II

J'ai principalement rapporté cette table, afin de montrer avec quelle rapidité s'accroissent les puissances des nombres, à mesure qu'elles deviennent plus élevées , remarque qui est très importante pour la suite. On voit en effet que la septième puissance de 2 est déjà 128 , et que celle de 9 monte à 4782969.

On conçoit facilement par là que les puissances des

fractions proprement dites , décroissent très rapidement,

puisque les puissances du dénominateur deviennent de

plus en plus grandes par rapport à celles du numérateur.

La septième pmssance de - , par exemple , serait — ^ >

et celle de - serait seulement

127. Il suit de ce que dans un produit , chaque lettre a pour exposant la somme des exposans qu'elle a dans chacun des facteurs (26) , que la puissance d'une quantité monôme se forme en multipliant l'exposant de chaque facteur par l'exposant de cette puissance.

La troisième puissance de a^b^Cy par exemple, s'obtiendra en multipliant les exposans 2, 3 et i , des lettres «, bj c, par 3, exposant de la puissance demandée : on aura a^ b^ c^ ; et en effet, cette puissance revient à

a^'b^cX a'^b^cXa^b^c^a^'^b^-^ c''\

SI la quantité proposée avait un coefficient numérique, il faudrait élever aussi ce coefficient à la puissance proposée ; ainsi la quatrième puissance de 3 a Z>* c^ est

Sia^b^c^^y parce que celle de 3 est 81.

128. A l'égard des signes qui peuvent affecter les quantités monômes, il faut observer que toutes les puissances dont l'exposant est pair j ont le signe -\- y et que celles dont V exposant est impair , ont le même signe que la quantité qui les a formées.

En effet, les puissances d'un degré pair résultent de la multiplication d'un nombre pair de facteurs ; et les signes — combinés 2 à 2 , dans la multiplication , donnent toujours au produit le signe + (3i). Au contraire, si le nombre des facteurs est impair, le produit aura le signe — quand les facteurs en seront affectés, puisqu'il résultera du produit d'un nombre pair de facteurs, et par conséquent positif, multiplié par un facteur négatif.

129. Pour revenir de la puissance à la quantité qui l'a formée, ou à sa racine, il n'y a qu'à renverser les règles données ci-dessus ; c'est-à-dire , diviser l'exposant de chaque lettre par celui qui marque le degré de la racine qu'on veut extraire.

On trouverade cette manière laracine cubique y ou du troisième degré ^ de l'expression a^ b^ c^, en divisant par 3 les exposans 6, 9 et 3, ce qui donnera

Lorsque l'expression proposée a un coefficient numérique , il faut en prendre aussi la racine , pour former le coefficient de la quantité littérale qu'on obtient par la règle précédente.

Si l'on demandait , par exemple , la racine quatrième de 81 a'^b^ c^ , on verrait par la table du n° 126 , que 81 est la quatrième puissance de 3 ; et divisant par 4 les exposans des lettres, on aurait pour résultat

^ab^c*.

Dans les cas où la racine du coefficient numérique ne peut se trouver par la table citée ^ on l'extrait par les méthodes que je donnerai ci-après.

i3o. Il est évident que l'extraction des racines ne peut s'effectuer sur la partie littérale des monômes, qu'autant que chacun des exposans est divisible par celui de la racine; dans le cas contraire , on ne peut qu'indiquer l'opération arithmétique qu'il faudra faire , lorsqu'on substituera des nombres aux lettres.

On se sert encore pour cela du signe \/ ; mais pour désigner le degré de la racine, on met l'exposant comme on le voit ci-dessous , dans les expressions

Y a, {/ aS

dont la première représente la racine ciibique , ou du troisième degré , de«, et la seconde la racine cinquième de a".

Les expressions affectées du signe y , de quelque degré qu'il soit , peuvent souvent se simplifier en faisant

attention que, d'après le n° 127, une puissance quelconque d'un produit est formée du produit de la même puissance de chacun des facteurs y et que, par conséquent, la racine quelconque d'un produit est formée du produit des racines de même degré de chacun de ses facteurs. Il résulte de ce dernier principe , que si la quantité soumise au radical a des facteurs qui soient des puissances exactes du même degré que le radical y on pourra prendre séparément les racines de ces facteurs , et multiplier leur produit parla racine indiquée des autres facteurs. Soit, par exemple,

on voit que

que a^ est la cinquième puissance de a ,

que b^z=:h^.b\

que c^^-=zc^° .c\

on a par conséquent

Le premier facteur ayant pour racine cinquième la quantité 2ab c^ , il vient

y^Sa^b"^ c''=z2.ahcf- \/3b^c.

i3i. Toute puissance paire devant avoir le signe + (128), aucune quantité affectée du signe — ne peut être une puissance de degré pair, et n'a point de racine de ce degré. Il suit de là, que tout radical d'un degré pair, comprenant une quantité négative , est une expression imaginaire :

sont des expressions imaginaires.

On ne peut par conséquent assigner, soit exactement , soit par approximation, pour les degrés dont l'exposant est pair , que les racines des quantités positives ; et ces racines peuvent être affectées indifféremment du signe -f- ou du signe — , parce que dans l'un et l'autre cas elles reproduisent également la quantité proposée avec le signe -|-, et qu'on ignore auquel des deux elles appartiennent.

Il n'en est pas de même pour les degrés impairs , dans lesquels les puissances ont le même signe que leurs racines (iâ8) : on doit donner aux racines de ces degrés le signe dont la puissance est affectée ; et il n'y a point d'imaginaires dans ce cas.

i32. Il est à propos d'observer que l'application de la règle donnée n° 129^ pour l'extraction des racines des monômes, par les exposans de leurs facteurs, conduit naturellement à indiquer , par des signes plus commodes pour le calcul que le signe j/', les racines qui ne peuvent s'obtenir algébriquement.

Lorsqu'on demande, par exemple , la racine troisième de a^y il faut , suivant la règle citée , diviser l'exposant 5 par 3 ; mais la division ne pouvant s'effectuer , conduit au nombre fractionnaire \ \ et la forme que prend alors l'exposant du résultat indique que l'extraction n'est pas possible dans l'état actuel de la quantité proposée : on doit donc regarder les deux expressions

V/a^ et a'

comme équivalentes.

La dernière a néanmoins sur la première l'avantage

de conduire tout de suite à la simplification dont la

quantité y a^ est susceptible ; car si l'on extrait l'entier

contenu dans la fraction 7 ; f^^i 3 1 -(- -^ , et en regardant cette somme comme l'exposant d'un produit (26) , on reconnaît que la quantité -«if • •

est composée de deux facteurs , dont le premier est a ,

et l'autre revient à \/ a*.

On conclurait la même chor^e de l'expression y a^y au moyen du n° i3o, mais l'exposant fractionnaire y mène immédiatement : on aura d'ailleurs occasion de reconnaître dans d'autres opérations les avantages des exposans fractionnaires , et d'en justifier l'emploi.

Pour le moment, il suHit d'observer que la division des exposans, dans le cas où elle peut s'effectuer, répondant à l'extraction des racines, oh doit, lorsqu'elle est indiquée, la regarder comme le symbole de la même opération , et en conclure que les expressions

\/'^ et à^ sont équivalentes.

Voilà encore les conventions établies sur la manière d'exprimer les puissances , qui conduisent par analogie et par extension , à des symboles particuliers , comme dans le n^S/, on est parvenu à l'expression a°=i .

i33. Je remarque à cette occasion que la règle des exposans, relative à la division (06) étant appliquée conformément à celle des signes relative à la soustraction (20) , mène aussi à des expressions nouvelles , pour ■une certaine classe de fractions.

En effet , on a par ces règles

Elém, d'Algèbre, i/^^èàiûoiï, i3

ig4 É L É M E N s

mais si l'exposant n du dénominateur surpasse l'exposant m du numérateur , l'exposant de la lettre a dans le second membre sera négatif.

Si, par exemple , m == a, 7i=3, on aura

mais d'ailleurs, en simplifiant la fraction —r. , on trouve -

les expressions

- et fl-»

sont donc équivalentes.

En général, on a par la règle des exposans ,

et d'ailleurs

fn+a

il résulte de là , que les expressions

— et a-«

sont équivalentes.

En effet , le signe — qui précède l'exposant n étan* pris dans le sens du n°62, montre que l'exposant proposé vient d'une fraction dont le dénominateur contient ïf. facteurs a de plus que le numérateur, ce qui est bien

-l.; on peutdonc, lorsqu'on rencontre l'une quelconque

de ces expressions, y substituer l'autre.

D'après cette observation, la quantité ,^ considérée comme ...o.i.

peut être mise sous la forme

c'est-à-dire, qu'on peut faire passer au numérateur tous les facteurs du dénominateur, en affectant leurs exposons du signe — .

Réciproquement, lorsqu'une quantité renferme des facteurs affectés d'exposans négatifs , on les met au dénominateur, en donnant le signe + à leurs exposans ; c'est ainsi que la quantité

redevient

c^ d^' De laformation des puissances des quantités complexes.

134. Je commencerai par observer que les puissances des quantités complexes s'indiquent en enveloppant ces quantités d'une parenthèse , qu'on affecte de l'exposant de la puissance. L'expression

par exemple , désigne la troisième puissance de la quantité 4a^-^2ab 'i-5b\ On marquerait encore cette puissance comme ci-dessous,

1 35. Les quantités binômes sont les plus simples après

ig6 É L 12 M E N s

les monômes ; cependant , si Ton en voulait former les puissances par des multiplications successives , on ne parviendrait de cette manière qu'à des résultats particuliers pour chaque puissance , comme le sont pour la deuxième et la troisième , ceux que j'ai fait remarquer dans le numéro 34 : on formerait cette table :

{x^aY = or^ -f- 4 a a>^ 4- 6 a^ x^ + 4 a^ a; + «^ etc.;

mais on ne saisirait pas facilement la loi des coefîiciens numériques de ces résultats. En réfléchissant au procédé de la multiplication , on reconnaîti'a que les coefficiens numériques naissent des réductions qu'entraîne l'égalité des facteurs qui forment une puissance , et qu'en empêchant ces réductions , on rendra la composition des produits plus évidente.

Pour opérer ces effets, il suffit de donner à tous les binômes qu'on multiplie , des seconds termes différens , de prendre , par exemple ,

x-f-a, x-j-b, x+c, x + d, etc. En effectuant les multiplications que je vais indiquer » et en plaçant dans une même colonne les termes affectés d'une même puissance de x, il est aisé de trouver que

D ALGEBRE. 197

■j-bx

-^bx^-\-acx "^-cx^-j-bcx

ix-j-a){x-i-b)(x-\'cX^^-}-d)=:x^-\-ax^'^abx^'+-abcx+^ ^^ '

"{-bx^-^- acx^-\-abdx -\-cx^-\-adx'^-\-acdx -^dx^-\-bcx''-\-bcdx -j-bdx"" •^cdx'^

iSans pousser plus loin ces produits, on peut déjà reconnaître la loi de leur formation.

En concevant que tous les termes affectés de la même puissance de x , et placés dans la même colonne , n'en forment qu'un seul , comme , par exemple ,

ax^-{-bx^-^cx^-\-dx^={a'\-b-{-C'{'d)x\ et ainsi des autres ,

1*'. On trouve dans chaque produit un terme de plus qu'il n'y a d'unités dans le nombre de ses facteurs ;

2". L'exposant de xdans le premier terme est le même que le nombre des facteurs , et va en diminuant de l'unité, d'un terme au suivant ;

5°. Laplus haute puissance de x n'a pour coefficient que l'unité; celle qui la suit, ou qui a une unité de moins dans son exposant, est multipliée par la somme des seconds termes des binojnes ; celle qui a deux unités de moins dans son exposant , l'est par la somme des divers produits qu'on obtient en multipliant , deux à deux , les . seconds termes des binômes; celle quia trois unités de moins dans son exposant , l'est par la somme des divers produits qu'on obtient en multipliant , trois d trois , les.

igS É I. É M E N s

seconds termes des binômes j et ainsi de suite ; eiifiuj dans le dernier terme, l'exposant de x , étant censé égal à zéro (57) , se trouve composé du plus haut exposant , diminué d'autant d'unités qu'il y en a dans le nombre des facteurs, et ce terme contient le produit de tous les seconds termes des binômes.

Il est facile de voir que la forme de ces produits doit rester soumise aux mêmes lois, quel que soit le nombre de facteurs ; cependant on peut encore en avoir une preuve autre que l'analogie.

i36. Il est d'abord évident que tout produit de cette espèce doit contenir les puissances successives de x , depuis celle dont l'exposant est égal au nombre des facteurs qu'on a multipliés , jusqu'à celle dont l'exposant est zéro. Pour désigner généralement le résultat, on exprimera ce nombre par la lettre m •, les puissances successives de x seront indiquées par

x™, x"^^', 0:"^% etc.;

on metti'a les lettres Ay B, C , F,

pour les quantités qui doivent les multiplier, à partir de ^;n-i .. jTj^gig ]g nombre des termes qui dépend des valeurs particulières données à l'exposant m, demeurant indéterminé , tant que cet exposant n'est point fixé , on ne peut écrire que les premiers et les derniers termes de l'expression , et on indique par une suite de points les termes intermédiaires qui sont sous-entendus.

C'est ainsi que la formule

j^m ^ j ^,m-» ^ B x'«-=^+ Cx^—^ -f- K,

représente le produit d'un nombre quelcpnque 7?i de facteurs ,x-\-a,x-\-byX-\-CyX-\-d, etc.

Si on le multiplie par un nouveau facteur x -f- /, il viendra

-f Ix^ ~\-lAx'''-'-\-lBx^-', . . . -f-/ YV

d'algèbre. 199

Il est évident , 1°. que si A est la somme des m seconds termes a, h^ c, c?, etc., A-\-l sera celle des m. -|- 1 seconds termes a, è, c, J,etc. Z, et que par conséquent la compo- ^ sition assignée à ce coefficient sera vraie pour le produit du degré 771 -f- i , si elle est vraie pour celui du degré m.

e°. Si B est la somme des produits des m, quantités Uj è , c, d ^ etc. prises deux à deux, B -\-lA exprimera celle des produits de 771 -f- 1 quantités a, è, c, f/, etc. /, prises aussi deux à deux; car A étant la somme des premières , lA sera celle de leurs produits par la nouvelle quantité introduite / ; donc la composition assignée sera vraie pour le degré 771 -|- 1 > si elle l'est pour le degré 771.

3°. Si C est la somme des produits des m quantités «, h, c, d, etc. prises trois à trois, C -f- IB sera celle des produits des 771 -f 1 quantités a, b^ c, c?,etc. /, prises aussi trois à trois, puisque l B , d'après ce qui précède , exprimera la somme des produits des premières prises deux à deux , multipliés par là nouvelle quantité introduite/: donc la composition assignée sera vraie pour le degré tti -f- 1 , si elle a lieu pour le degré m.

On voit que cette manière de raisonner s'étend à tous les termes , et que le dernier / Y sera le produit des 771 -}- 1 seconds termes,

I^es remarques énoncées dans le numéro i35 étant vraies pour le quatrième degré, par exemule, le seront» suivant ce qu'on vient de voir , pour le cinquième, pour le sixième ; et en s'élevant ainsi de degré en degré, elles seront prouvées en général.

Il suit de là que le produit d'un nombre quelconque 771 de facteurs binômes a: -f- fi, x-]-b ^x-\-CfX-\-dj etc. étant représenté par

x"^ -f- A x"^-' + B :r«-« -f C x'"-3 -f etc. ,

y:/seratoujourslasomme des 771 lettres fi, 6, c, etc.,/? celle