OO ^ 1. È M F. K S
des produits de c«s quantités prises deux à deux, C celle des produits de ces quantités prises trois à trois, et ainsi de suite.
Pour embrasser la loi de cette expression dans un seul terme, j'en considérerai un placé dans un rangindéterminé, et que, pour cette raison, je représenterai par A'^o:^-".
Ce terme sera le second, si l'on fait n=: i ; le troisième, si l'on fait nz=2',\e onzième, sil'on fait ti = i o, etc. Dans le premier cas , la lettre N sera la somme des m lettres a, b, c, etc. ; dans le second , celle de leurs produits deux à deux ; dans le troisième , celle de leurs produits dix à dix ; et en général celle de leurs produits n à h.
iS»/, Pour changer lès produits
(x-f-t2) (x-f Z»), (x-f fl)(x+ô) (x-f c),
(a; 4- a) (x-f- Z;) (x- -f- c) (a; + rf) , etc. , dans les puissances de x -f- a , savoir, en
(a7-f.a)4, etc.,
il suffit de faire dans les développemens de ces produits ,
q.:=ib'=.c:=d , etc.
Toutes les quantités qui nluîtiplient une même puissance de X , deviendront alors égales entr'elles : ainsi le coefficient du second terme , qui, dans le produit
(,r-f a) (x' + è) (a;-f c) (x + J) est fl + Z/-f c-f J, se changera en 4 ^^ ; celui du troisième terme dans le même produit , étant
ah~\-ac-\'ad-\-bc-\-bd-jr^^y deviendra 6a*; et de là il est aisé d'apercevoir que les coefliciens des diverses puissances de x se changeront en une seule puissance de a, répétée autant de fois qu'ils
B ' A L G È 13 K E. aOl
ont de termes, et marquée parle nombre de factem's que contiennent ces termes. Ainsi , le coefTicient iYqui multiplie la puissance a;'"~", dans le développement général, sera la puissance n de a, ou a*, répétée autant de fois qu'on peut former de produits différens en prenant de toutes les manières possibles un nombre n delettres sur un nombre ni; c'est donc à la recherche du nombre de ces produits qu'est ramenée celle du coefficient du terme affecté de x'"""".
108. Pour parvenir à découvrir le nombre dont il s'agit, il faut d'abord distinguer les arrangemenâ ou permutations ^ à.QS'çvoàmtè ou combinaisons. Deux lettres, a etb, ne donnent qu'un produit, mais sont susceptibles de deux arrangemens ,ab et b a; trois lettres ^ abc, qui ne donnent qu'un produit , sont susceptibles de six arrangemens (SS) , et ainsi de suite.
Afin de fixer les idées, je suppose qu'il y ait en tout 9 lettres ,
et qu'il soit question de les arranger 7 à 7 ; il est évident qu'en choisissant comme on voudra un arrangement de six de ces lettres , a b cdef, par exemple , on pourra y joindre successivement chacune des trois lettres restantes g, /î et i, et on aura de cette manière trois arrangemens de 7 lettres , savoir :
a b c d efgj a b c d efh, a b c d efi. Ce qu'on vient de dire sur un arrangement particulier de six lettres, conviendra également à tous ; et on en doit conclure que chaque arrangement de six lettres en donnera trois de sept lettres, c'est-à-dire, autant qu'il reste de lettres qui n'y sont pas employées. Donc, si le nombre des arrangemens de six lettres est représenté par P, on aura celui des arrangemens de sept lettres en multipliant P par 5 ou 9 — 6\ Rempla(;;ant les nombres 9 et 7 par met par/i,
et regardante comme le nombre des arrangemens dont sont susceptibles m lettres prises en nombre Ji — i,le raisonnement ne changera pas, et on aura encore pom' le nombre des arrangemens composés de n lettres ,
P [771-— (71 — 1 )], ou P (m—n-i-i).
Cette formule renferme implicitement tous les cas particuliers. Pour en déduire, par exemple, le nombre d'arrangemens de m lettres prises deux à deux, oufera7i= 2, ce qui donnera
et on aura
car P égalera alors le nombre de lettres prises une à une : il résultera donc de là
m (m— 2 + 1) ou 77l(77l— -i).
Posant ensuite
P=m(m— 1) et 7i=3,
on trouvera pour le nombre d'arrangemens dont sont susceptibles m lettres prises 5 à 3,
m (771— 1) (771 — 3-1-1 )=w (m— 1) (m — 2). En faisant
Pz=: m {m — 1 ) ( 771 — 2 ) et n = 4 , on obtiendra
pour le nombre des arrangemens 4^4- ^^ calculera donc ainsi de proche en proche les expressions du nombre d'arrangemens formés d'autant de lettres qu'on voudra (*). 139. Pour passer maintenant du nombre des arran-
{*) Dans CCS arrangemens, on exclut les répétitions de la même lettre, parce que la recherche qui nous occupe n'en atlmct point;
d'à li g È B R E. 2o5
gemens de n kttres, à c-elui des produits difFérens> il faut connaître le nombre d'arrangemens dont un même produit est susceptible. Pour cela, on observera que si , dans l'un quelconque de ces arrangemens , on fixe une des lettres à la première placé , on pourra faire entre toutes les autres autant de permutations que le comporte un produit de n — i lettres. Je prends pour exemple le produit ah c d efg^ composé de 7 lettres; on peut, en laissant a à la première place , écrire ce produit d'autant de manières que le produit de six lettres , bcdefg, admet d'arrangemens; mais chaque lettre du produit proposé peut être première à son tour : ainsi , nommant Ç le nombre d'arrangemens dont est susceptible un produit de 6 lettres , on aura Ç X 7 pour celui des arrangemens d'un produit composé de 7 lettres. Il suit de là que si Ç désigne le nombre d'arrangemens que peut fournir un produit de tz — 1 lettres , Qn exprimera le nombre d'arrangemens d'un produit de n lettres.
Tous les cas particuliers se déduisent sans peine de cette formule ; car en faisant n= 2, et en observant que lorsqu'iln'y a qu'une seule lettre, Q=:i, il vient 1X2=2 pour le nombre des arrangemens d'un produit de deux lettres ; prenant ensuite () r=r 1 X 2 et 7i = 3 , on aura
mais la théorie des permutations et des combinaisons, servant de base an calcul do-sprobai)iliti;s, présente des questions où cette circonstance peut avoir lieu. Pour en colculer l'efifet, dans l'exemple dont je me suis servi , il suffira d'observer qu'on peut écrire indifféremment chacune des 9 lettres a, b, c, d, e, f, g, hy i, h la suite du produit de 6 lettres a b c d ef. En nommant donc P le nombre d'arrangemens de cette espèce, on aura P XQpour le nombre d'arrangemens de 7 lettres. Par la même raison , si P désigne le nombre d'arrangemens de m lettres prises n — i h n — i , celui des arrangemens n à n sev^Pm.
Cela posé , le nombre d'arrangemens de /n lettres prises i à i étant évidemment m , celui des arrangemens 2 h 'i sera m X "» , ou W • celui des arrangemens 3 à 3 scraTOX"«X'«j ou vi'>\ et enfin z»" exprimera le nombre d'arrangemens n à n.
iX2X3=6pour le nombre d'arrangemens d'un produit de trois lettres ; faisant encore () = i X 2 X 3 et ;j = 4, il enrésultera iX2X3x4,ou 24 arrangemens possibles dans un produit de 4 lettres, et ainsi de suite.
140. Ce qui précède étant bien compris, il est facile de voir qu'en divisant le nombre total des arrangemens de n lettres , fourni par les m lettres proposées , par le nombre des arrangemens dont un même produit est susceptible, on aura pour quotient le nombre des produits^ différens qu'on peut faire en prenant de toutes les manières possibles n facteurs parmi ces m lettres. Ce nombre
sera donc exprime par — ^^ — - — ■ — ^ (*) ; et d après ce
^ rr P (in fi-f-l) ,
qii on a vu n° 107 , — ^^ ! a''x'"~"seraleterme
affecté de x'"-" dans le développement de (x-f-a)'".
Il est évident que le terme qui précède celui-ci, sera
expnme par — a""* ^^^m-n-hi . ^ar en remontant vers le
premier terme , l'exposant de x augmente d'une imité , et celui de a diminue d'autant; de plus , P et () sont les quantités relatives au nombre n — 1 .
(*) Il est à propos de remarquer quVn y faisant successivement'
la formule devient
qn
— , ^-r , 5 — -. , etc.,
noiribrcs qui expriment respectivement combien on peut faire de combinaisons avec un nombre quelconque m de choses , en les prenant deux a deux , ou trois à Crois j ou f/uatre à quatre , clc.
i4i.Sironfait-- = M, les deux termes consécutifs
indiqués ci-dessus , deviendront
résultats qui montrent comment chaque terme du développement de ( x + «)'" se forme de celui qui le précède. En partant du premier terme , qui est x^ ^ on arrive au second , en faisant zi = i : on a il/ = i , puisque x^ n'a pour coefîicient que l'unité • et il en
résulte ax^~^ y ou — ax^"^. Pour passer au
troisième terme , on fait M:=z — et 71=2, ce qui donne
a^x^"^. Le quatrième s'obtient par la sup-
, , 771 Ctti — 1 ) , , . ,
position de M== — ^ et ti = 0 , qui conduit a
^ =— ^ «^x'"""*, et ainsi de suite, ce qui
produit la formule
(x-|-g)'»~a:'"-4- — OX^-^-f-^ ^ 771 — 1 ) ^a^^-a
-I ^^ ^-^ — i a? o:'"-^ + etc. ,
que l'on peut convertir dans cette règle :
Pour passer d'un terme à celui qui le suit , multipliez le coefficient numérique par V exposant de x dans le premier ; divisez par le nombre qui marque le rang de ce terme; augmentez de l'unité l'exposant de a, et diminuez pareillement celui de x.
Quoiqu'on ne puisse fixer le nombre des termes de
cette formule qu'en assignant une valeur particulière à 771 , il ne doit cependant rester maintenant aucun doute sur la loi que suivent les termes de la formule , quelqu'éloignés qu'on lea suppose du premier-, et on voit que
m (m — i) (m — q) .... (m — n-4- i) ^ „ „ — i^ d-1 — — ^ ii ! { a"j:'"-"
exprime le terme qui en a ti avant lui.
Cette dernière formule s'appelle le terme général de la suite
x^^H oo;'"-' -A i^ ' a'' a:^-* 4- etc.,
parce qu'en faisant successivement
71=1, 7ir=:2, 71=3, etc.,
elle donne tous les termes de cette suite.
142. Appliquons maintenant la règle du numéro précédent à la formation du développement de ( :i; + a)^; le premier terme étant
x^ ou a°ar^(37),
le second sera
-à^oc^ ou 5 a 07^,
a^x^ ou loa^or'
le troisième
5X4 a le quatrième
— = — arx^ ou loarx'^^
le cinquième ^
10X2, Ci
y — a^x ou oœx ,
le sixième
D*AIiGâBRE. 20J
Le développement s'arrête ici , parce que pour passer au terme suivant, il faudrait multiplier par l'exposant de x dans le sixième , et que cet exposant est zéro.
C'est aussi ce que montre la formule ; car le septième terme ayant pour coefficient numérique ,
m {m — i) (m — a) (m — 3) (zn — 4) (^ — 5)
contient dans le cas actuel , le facteur m — 5 , qui devient 5 — 5 ou o ; et ce même facteur entrant dans les termes qui viennent après , les rend tous nuls.
En réunissant les termes que j'ai obtenus ci-dessus, il vient
( 07 + G)*=r= x^ -f 5fza;4 -f- 1 oa^oc^ -f- 1 oa^x'' -f Sa^x -|- œ",
143. On déduirait en général de la formule du numéro 141 , le développement de la puissance quelconque d'un binôme quelconque. Si l'on avait, par exemple, à former la sixième puissance de 207^ — ôa^ , il suffirait de remplacer dans la formule les puissances de or et de a par celles de 2.oc^ et de — Sa^ respectivement, puisque si l'on faisait
Qx^ =z x' et — 5 a^ = a' , on aurait
x'^ -f Qa'xf^ -I- iba^'x'^ -I- 2oa^V3 + iSa!^x'--\-Qa!^x' + a'^ (i4i), et il resterait à substituer pour x^ et pour a' les quantités que ces letti'es désignent. On trouverait (2a7'^)6-f. 6( — 5a3) {^oc^y ^ iS {^ba?y (^2a^y 4.2o( — 5a3)'^ (2x3)3+15 ( — 5a3)4 {<ix^y -f. 6( — 5a3)5(2o::3) 4.(^5^3)6^
— 2ooooa9o:9-f- 57500 a^* 07^ — -SjÔGoa^V-f- 16625 a^^.
o.o8 îi L É M E N s
Les termes de ce développement sont alternativement positifs et négatifs ; et il est visible qu'il en sera toujom's de même , lorsque le second terme du binôme proposé aura le signe — .
144. On prépare la formule du numéro i4i , d'une manière qui en facilite l'application dans les cas analogues au précédent.
En observant que ♦ -
^TTl ^m ^Tfl
elle peut être écrite ainsi
x"» H x" H ^^ -- x*" -f etc. ,
ce qui revient à
\ ^"^ Tx~^ 1 . 2 T^
-f-etc.|.
m {tu — i) (m — 2) a^
en isolant le facteur commun x^. Pour calculer par cette formule , il faut former la suite des nombres
multiplier d* abord le premier par la fraction - , puis le résultat par le second, et encore par la fraction - , puis
encore le résultat par le troisième et par lafractiojr^ et
ainsi de suite; ajouter la somme de ces termes d l'unité, et enfin multiplier le tout par le facteur x*".
Dans l'exemple (2x' — 5a' )^, il faut écrire (qx^Y à
D'AliGiBRE. 209
5 Cl Cl
la place de x^, et -3 à celle de -. Je laisserai au
lecteur le soin d'effectuer le calcul (*).
145. On ramène facilement le développement de la puissance d'un polynôme quelconque , à celui des puissances du binôme, ainsi que je vais le montrer, en formant la troisième puissance du trinôme a-^ b -^ c.
Je fais d'abord ô -f- c := m , et j obtiens
mettant ensuite pour m le binôme ô -f- c , qu'elle représente, j'ai
Il ne reste plus qu'à développer les puissances du binôme b -j- Cj et à effectuer, sur ces puissances, lesmultiplica^tions indiquées, ce qui donnera
