y 5a 5obt /^a

D'A L G Ê JB R E. l8S

11^ faut remarquer , par rapport au premier , qu'on peut faire sortir du radical le dénominateur des fractions algébriques , en le rendant un quarré , d'après ce qui a été dit n° io4, pour les fractions numériques.

134. Je ■ vais passer à l'extraction de la racine quarrée des polynômes. Il est important de se rappeler qu'aucun binôme n'est un quarré parfait , parce que tout monôme élevé au quarré ne produit qu'un monôme , et que le quarré d'un binôme renferme toujours trois parties (34).

On se tromperait grossièrement en prenant pour ya^^b^ le binôme a + 3 , quoique a soit séparément la racine de a% et b celle de b'' ; carie quarré de a -f- Z> , étant d^-\-Qab-^b^, contient en outre le terme -{- ^a^, qui ne se trouve pas dans l'expression a^ -)- Z>*.

Soit donc le trinôme

24a^Pc-f-i6a4c^ + 9&S:

afin de retrouver dans cette expression les trois partie» qui composent le quarré d'un binôme , jel'ordanne pai* rapport à l'une de ses lettres , à la lettre a , par exemple -, il vient

iea^d'^Q4a'Pc-^Qb\

Alors , quelle que soit la racine cherchée , en la supposant ordonnée par rapport à la même lettre a , le quarré de son premier terme doit nécessairement former le premier terme iGœ^c'^ de la quantité proposée; le double produit ^du premier terme de la racine par le second , doit donner le second terme 'J^iî^b^c de la quantité proposée ; et enfin le quarré du dernier terme de la racine doit être précisément le dernier terme <^¥' de la quantité proposée. D'après ces considérations, l'opération se dispose comme on le voit plus loin ;

y Sa

iGa^c' ^ 24a^Pc ^ ab^ i 4(i'c ^ 3 b^ racine

c-j-ob-

J'extrais d'abord la racine quarrée du jH-emier ternie ibVc% et le résultat 4a'c (iaa) est le premier terme de la racine qui s'écrit adroite, sur la même ligne que la quantité proposée.

Je retranche de cetle quantité le quarré iGa^c" , du premier terme 4a^c, de la racine; et faisant la réduction, il ne reste que les deux termes 24a^b^C'^^bK

Le terme 24a^b^c étant le double produit du premier terme de la racine 4aV, par le second , j'obtiens ce dernier en divisant 24.0^^3^ par 8a^c , double de 4a^c , et qui s'écrit au-dessous de la racine ; le quotient 3^^ est le second terme de la racine.

La racine est maintenant déterminée -, mais il faut , pour qu'elle soit exacte , que le quarré du second terme fasse 9/?^^ ou bien que le double Sa^cdu premier terme de la racine, augmenté du second ob^, et multiplié par le second , reproduise les deux derniers termes du quarré ( 91 ) ; en conséquence , à côté de Sa'^c , j'écris -f- 3Z>3 , je multiplie Sa^c -f- SZ?^ par 5b^ ; le produit étant retranché des deux derniers termes de la quantité proposée , il ne reste rien , et j'en conclus que cette quantité est le quarré de 4^^c -f- 3Z)^.

Il est évident que les mêmes raisonnemens et les mêmes procédés peuvent s'appliquer à toutes les quantités composées de trois termes. ^

125. Lorsque la quantité dont on veut extraire la racine a plus de trois termes , elle n'est plus le quarré d'un binôme -, mais en la supposant celui d'un trinôme jji-^n-{-p , et représentant par l la somme m-\-n de ses deux premiers termes , ce trinôme se changeant en l-i-p , son quarré devient

où le quarré /^ du binôme m -{^ n , étant développé , ^ produirait les termes m^ -f" ^^^ "h ^^- Ainsi , lorsqu'on aura ordonné la quantité proposée , le premier terme sera évidemment le quarré du premier terme de la racine , et le second renfermera le double produit du premier terme de la racine par le second de cette racine ; on aura donc ce dernier en divisant le second terme de la quantité proposée, par le double de la racine du premier. Connaissant alors les deux premiers termes de la racine cherchée , on complétera le quarré de ces deux termes , représenté ici par /^, et le retranchant de la quantité proposée, il restera

quantité qui contient le double produit de /, ou du premier binôme m ^ n^ par le reste de la racine , plus le quarré de ce reste , et fait voir qu'il faut opérer avec ce binôme , comme on a fait avec le premier terme m , de la racine.

Soit pour exemple la quantité

^a'hc + s5 a=6^ — 40 a^b -f 1 6^4 4. ^b^c' — ?>oab^c '>

je l'ordonne par rapport à la lettre a, et je dispose l'opération comme précédemment.

"" ] Sa^-ioab-j-Sbc

i^rest.— 4oa3Z>-f-25a"6^— 8oaZ)'^c-|-646=^cM -4-64a=*3c -f4oa^ô — 25a'-b''

^^ reste +64a^Z>c— 8oaZ>^c+64^^c*

S4a^bc-\-Soab-'c—^b^c^

Cela fait , j'extrais la racine quarrée du premier terme iGa^, et j'obtiens 4^* pour le premier terme de la racine cherchée ; j'en forme le quarré , que je retranche de la quantité proposée.

Je double le premier terme de la racine , et j'écris au-dessous le résultat Sa" , par lequel je divise le terme — 4oa^b qui commence le premier reste ; j'ai — 5ab pour le second terme de la racine; je l'écris à côté de 8a^, je multiplie le tout par ce second terme , et je retranche le résultat du reste sur lequel j'opère.

De cette manière j'ai retranché de la quantité proposée le quarré du binôme 4^^ — 5ab ; le deuxième reste ne contenant plus que le double produit de ce binôme par le troisième terme de la racine et le quarré de ce terme , je double la quantité 4^"^ — ^^b , ce qui donne

8a^— 10 ab,

que j'écris au-dessous de 8a* — 5ab , et que je prends pour diviseur du deuxième reste : le premier terme du quotient, est Sbc ; c'est le troisième de la racine.

Je l'écris aussi à côté de 8a^ — loabj et je multiphe le tout par ce terme ; je retranche les produits du reste sur lequel j'opère , qui se trouve entièrement détruit : la quantité proposée est donc le quarré de 4(1" -— bab -I- 86c,

Il est maintenant aisé d'étendre aussi loin qu'on voudra l'opération ci-dessus , qui est d'ailleurs parfaitement semblable à celle qu'on a enseignée^ pour les nombres.

De la formation des puissances et de Vextraction de leurs racines.

iè6. L*opération arithmétique d'où dépend la résolution des équations du second degré, et par laquelle on revient du quarré à la quantité qui l'a formé , ou à la racine quarrée , n'est qu'un cas particulier d'une autre plus générale , servant à trouver un nombre dont on connaît une puissance quelconque. On conçoit que cette opération , qui conduit à un résultat qu'on désigne encore par le mot racine , mais en y ajoutant l'indication du degré, étant inverse de celle qui sert à trouver la puissance , ne peut être déduite que de l'examen des circonstances de cette dernière , comme cela arrive pour la division à l'égard de la multiplication , avec lesquelles ce sujet a d'ailleurs des rapports qu'on apercevra bientôt.

C'est par la multiplication qu'on parvient aux puissances des nombres entiers (24), et il est visible que celles des fractions se forment en élevant leur numérateur et leur dénominateur à la puissance proposée (96).

Réciproquement la racine d'une fraction s'obtient , dans quelque degré que ce soit , en prenant celle du numérateur et celle du dénominateur.

L'usage des symboles algébriques étant très commode pour exprimer tout ce qui tient à la composition et à la décomposition des quantités , on procède d'abord à la formation des puissances des expressions algébriques ; car à l'égard de celles des nombres, ce qu'on a dit, n° 2./\ , suffit pour les trouver.

iB8 i L i M E N s

Table des J premières puissances des nombres, depuis

tamm

1 jusqu a c