Pour comparer maintenant à la marche qu'on

vient de suivre la méthode générale , on développer.-i

l'équation

■=.jn:

{a — x) (a — x) on aura successivement

x^ =^ m (^a — x) (a — ^), x^ := d^m — ^amx -^ mx"^ y x"" — mx"" + Q.amx = a'niy (1 — m)jc^+2amx := a^m^ o.amx tt^ rri

- . 2 a 771 a^ m en taisant p r= , q = ,

la formule générale donnera

am ^\ y g^yyi'' ■ a^Tn

1 jjl \r (1 771) (1 77l) 1 771*

Ces valeurs de x paraissent bien différentes de celles qui ont été trouvées plus haut ; cependant elles s'y ramènent , et c'est en quoi l'exemple qui m'occupe peut être utile pour montrer l'importance des transformations que les diverses opérations algébriques produisent dans l'expression des quantités.

Il faut premièrement réduire au;niême dénominateur les deux fractions comprises sous le radical, ce qui s'effectuera en multipliant par 1 — tti , les deux termes de la seconde ; et il viendra

G^ 771^ fi^ 771 cfvn?- -i- a^ra (1 — 771 )

a^Tin^ -f- û^77i. — a^m^ a ^m

(1 7«')(l rtx) (l 771 ) (1 771 )*

Le dénominateur étant un quarré , il restera seulement à extraire la racine du numérateur, et on aura

\r (1 77l)(l 'ïi) 1—771 1 771*

raais l'expression V^ a^77i peut encore se simplifier.

Il est visible que le quarré d'un produit se compose du produit des quarrés de chacun de ses facteurs, puisque, par exemple,

hcdy<,hcdz=zb'^c^d'^^ et que par conséquent la racine de b'^c^d^ n'est autre chose que le produit des racines 3, c et<^, des facteurs b^, c^ et d^. En appliquant cette remarque au produit a'^ni , on voit que sa racine est le produit de a, racine Elém. d'Algèbre. 14^ édition. 12

de «* , par \/ m qui est l'indication de la racine de m , ou que

ya'm = a \/ m.

Il suit de ces diverses transformations que

am , « \/

OU bien

— Û771 -^a y ni

Quelque simples qu'elles soient, ces'expressions ne sont pas encore celles du numéro'précédent ; et même si Ton cherche à les vérifier pourje^^cas où tti =: i, elles deviennent

On retrouve dans la seconde le symbole de l'infini , comme précédemment , mais la première présente cette forme indéterminée , ^ , dont on a déjà vu des exemples dans les n°* 69 et 70 ; et avant de prononcer sur sa valeur, il est à propos d'examiner si elle ne tombe pas dans le cas du n° 70 , si ce n'est pas un facteur commun au numérateur et au dénominateur , que la supposition de 771 = 1 , rend «gai à zéro.

L expression '

. ^, a( — m~\* y m") a(y m — 771) revient a — ^^ • — === -^^ -,

On voit déjà que le numérateur ne devient zéro, que

D'A L G E B R E. lyp

par le facteur ^Z m •— m ; il faut donc chercher si ce dernier n'aurait pas quelque facteur commun avec le dénominateur i — m. Pour éviter l'embarras que pourrait causer le signe radical , je fais \/ m =z n ^ et j'en conclus , en prenant les quarrés ,m = 7v^: ceci change les quantités

y m — m et 1 — 771 en n — 72'^ et 1 — n'';

or 71— 7i^z=z77(i— 7î) et 1— 7x^ = (i— 71) (14-71) (34); en remettant pour n sa valeur \/ m , on a.

[/m 77l=::(l \/ ÎJl) {/m,

et par conséquent

a(\/ m — m) __ a(i — {/In ) V^"77Ï

^ — ^ ~ ii--\/m) (i -{-\/tV)'~ a y m

résultat semblable à celui du n^ 1 19.

On réduit de même la seconde valeur de a: , en observant que

— ay m — QTTi — a(i -f-^771) y^ln

comme dans le n° 119 (■^).

(*) L'exemple que je viens de traiter si au long, répond à un problème résolu par Clairaut dans son Algèbre, et dont renonce est celui-ci: Trouver sur la ligne qui joint deux lumières ^quelconques , le point où ces deux lumières éclairent également. J'ai dépouille ce problème des circonstances physicpes qui sont étrangères à l'objet de cet ouvrage, etquinepeuventquc détourner l'attention qu'exigent les circonstances algébriques, très remarquables en elles-mêmes , et que pour cette raison, j'ai développées plus queue l'avait fait Clairaut.

Il n'est pas diilicile de voir que j'aurais pu éviter les radicaux dans les calculs précédens , en représentant par m^ le rapport des quarrés des deux parties du nombre proposé : alors in en eût été la racine quarrée , qu'on peut toujours regarder comme connue , lorsque son quarré est donné ; mais on n'aurait pas d'abord senti le but d'un pareil changement de données , dont les algébristes font souvent usage pour simplifier les calculs ; c'est pourquoi j'invite le lecteur à recommencer la solution du problème , en mettant m^ au lieu de m.

De U extraction de la racine quarrée des quantités algébriques.

s 121 . La question précédente suffit pour indiquer comment il faut se conduire dans la solution des questions littérales , et a présenté une transformation qu'il imlK)rte de remarquer , savoir , celle de

Y a^ m ^n a y in ( page 177 ),

puisque par son moyen on peut réduire au plus petit nombre possible les facteurs contenus sous le radical , et simplifier d'autant l'extraction de la racine qui reste à opérer.

Cette transformation consiste, comme on l'a vu à l'endroit cité , à prendre séparément la racine de tous les facteurs qui sont des quarrés , et à écrire ces racines hors du radical y comme multiplicateurs de ce radical, sous lequel on laisse tels qu'ils sont, les facteurs qui ne sont pas des quarrés. , '

Cette règle suppose premièrement , que l'on sache reconnaître si une quantité algébrique est un quarré , et dans ce cas en extraire la racine ; et pour cela, il faut distinguer les quantités monômes des polynômes-.

122. Il résulte évidemment de la règle des exposans dans la multiplication , que la seconde puissance d'une quantité quelconque a un exposant double de celui de cette quantité.

On a , par exemple , a'Xa' — a"-, a^Xci'^a^y a^Xa^~a^, etc.

Il suit de là que tout facteur qui est un quarré ^ doit avoir un exposant pair , et qu'on obtient la racine de ce facteur en écrivant sa lettre avec un exposant é^al à la moitié de l'exposant primitif

On a ainsi

\/ a'^zzza^ ou a j \/'â^z=: a'^, {/ a^z=a^ , etc.

A l'égard des facteurs numériques, Textraction de leurs racines s'opère , s'il y a lieu, par les règles enseignées précédemment.

D'après ces remarques , les facteurs a^ , b^, c% de l'expression

i/64aH^c\ sont des quarrés ; le nombre 64 ^^^ ^^ quarré de 8; donc l'expression proposée^ étant le produit de facteurs quarrés, aura pour racine le produit des racines de chacun de ces facteurs ( 1 î3 i ) ; et par conséquent

\^Q4a^bU^=z%a^b^ c.

123. Lorsque cette circonstance n'a pas lieu, il faut chercher à décomposer le produit proposé en deux autres , dont Vun ne contienne que les facteurs cyiarré^ et l'autre les facteurs non quarrés ; et pour cela il faut considérer à part chacun de ses facteurs.

Soit pour exemple

On reconnaît facilement que parmi les diviseurs du

nombre 72, il y a des quarrés parfaits , savoir, 4> 9 et 36 -, et en prenant le plus grand , on a

Le facteur d' étant un quarré , on le met de côté ; passant ensuite au facteur h^ , qui n'en est pas un, puisque le nombre 3 est impair , on remarque que ce facteur peut se décomposer en deux autres h^ et h, dont le premier est un quarré , et qu'on a

b^=zb\b',

on voit aussi que

il en serait de même de toute lettre ayant un exposant impair. Toutes ces décompositions donnent

jQ.a^h^à =z 36 . Qa^b'' ,bà.c; et rassemblant les facteurs quarrés , il vient 36a^èM X ^bc.

Enfin , prenant la racine du premier produit et indiquant celle du second , on a

V/tÔÔÎP? == Qd'bc^ {/obc.

Voici encore quelques exemples de réductions semblables, précédées des calculs qui les mettent en évidence :

hW^'