation ne peut avoir que des racines imaginaires.
11 5. Les expressions
et en général celles qui comprennent la racine quarrée d'une quantité négative , se nomment quantités imaginaires ("^). Ce ne sont que des symboles d'absurdité qui tiennent la place de la valeur qu'on aurait obtenue, si la question proposée eût été possible.
On ne les néglige point dans le calcul , parce qu*il arrive quelquefois qu'en les combinant d'après certaines lois , l'absurdité se détruit , et le résultat devient réel. On en trouvera des exemples dans le Complément.
{*) Il serait plus exact de dire expressions ou symboles iniaeçinaires, puisque ce ne sont pas des quantités.
l68 É JL E M E N s
116, Comme il importe beaucoup aux commençatia d'acquérir des notions exactes sur tous les^àïV^ d'analyse qui paraissent sortir des idées communes, j'ai cru qu'il fallait aussi ajouter quelques éclaircissemens à ce que l'on a déjà vu (106) sur la nécessité d'admettre deux solutions daus les équations du second degré.
Je vais montrer que s'il existe une quantité a qui , substituée à la place de x, satisfasse à l'équation du se^ cond degré x*-f- p x==: q , et s oit par conséquent la valeur de X , cette inconnue aura encore une autre valeur. Si l'on substitue, en effet, a à la place de a: , il en résultera a^ -\-pa:=q\ et puisque , par l'hypothèse , a est la va^leur de X, (7 sera nécessairement égal à la quantité a* +P ^ * on pourra donc écrire cette quantité au lieu de q^ dans l'équation proposée, qui deviendra par là
X* -\- pxz=a^ -}- pa.
Transposant tous les termes du second membre dans le premier, il viendra
qu'on peut écrire ainsi :
x^ — fi* -f- p {x — a) = o;
et à cause que
on voit sur-le-champ que le premier membre est divisible par X — a, et donne pour quotient exact, jc-f-a-f /? : on a donc, d'après cela,
X'-j^px—q—x^—a-'-^p ix^a)~{x'^a) (x-f-a-f-p),
Maintenant il est évident qu'un produit est égal à zéro , lorsque l'un quelconque de ses facteurs devient nul 5 on doit donc avoir
non-seulement lorsque x — a = o , ce qui donne
mais encore lorsque a: -f a-f- P = ^ ^ ^'^^ ^^ résulte
Il est donc prouvé que si a est une des valeurs de ^^ — a — p sera nécessairement l'autre.
Ce résultat s'accorde avec les deux valeurs comprises dans la formule
x~-—lp± \/q + Wy
car en prenant pour a la première , — v p + v 7 + 4 P** par exemple , on trouverait pour l'autre
— a— pz=+èp— V^^4-ip'^— P==— ip— /^+iP'' ce qui est en effet la seconde racine.
Je reviendrai dans la suite sur ces remarques , qui contiennentle germe delà théorie générale deséquations d'un degré quelconque.
117. La difficulté de mettre les problèmes en équation, est pourle second degré, et en général pour quelque degré que ce soit, la même que pourle premier, et consiste toujours dans la manière de démêler toutes les conditions distinctes , comprises dans l'énoncé , et de
les exprimer à l'aide des caractères algébriques. Les questions précédentes n'offraient aucune difiiculté à cet égard , et l'on doit s'être suifisamment exercé dès le premier degré ; cependant je vais encore résoudre quelques questions qui donneront lieu à plusieurs observations utiles.
On a employé deux ouvriers , gagnant des salaires dijférens; le premier ayant été payé au bout d'un certain nombre de jours , a reçu ^Sfr. , et le deuxième ayant travaillé six jours de moins , n'a eu queS/^fr. ; s'il avait travaillé tous les jours, etque l'autre eût manqué six jours, ils auraient reçu tous deux la même somme : on demande combien de jours chacun a travaillé , et le prix de sa journée.
Ce problème , qui semble d'abord renfermer plusieurs inconnues , se résout facilement par le moyen d'une seule , parce que les autres s'expriment immédiatement par celle-ci.
En désignant par x le nombre des jours de travail du premier ouvrier ,
x — G sera celui des jours de travail du second,
— sera le prix de la journée du premier ouvrier,
— — celui de la journée' du second ;
si ce dernier eût travaillé pendant x jours , il aurait gagné
X X 7. ou g ,
et le premier travaillant seulement j: — 6 jours, n'aurait en
q6 qÔ (jc — G)
iZ ou - — ^^ :
que {x — 6) ^^ ou
l'équation du problème sera donc
