Sa'c -f- Sabc -f- 3^c -f- 5a(f 4- dbc
De V extraction des racines des quantités complexes.
146. Ayant exposé la composition des puissances des quantités complexes, je vais passer à l'extraction de leurs racines , en commençant par la racine cubique des nombres.
Pour opérer l'extraction de la racine cubique des
(*) La formule du deVeloppemeut de (a: +0)'" convient à toutes les valeurs de l'exposant m, et s'applique e'galcment au cas où cet exposant serait fractionnaire ou négatif. Cette propriété', qui est très importante, est prouvée dans le Complément de ce Traité Eleni, d'Jl^èbre, 14^ édition. j4
nombres , il faut d'abord connaître les cubes des nombres d'un seul chiffre -, on les trouvera dans la seconde ligne de la table ci-dessous :
et le cube de 10 étant 1000 , tout nombre de trois chiffres ne renferme que le cube d'un nombre d'un seul.
La formation du cube d'un nombre de deux chiffres s'opère d'une manière analogue à celle du quarré \ car en décomposant ce nombre en dixaines et en unités , désignant ensuite les premières par a^ les secondes par h y il vient
( a -f- 3 )'^ = a3 ^ '5a^b -f '5ab^ -f- b^ ,
ce qui fait voir que le cube, ou la troisième puissance d'un nombre composé de dixaines et d'unités , renfenne quatre parties , savoir : le cube des dixaines , trois fois le quarré des dixaines multiplié par les unités , trois fois les dixaines multipliées par le quarré des unités, enfin le cube des unités.
Soit /^j le nombre dont on demande la troisième puissance ; en faisant a^=. ^ dixaines ou ^o, ô = 7 unités, on trouvera
Total io3823 ■==^ 4,7 X 47 ^X 47.
Pour revenir maintenant du cube io3823 à sa racine 47 » o^ remarquera d'abord que 64000 , cube des dixaines 4 , n'a point de chiffres significatifs d'un ordre inférieur aux mille ; on peut donc , dans la r«clierche du cube des dixaines, faire abstraction des
d' A L G â B R E. 2 il
centaines, des dixaines et des unités du nombre io3823. D'après cela , en disposant l'opération comme pour l'extraction de la racine quarrée , on séparera les trois premiers chiffres sur la droite par une loSjSaS I 4/ virgule ; le plus grand cube contenu "77 /o
dans io3, sera celui des dixaines. On
\iiYra par la table précédente que ce 5c) 8,23 cube est 64 , dont la racine est 4 '> on posera donc 4 à la place destinée à la racine. On retranchera ensuite 6/^ de io3 ; et à côté du reste 39 , on abaissera les trois derniers chiffres. Le reste total, 3^9823 , contiendra encore trois parties du cube , savoir , trois fois le quarré des dixaines multiplié par les unités , ou 3a^b , trois fois les dixaines multipliées par le quarré des unités , ou 5 ab'' y et le cube des unités , ou b^. Si l'on avait la valeur du produit 5a^b , comme on connaît déjà les dixaines a, en divisant ce produit par 3a% on obtiendrait les unités b ; mais quoiqu'on ne connaisse pas Za'b , on sait cependant que ce produit ne doit avoir aucun chiffre significatif d'un ordre inférieur aux centaines , puisqu'il contient le facteur a" qui exprime le quarré des dixaines : il ne peut donc se trouver que dans la partie 398 , qui reste du nombre 39823, après qu'on en a séparé les dixaines et les unités, partie qui contient en outre les centaines que fournissent le produit 5ab^ des dixaines par le quaiTé des unités, et le cube b^ des unités.
- En divisant 398 par 48, qui exprime, dans l'exemple proposé , le triple quarré des dixaines , 3a^ ou 3 X 1 6 , on trouvera pour quotient 8; mais ce qui précède fait voir qu'on ne doit pas adopter ce chiffre pour les unités de la racine cherchée sans l'avoir vérifié, et cela en formant les trois dernières parties du cube que doit contenir le reste 3989,3. En faisant b — S , on trouve
212 ELÉMENS
3«*^> = 384oo 3ab'= 7680
Total 46692
et ce résultat , surpassant SqBgS, prouve qu'il faut diminuer le nombre 8 pris pour les unités. En essayant 7 de la même manière , on voit qu'il satisfait aux conditions, et que par conséquent ^7 est la racine demandée.
Au lieu de faire la vérification que je viens d'employer, on préfère ordinairement d* élever immédiatement au cube le nombre qu'expriment les deux chiffres trouvés , en le multipliant par son quarré. En opérant ainsi sur 48 , on trouvera
et ce nombre , étant plus grand que le proposé io3823, montre encore que le chiffre 8 est trop fort.
147. Ce qu'on a pratiqué sur l'exemple ci-dessus doit s'effectuer de même sur tous les nombres exprimés par plus de trois chiffres et moins de 7. Ayant séparé les trois premiers vers la droite , on cherchera le plus grand cube contenu dans la partie restante à gauche ; on portera sa racine à la place qui lui est destinée ; on retranchera ce cube de la partie du nombre proposé sur laquelle on a opéré ; à côté du reste , on abaissera les trois derniers chiffres; on séparera les dixaines et les unités, et on divisera ce qui reste à gauche par le triple du quarré des dixaines trouvées ; mais avant d'écrire le quotient à la racine , on le vérifiera en élevant au cube le nombre qu'exprime ce chiffre joint aux dixaines connues. Si le résultat de cette opération est trop fort, on diminuera le chiffre des unités ; on procédera à une nouvelle vérification , et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on trouve un résultat égal au nombre proposé , ou moindre
d'Algèbre. 2i5
qi4e ce nombre , s'il n'est pas un cube parfait. Dans ce cas , la racine trouvée n'est que celle du plus grand cube qu'il contient. Comme on a souvent des restes très considérables , voici à quoi on pourra reconnaître si 1® chiffre des unités n'est pas trop faible.
Le cube dea -\-b , lorsqu'on fait 6= i , devient celui de a -f~ 1 , et a pour expression
a'+3a^-i-3a-f 1, quantité qui surpasse a^, cube de a, de
Sa" -f. 3a -h 1.
Il suit de là que tant que le reste d'une extraction de la racine cubique sera moindre que trois fois le quarré de la racine , plus trois fois la racine , plus V unité , cette racine ne sera pas trop faible.
148. Pour extraire la racine de io58â38i7, on observera d'abord que, quel que soit le nombre de chiffres de cette racine , si on la décompose en unités et dixaines , le cube de celles-ci ne pourra faire partie des trois derniers chiffres vers la droite , et devra par conséquent se trouver dans io5825. Mais le plus grand cube contenu dans io5823 aura plus d'un chiffre à sa racine , qui pourra par conséquent se décomposer en unités et dixaines ; et le cube de ces dixaines , ne descendant pas au-dessous des mille, ne pourra faire partie des trois derniers chiffres 823. Si, après la séparation de ceux-ci , il restait encore plus de trois chiffres vers la gauche , on répéterait le raisonnement précédent, et l'on parviendrait ainsi à marquer la place du cube des unités de l'ordre le plus élevé de la racine cherchée, en partageant le nombre proposé en tranches de trois chiffres , en allant de droite à gauche , la dernière pouvant en contenir moins de trois.
Cela posé , après fivoir préparé l'opération comme
à l'ordinaire , on cherchera d'abord , par la règle du a° précédent, la racine cubique 105,820,817 4?'^
des deux premières tranches à g . gauche , et on trouvera 4? pour
résultat ; on retranchera le cube 4^ ^>23 de ce nombre des deux tranches io3 823 qui le contiennent •,à côté du reste 20008 17
2000, on abaissera la tranche sui- ^^ g^^ g
vante 8 1 7, et le nombre 20008 1 7
doit renfermer les trois dernières 00c 000 000 parties du cube d'un nombre dont /jj exprime les dixaines, et dont on cherche les unités: on trouvera donc ces unités, comme dans l'exemple du numéro cite , en séparant les deux derniers chiffres vers la droite du reste , et en divisant la partie à gauche par 6G27, triple du quarré de 47- On vérifiera le quotient 3 , en élevant ^^73 au cube , et on trouvera pour résultat le nombre proposé lui-même , parce que ce nombre est un cube parfait.
L'explication de l'exemple ci-dessus peut tenir lieu de règle générale. Si le nombre proposé avait une tranche de plus, on continuerait l'opération comme on l'a fait pour la troisième ; et il ne faudrait pas manquer de mettre un zéro à la racine, si le nombre à diviser sur la gauche du reste , ne contenait point celui par lequel il faut le diviser : on descendrait alors la tranche suivante , et on opérerait sur cette tranche réunie au reste , comme sur les précédentes.
149. Puisque le cube d'une fraction s'obtient enmultipliant celte fraction par son quarré y ou, ce qui re-^ vient au même , en cubant son numérateur , et en cubant son dénominateur , il s'ensuit qu'on retombera sur la jacine, en prenant celle du nouveau numérateur et celle
du nouveau dénominateur. Le cube de »; , par exemple.
d'algèbre. 2i5
est -î-^*, prenant la racine cubique de 126 et celle de
216 , on retrouve^.
Tel est le procédé qu'il faut suivre lorsque le numérateur et le dénominateur sont tous deux des cubes parfaits : mais lorsque cela n'a pas lieu , on s'épargne la peine d'extraire la racine du dénominateur, en multipliant par son quarré les deux termes de la fraction proposée ; car le dénominateur résultant de cette opération se trouve le cube du dénominateur primitif, et il ne reste qu'à prendre la racine du numérateur. Si l'on
avait, par exemple, ■= , en multipliant les deux termes
de cette fraction par 26 , quarré du dénominateur, on aurait 76
5x5x5^ la racine du dénominateur est 5 : quant à celle de 76 , on trouve qu'elle est entre 4 et 5. En se bornant à 4, on alira
F pour la racine cubique de p , à moins d'un cinquième
près. Pour avoir une exactitude plus grande , il faudra extraire la racine approchée de 76 par les moyens que j'indiquerai plus bas.
Lorsque le dénominateur sera déjà un quarré parfait^ il suffira de multiplier les deux termes de la fraction par la racine quarrée du dénominateur. Ainsi pour trouver la racine cubique de 4 , je multiplie les deux termes par 3, racine quarrée de 9, et j'obtiens
3x3x3' prenant la racine du plus grand cube 8 contenu dans 12, il vient 3 pour la racine cherchée , à moins d'un tiers. l5o. Il suit des n° 97, 98 et 126, que les puissances
3ï6 ÉLÉMENS
des fractions irréductibles sont aussi des fractions irréductibles , et que par conséquent la racine cubique d'un nombre qui n'est pas un cube parfait, ne peut s'exprimer exactement par aucune fraction , quelque grand que soit le dénominateur : c'est donc une quantité irrationnelle , mais d'une espèce différente de la racine quarrée ; carie plus souvent il est impossible d'exprimerl'une par l'autre.
i5i. On pourrait obtenir la racine cubique approchée, par le moyen des fractions ordinaires, en se servant d'un procédé analogue à celui que j'ai fait connaître , n° io3 , sur la racine quarrée, et trop facile à imaginer pour que je m'y arrête , vu qu'il serait d'ailleurs peu commode.
La meilleure manière d'employer les fractions ordinaires pour cette recherche , consiste à extraire la racine en fractions d'une espèce donnée. Pour obtenir , par exemple , la racine cubique de aa , à moins d'un cinquième d'unité^ on observera que le cube de i- est ,~y , et on réduira par conséquent aa en ^j^ ' ^^ racine de a/ôo, étant prise en nombre entier, on aura V > ^^ ^ f > pour celle de aa.
i5a. Le moyen le plus en usage pour extraire par approximation , la racine cubique d'un nombre , consiste à convertir ce nombre en fraction décimale , mais en observant que ce ne peut être qu'en millièmes ou en millionièmes, etc., parce que les dixièmes deviennent des millièmes lorsqu'on les élève à la troisième puissance , les centièmes se changent en millionièmes , et en général , le nombre des chiffres décimaux qui se trouvent au cube est triple de celui que contient la Tucme. Il faut conclure de là qu'on doit mettre à la suite du nombre proposé , trois fois autant de zéros qu'on veut avoir de décimales à sa racine. On fera ensuite l'extraction d'après les règles exposées dans ce qui pré-
D A li G E B R E. 217
cède , et on séparera au résultat le nombre demandé de chiffres décimaux.
Si l'on voulait avoir, par exemple , la racine cubique de 327 , à moins d'un centième près , on écrirait six zéros à la suite de ce nombre, et on extrairait, d'après la règle , la racine de 327000000. Voici l'opération :
12 568o,oo 325 660 672
On séparerait ensuite deux chiffres décimaux sur !a droite du résultat , et on aurait 6,88 ; mais il sera plus exact de prendre 6,89 , parce que le cube de ce dernier nombre, quoique plus fort que 327 , en approche davantage que celui de 6,88.
Si le nombre proposé contenait déjà des décimales , '1 faudrait, avant de commencer l'extraction, mettre à sa droite autant de zéros qu'il serait nécessaire pour rendre le nombre de chiffres décimaux multiple de 3. Soit, par exemple, 0,07 , on écrira 0,070 : prenant la' racine de 70 millièmes, on trouvera 0,4. Pour pousse^ l'exactitude jusqu'aux centièmes , il faudrait mettre encore trois zéros de plus , ce qui ferait 0,070000. La racine de 70000, extraite en nombres entiers , étant 4i j celle de 0,07 , à moins d'un centième près , serait o,4i-
i53. Après avoir fourni les moyens d'extraire la racine quarrée et la racine. cubique des nombres, la formule du binôme conduit à un procédé analogue pour obtenir la racine d'un de^ré quelconque; mais avant
2l8 ^LÉMENS
d'exposer ce procédé, je ferai quelques remarques sur l'extraction des racines dont l'exposant est un nombre qui a des diviseurs.
L'extraction de la racine quatrième peut s'effectuer au moyen de deux extractions successives de la racine quarrée, car en prenant d'abord la racine quarrée d'une quatrième puissance, de a^^ par exemple, on tombe sur le quarré, ou cû- , résultat dont la racine quarrée esta, ou la quantité cherchée.
On verra de même que trois extractions successives de la racine quarrée équivalent à l'extraction de la racine huitième , puisque la racine quarrée de c^ est a^ y que celle de a* est cû- , et qu'enfin celle de a? es^ a.
Il est évident de cette manière , que toute racine d'un degré marqué par quelqu'un des nombres 2,4,8, 16, 32, etc., c'est-à-dire par une puissance de 2, s'obtiendra par une suite d'extractions de la racine quarrée.
Les racines dont les exposans ne sont pas des nombres premiers , peuvent se ramener à d'autres d'un degré moins élevé ; la racine sixième , par exemple , s'obtiendra par une extraction de la racine quarrée suivie d'une extraction de la racine cubique. Pour s'en convaincre, il sufRt d'observer qu'en opérant ainsi sur a^ , on trouve d'abord c^ , puis a \ on pourrait aussi prendre d'abord la racine cubique , ce qui donnerait a^, puis la racine quarrée, et on aurait a.
i54- Je passe maintenant à la méthode générale, que j'appliquerai au cinquième degré. Sa marche sera plus facile à saisir sur un cas particulier; et en la rapprochant des règles que j'ai données pour l'extraction de la racine quarrée et pour celle de la racine cubique , on verra tans peine comment il faut opérer pour un degré quelconque.
d' A L G è B 1\ E. 3ig
Soit donc à extraire la racine cinquième de aSi 554007. J'observe d'abord que le plus petit nombre de 2 chiffres, c'est-à-dire 10, en a six à sa cinquième puissance , qui est lOGOOO , et j'en conclus que la racine cinquième du nombre proposé a au moins deux chiffres : je pourrai donc représenter cette racine par a -{- b y a étant les dixaines , et b les unités ; et le nombre proposé aura pour expression
( a -f. è)5 = a5 | 5^4^ f loa^b^ -f etc.
Je ne développe point tous les termes de cette puissance, parce qu'il sufïit de connaître la composition des deux premiers , ainsi qu'on va le voir.
Cela posé , il est évident que a^, ou la cinquième puissance des dixaines de cette racine , ne pouvant descendre au-dessous des centaines de mille , ne fait point partie des cinq premiers chiffres à droite ; je sépare donc ces cinq chiffres. S'il en restait plus de cinq à gauche , je ferais à leur égard le même raisonnement que tout à l'heure , et je séparerais ainsi le nombre proposé en tranches de cinq chiffres, en allant de droite à gauche: la dernière de ces tranches vers la gauche contiendra la cinquième puissance des unités de l'ordre le plus élevé qui soit dans la racine.
En formant les cinquièmes puis- ^ ^ sances des nombres d'un seul chiffre , ^ ^
je reconnais que 23i5 tombe entre 1024
la cinquième puissance de 4, qui est" 5 / ^ ^g^
1024, et celle de 5, qui est 3i 25. ^
Je prends donc 4 pour les dixaines de la racine cherchée 'j et retranchant la cinquième puissance de ce nombre, ou 1024, de la première tranche du nombre proposé, j'ai pour reste 1291 , à côté duquel je descends la tranche suivante. Le nombre qui en résulte doit contenir les
fermes 5a^b-\- loa^b^ -\- etc. restant de (a -f.^)5^ après qu'on en a retranché œ" ; mais le plus élevé de ces ternies est ba^b , ou cinq fois la quatrième puissance des dixaines multipliée par les unités , parce, qu'il ne descend pas audessous des dixaines de mille. Pour le considérer en particulier , on séparera les 4 derniers chiffres sur la droite , qui n'en font point partie , et le nombre 12316 , restant à gauche, contiendra ce terme, plug les dixaines de mille provenant des termes qui le suivent. On voit donc qu'en divisant 12916 par ba^ ^ ou cinq fois la quatrième puissance des 4 dixaines trouvées , on ne parviendra qu'à approcher des unités. La quatrième puissance de 4 est 266 ; son quintuple s'élè^^e à 1280 ; divisant 12916 par 1280, on trouverait 10 pour quotient; mais on ne saurait mettre plus de 9 à la racine , et il faut même , avant d'adopter ce chiffre , essayer si la racine 49 qu'il donne, en le joignant aux 4 dixaines qu'on a dé)à, ne produis pas une cinquième puissance plus forte que le nombre proposé. On trouve de cette manière qu'il faut diminuer )e nombre 49 de deux unités , et que la vraie racine çsl; 47 , avec un reste égal à 2209000 ; car la cinquième puissance de 4? est 229346007 ; c'est-à-dire que la racine exacte du nombre proposé tombe entre 47 et 48.
S'il y avait une tranche de plus, on l'abaisserait pour la joindre au reste qu'ont laissé les deux premières tranches , après la soustraction de la cinquième puissance deà deux chiffres déjà trouvé^; o\\ opérerait ?ur ce reste comme on a fait sur Je précédent , et ainsj de suite.
D'après ce qu'on vient de lire , il est facile d'étendre ^u cas actuel les règles données , tant pour extraire la racine quarrée et la racine cubique des fractions, que pour approcher des racines des puissances imparfaites de ces degrés.
d'algèbre. 22 r
i55. C'est par des procédés fondés sur les mêmes principes, qu'on parvient à extraire les racines de? quantités littérales ; l'exemple suivant sufiira pour montrer comment on doit s'y prendre dans un degré quelconque.
On a trouvé, dans le n° i43, la sixième puissance de 2 x^ — 5 c^ ; je reprends cette puissance pour en extraire la racine sixième , et pour cela je la dispose comme il suit :
G^î8 — ^Q<xPx^^'{-Soôoa^x^^ — 2ooooa9jt9
reste — qGoa^x'^ -}- etc.
La quantité proposée étant ordonnée par rapport à x, son premier terme doit être la sixième puissance du premier terme de la racine ordonnée de la même manière ; prenant en conséquence la racine sixième de 64^^^, suivant la règle du n° 129, on a qx^.
En élevant ce résultat à la sixième puissance , et ïa soustrayant de la quantité proposée, le reste qu'on obtient, commence nécessairement par le deuxième terme du développement de la sixième puissance des deux premiers termes de la racine. Or , dans Texpression
( a -f- Z> )6 :=: û6 -f. Qa^ b + etc.,
ce terme est le produit de six fois la cinquième puissance du premier terme de la racine par le second ; et si on le divisait par 6a^, le quotient serait le second terme Z».
Il faut donc former six fois la cinquième puissance du premier terme 2v^ de la racine , ce qui donnera 6 X Sqx'''' ou 1921?'^,
et diviser par cette quantité le terme — gGoa^.r^, qui commence le reste de l'opération précédente ; le quotient — 6a^ est le second terme de la racine. Pour le vérifier , on élèverait à la sixième puissance , le binôme 23cr^ — Sa^j et le résultat donnerait la quantité proposée.
Si la i*acine devait contenir un terme de plus , on trouverait après l'opération ci-dessus , un second reste qui commencerait par six fois le produit de la cinquième puissance des deux premiers termes de la racine, par le troisième, et qu'il faudrait par conséquent diviser par 6(20:^ — 5a^)^ : le quotient serait ce troisième terme de la racine ; et on le vérifierait en formant la sixième puissance des trois termes trouvés. On procéderait de même pour obtenir tous les termes suivans, en quelque nombre qu'ils fussent.
Des équations à deux termes,
i56. Toute équation où l'inconnue se trouve h la même puissance dans chacun des termes qui la contiennent, peut toujours se réduire à deux termes, dont l'un est la réunion de tous ceux qui renferment l'inconnue , et l'autre comprend l'assemblage des quantités données : on l'a déjà vu pour le second degré , n° io5 , et il est facile de le concevoir pour un degré quelconque.
Si l'on a par exemple l'équation
a^x^ — a^b'' := Mc^ -f- acx^ , en passant tous les termes affectés de x dans un seul membre , on en déduira
ou (a^ — ac) x^ = Me' + a^b\
Si maintenant on représente les quantités
d'algèbre. 223
ci" — ac par p , Uc^ -f- fi^è* par (7 , l'équation précédente deviendra
et en dégageant la quantité x^ , on aura
P* d'où l'on conclura
En général, toute équation à deux termes étant ramenée à la forme
px"^ =z q , donne alors
et prenant la racine du degré m de chaque membre, on a
167. Il faut observer que si l'exposant m est un nombre impair , le radical n'aura qu'un seul signe, qui sera celui de la quantité qu'il affecte (i3i).
Quand l'exposant m sera pair, le radical aura le double signe dz ; il sera alors imaginaire si la quan-
tite - est négative , et la question sera absurde, comme pour le second degré (i5i).
Voici quelques exemples.
L'équation x^ == — 1 024 donne
x:=z V — 1024= — 4> parce que l'exposant 5 est impair.
L'équation x^ = 626 donne
parce que l'exposant 4 est pair.
Enfin , l'équation dc^-=z — 16 donnant
xz=,±, k^irTë",
ne conduit qu'à des valeurs imaginaires, parce que l'exposant 4 étant pair , la quantité placée sous le radical est négative.
i58. Avant d'aller plus loin , je ferai connaître un fait analytique qui sera très utile , tant pour la suite de cet ouvrage que pour son Complément , et qui est par lui-même assez remarquable : c'est que toutes les expressions x — a, x^ — a^, x^ — a^, et en général x^ — a'" (m étant un nombre entier positif quelconque ) , sont exactement divisibles par x — a, La chose est évidente pour la première ; on sait que la seconde
et par la division, on décomposerait facilement les autres. En divisant de même x^ — a'" par x — a, on trouverait pour quotient
a:"*-* + (laf"-"- + a'x'^-^ + etc. ,
l'exposant de x diminuant toujours de l'unité , et celui de a augmentant pareillement; mais au lieu de suivre le détail de cette opération , je poserai sur-lechamp l'équation
d'algèbre. 225
qu'on peut vérifier, en multipliant le second membre par X — a. Il devient alors
tous les termes de la première ligne , à partir du second , étant les mêmes , au signe près , que ceux qui précèdent X le dernier de la seconde ligne , il reste seulement , après la réduction , x"* — a"* • c'est-à-dire le dividende proposé.
Il faut observer qu'à la suite du terme g'^x'"-^ vient nécessairement, dans la ligne supérieure, le terme ^3^m-3^ qui se trouve détruit par son correspondant inférieur ; et que de même , dans la ligne inférieure , on trouve , avant le terme a'"~"*x, un terme — a"^~'^x^ , qui détruit son correspondant supérieur. Ces termes ne sont point écrits, parce qu'ils sont censés compris dans l'intervalle indiqué par les points. '
169. Ceci conduit à des conséquences fort importantes , relativement à l'équation à deux ternies
En désignant par a le nombre que donne l'extraction immédiate de la racine , opérée d'après les règles du ,n° 1 54 , on a
■^z=zar ou X'" = a'" :
et transposant le second membre dans le premier, il vient
La quantité x"* — a"» se divise par x — a , et on a , par le numéro précédent,
x'"— a'«=: (x— a) (x"'— 4. ax"^-^ -f- a'"-^r + a'" " ' ) ;
Elém, d'Algèbre, i^^ tà:\\\on, i5
ce dernier résultat, qui s'évanouit lorsque xz^o^ deviendrait également nul si l'on avait
a;"-» + oo:'*"-'' -f a"*-*:r -f a*-' =: o (i 16) ;
et s'il existait par conséquent une valeur de oc qui satisfît à cette dernière équation , elle satisferait également à la proposée.
Ces valeurs ont avec l'unité , des relations fort simples, que l'on découvrira en faisant x:=ay j par là l'équation x'" — fi'" r= o deviendra
a-y^ — flp"' rr= o OU y"' — 1=0,
et on obtiendra les valeurs de x en multipliant celles de V par le nombre a.
L'équation^" — 1=0 donné en premier lieu
puis , en divisant y"^ — 1 par j — 1 , il vient
et ce quotient étant égalé à zéro , est l'équation d'où dépendent les autres valeurs dey, qui auront, aussi bien que l'unité, la propriété de satisfaire à l'équation
y"^ — 1=0 ou.y"^=^ij c'est-à-dire que leur puissance du degré m sera l'unité.
De là résulte cette conséquence , singulière au premier coup-d'œil y que l'unité peut avoir plusieurs racines autres qu'elle-même.
Ces racines , qui sont négatives ou imaginaires / sont malgré cela d'un fréquent usage dans l'analyse ; mais je ne peux faire connaître ici que celles, des quatre premiers degrés , parce qu'il n'y a que pour ces degrés que l'on puisse résoudre , par ce qui précède , l'équation
yni-i ^ yni-» 4-1=0
<jui les donne.
Soit, 1°. m=Q, on a
y^— 1=0, d*où l'on tire
2°. En faisant mr=: 5, il vient
y— 1=0, d'où l'on tire
puis y^ -j-y -}- 1 = o.
Cette dernière équation étant résolue , donne
ainsi on a pour ce degré , les trois racines
Les deux dernières sont imaginaires ; mais si l'on en fait le cube, en formant, d'après len°34, celui du numérateur , et si l'on observe que le quarré de %/ — ^3 étant — '3 , son cube est — 3 \/ — 0, on trouvera encore j/^'rr: 1 ^ comme par la racine j' =1.
3°. Prenant m 1=4 1 on a . ,
d'où l'on déduit
puis y^^fJ^yJ^^^O^
ce qui revient à
y (y4- O -f-j-f 1 ^(j'-f 1 )(>'^ + I ) = o, et d'où l'on tire
^4-1 =0, ou y+i =0,
équation* qui donnent
j = — 1, y==-\- \^^, J' — ■— \/^' les quatre racines de la proposée sont donc 3' = 4-i,^ = — 1, y = ^i/IIÏ^ y=z-.\/ZU,
De ces quatre valeurs , deux seulement sont réelles, et les deux autres imaginaires.
On les trouve aussi en observant que
d'où il résulte successivement
Cette multiplicité de racines de l'unité tient à une loi générale des équations, d'après laquelle une inconnue admet autant de valeurs qu'il y a d'unités dans l'exposant du degré de l'équation qui la détermine; et quand la question ne comporte pas ce nombre de solutions réelles, il est complété par des symboles purement algébriques, qui, lorsqu'on les soumet aux operations indiquées dans L'équation , la vérifient.
Il suit de là que les racines des nombres ont deux espèces d'expressions ou de valeurs -, la première, que j'appellerai détermination arithmétique ^ est le nombre qu'on trouve par les procédés exposés dans le n° i54, et qui est unique pour chaque cas particulier ; la seconde comprend les valeurs négatives et les expressions imaginaires , que je désignerai sous le nom de déterminations algébriques , parce qu'elles ne doivent leur existence qu'à la combinaison des signes de l'Algèbre.
Des équations qui peuvent se résoudre comme celles au second degré.
160. Le caractère de ces équations consiste en ce qu'elles ne contiennent que deux puissances différentes
DALGEBRE. 229
(de rinconnue , et que l'exposant de l'une est double de celui de l'autre ; leur formule générale est
p et ^ étant des quantités connues.
Si l'on prend d'abord x"* pour l'inconnue, ou que l'on fasse x^=:u^ on aura
d'où ^ \ '\- *^. ' ^
remettant a:'" pour u , il viendra
^" = — TP±:V/^-f 5P% équation à deux termes , puisque l'expression
ne renfermant que des opérations connues, à effectuer sur des quantités données , doit être regardée comme représentant des quantités connues.
En désignant par a et par a\ les deux valeurs de cette expression, on aura
x'" = a et a;'" = a', d'où l'on tirera
X = \/a et a: = V^ô^ Si l'exposant m était pair, au lieu des deux valeurs ci-dessus, on en aurait quatre , puisque chaque radical serait susceptible du signe ±: : il viendrait
et ces quatre valeurs seraient réelles si les quanti léij a et a' étaient positives.
Toutes les valeurs de x seront comprises dans uite seule formule, en indiquant immédiatement la racine des deux membres de l'équation
ce qui donnera
La question suivante conduit à une équation de ce genre.
161. Décomposer le nombre S en deux facteurs y tels que la somme de leurs cubes soit 35.
Soit a: l'un de ces facteurs, l'autre sera -, et on aura,
par la somme de leurs cubes, x^ et — 3-, l'équation
qui revient à
ou à x^ — 55x-^;= — 216.
Si l'on regarde x^ comme l'inconnue , on obtiendra, par la règle dss équations du second degré ,
En effectuant les calculs numériques indiqués , on trouvera
et par conséquent
15, i Ui z=: ^ z= 27 , a i^ a a / '
^-i ii i^-— J-£ =
D ALGEBRE. '^Sl
d'où
La première valeur donne pour le second facteur -fou 9^ tandis que la deuxième valeur conduit à | ou 3; on a donc dans un cas 3 et a pour les facteurs cherchés, et dans l'autre a et 3. Ces deux solutions ne diffèrent ainsi que par un changement d'ordre dans les facteurs du nombre donné G.
162. Les équations que je viens de considérer , sont également comprises dans la loi générale énoncée
x\° 169; car il faut multiplierles valeurs de ^a, y a' j par les racines de l'unité , dans le degré 771. En apphquant cette considération à l'équation
a;S— 35ji7S=: — 216,
on lui trouvera les six racines suivantes :
xirzix3, 0^ = 1X2,
"■— ^ Xû, x=. --l X2,
dont les dtiux premières sont les seules réelles. Du calcul des radicaux,
1 63. Le grand nombre de cas da^ns lesquels on ne peut extraire exactement les racines, et la longueur de l'opération nécessaire pour les obtenir par approximation , a conduit les algébristes à tâcher d'effectuer immédiatement sw les quantités soumises aux signes radicaux, les
opérations fondamentales indiquées sur leurs racines, et d'en simplifier autant qu'il était possible les résultats, de manière à renvoyer à la fin du calcul l'opération la plus compliquée, c'est-à-dire, l'extraction, pour n'avoir ^la pratiquer que sur les plus petits nombres ou les expre?sions les plus simples que puissent comporter les questions proposées.
L'addition et la soustraction des quantités radicales dissemblables ne peuvent que s'indiquer par les signes -f- et — . Par exemple , les sommes
les différences • \ # ^
ne sont pas susceptibles d'une autre expression. Il nen serait pas de même de la quantité
ad
parce que les radicaux qui la composent peuvent devenir semblables, au moyen de la simplification indiquée dans le n° i3o. On observerait d'abord que
V/i6a^Z>=: V^8a^.2 Z> ou Q.ay2.bi
\/2.ébr=i\/a^.2.b ou a'^/zb; il viendrait
4 a y/zb 4- 2a \/zb 3- [/zb ,
et en réduisant , on obtiendrait
GaV/^-^V/^ ou (6ci-5c)3V^i5.
164. A l'égard des autres opérations, le calcul des radicaux repose sur ce principe déjà cité : Si Von élève les dijférens facteurs d'un produit à une même puissance y le produit sera élevé à cette puissance. D'un autre côté , il est visible qu'on élève une quantité radicale à la puissance du même exposant que ce radical ,
7 en le supprimant. Par exemple, y a élevée à la septième puissance , est a seulement , puisque cette opéra-
7 tion, inverse de celle qu'indique le signe \/ , ne fait que ramener à son premier état la quantité a.
Cela posé, si, par exemple, dans l' expression
\/aX\/'b,
on supprime les radicaux , le résultat a b sera la septième puissance du produit indiqué plus haut ; et prenant la racine septième , on en conclura
\/aX^\/b= \/ab.
Ce raisonnement , qu'on peut appliquer à tout autre cas, montre que, pour multiplier deux expressions radicales du même degré , ilfautfaire le produit des quantités soumises aux radicaux , et Vajfecter d'un radical du même degré.
Au moyen de cette règle , on a
4 v/a^ — 6'^x /^Ih^^ — 4 V/(a'— 6=^)(a^-|-ô' = 4/fl4-^^4;
__■ /a^ (2fl6~Z;6)
a^/r\:^ zé — b^
^•^ ^ a^ — //^ ' a cause que
i65. Si l'on considère que la septième puissance de
1 expression -^ — , par exemple , est y , on conclura , en prenant la racine septième de ce dernier résultat, que
d'où il suit que, pour diviser Vune par l'autre deur quantités radicales du même degré , il fa^t prendre le quotient des quantités soumises aux radicaux ^ et r affecter d'un radical du jnême degré.
On ti'ouve par cette règle, que
166. Il suit de la règle de la multiplication des radicaux du même degré, donnée dans le n° 164, que, pour élever une quantité radicale à une puissance quelconque , il suffit délever à cette puissance la quantité soumise au radical , et d' affecter de ce même radical le résultat ;
car, par exemple, élever V^aZ) à la troisième puissance*
c'est effectuer le produit
\/ab X \/ab X \/ab ;
et comme les radicaux sont du même degré , il faut (164) multiplier entre elles les quantités qu'ils affectent, puis poser le radical sur le produit , ce qui donne
De même, {/a"" b^ élevé à la puissance quatrième ,
donne y a^ Z>*^, qui se réduit à
ab\/ab^,
en décomposant a^ Z>** en a"^ b"^ X cdr") et prenant la racine du facteur à' ^ (i3o).
Il est à propos de remarquer aussi que lorsque l'exposant du radical est divisible par celui de la puissance à laquelle on élève la quantité proposée , l'opération s'effectue en divisant le premier exposant par le second. Par exemple ,
parce que 4 = 3.
En effet , \/a désigne une quantité qui est six fois facî teur dans a, et la quantité V^a, qu'on obtient en divisant
l'exposant 6 par 2, n'étant plus que trois fois facteur
dans a , équivaut par conséquent au produit de deux
des premiers facteurs ; elle est donc la seconde puis-
sance de l'un de ces facteurs, ou de y a.
Le même raisonnement s'appliquerait à l'exemple cidessous, et à tout autre :
167. En renversant les règles de l'article précédent , on obtient celles qu'il faut suivre dans l'extraction des racines des quantités radicales.
On voit d'abord , par la première , que , si les exposans des quantités soumises au radical sont divisibles par celui de la racine qu on veut extraire, V opération s'effectuera comme s' il ny avait point de radical , et Von affectera du radical primitif le résultat.
On trouve , par exemple , que
. De la seconde règle du numéro précédent, on conclut que Vextraction de la racine des quantités radicales s'indique en général , en multipliant V exposant du radical par celui de la racine qu'on veut extraire. Par cette dernière règle , on trouve que
En effet , ya^ est une quantité qui est cinq fois fac=-
teur dans a^ (04, 129 ) ; mais la racine cubique de ya^, devant être aussi trois fois facteur dans cette dernière
quantité, se trouvera 5 X 3 fois ou i5 fois facteur dans
la première a'^ : donc V ya^ = V ^^- On prouve-
rait de même que \r \/ a^ z= \/ a^,
168. Puisqu' en multipliant par un nombre, l'exposant d'une quantité soumise à un radical , on élève à la puissance marquée par ce nombre , la racine indiquée (166), et qu'en multipliant aussi par le même nombre, l'exposant du radical, on tire du résultat une racine du degré égal à celui de la puissance qu'on a formée (167), il s'ensuit que cette seconde opération ramène à son
premier état la quantité proposée. ,■ ,, ,
L'expression y a^, par exemple, peut se changer en
V^a^*, qui s'obtient en multipliant par 7 les exposans 5
et 3j car multiplier par 7 l'exposant de a^, c'est former,
par le radical Ya^\ la septième puissance du radicaïpro-
posé, et multiplier par 7 l'exposant 5 du radical \/a^^ ,
c'est prendre la racine septième du résultat , opération
qui détruit l'effet de la première.
169. Par cette double opération, on ramène au même degré un nombre quelconque de radicaux de degrés differens , en multipliant à la fois V exposant de chaqi^e radical et ceux des quantités qu'il affecte , par le produit des exposans de tous les autres radicaux. L'identité des nouveaux exposans des radicaux est évidente par elle-même , puisqu'ils sont formés du produit de tous les exposans des radicaux primitifs ; et d'après ce qui précède , chaque quantité radicale n'a pas changé de valeur.
On transforme par cette règle ,
258 É L É IVI E N s
{/aH"" et \/c*d\
en y/a'^'b"^ et y'c'"'d''';
de même les ti*ois quantités
deviennent respectivement
S'il y avait des nombres sous les radicaux, il faudrait les .élever à la puissance marquée par le produit des exposans des autres radicaux.
170. De même, on -peut passer sous un radical un facteur qui en est dehors , en V élevant à la puissance marquée par r exposant du radical.
On changera, par exemple,
d" en V^a'°, et 2 a \^b en \/Sa:^b.
171 . Après avoir réduit au même degré , par la transformation précédente , des radicaux quelconques , *ori leur appliquera sans difficulté les règles données dans les n°' 164 et i65, pour la multiplication et la division des quantités radicales du môme degré.
'Soit en général
i {/ÔFb'J X \/b''c';
je change ( 169 ) , ;
\/nPbi, \/b'c'y
en \/a"Pb''i, V ^'"'''
et la rè^Ie du n"* 1G4 donne
inrt
pour le produit des radicaux proposés^ On a aussi, par le 11° i65
m mn mn mn
X/ÔPb^ \/a"Ph"'} __ I ya"Pb'"i __ t y/^a"P /?"v-^^^
|/ Umr,ms a/ ,.ms *
n mn V U L v- c
Remarques sur quelques cas singuliers du calcul des radicaux.
172. L-es règles auxquelles on vient de ramener le calcul des radicaux , s'appliquent sans difficulté aux quantités réelles ; mais elles induiraient en erreur par rapport aux quantités imaginaires , si on ne les accompagnait pas de quelques remarques qui tiennent aux propriétés des équations à deux termes.
Par exemple, la règle du n° 164 donne immédiatement
€t si on se contentait de prendre -f- a pour \/~ô^, le résultat serait visiblement fautif, car le produit v/^X V^^, étant le quarré de v/^ , doit s'obtenir en supprimant le radical, et est par conséquent égal à — a.
Bézout a très bien expliqué cette difficulté , en observant que quand on ignore de quelle manière a été formé le quarré «% et qu'on en demande la racine , on doit assigner également -f- a et — a i mais que quand on sait d'avance laquelle de ces deux quantités a été multipliée par elle-même pour former a'* , il n'est plus permis,
24^ li L É M E N s
forsqu'on revient sur ses pas, d'en prendre une autre. Ce cas est évidemment celui de l'expression \/ — «x \/ — a : on sait alors que la quantité a^ , comprise sous le radical
V/ a^ , vient de — a multiplié par — a ; l'ambiguité cesse donc ; et quand on revient à la racine, il faut mettre — a.
Le même embarras aurait lieu aussi pour le produit y a X K ^ j si l'on n'était pas conduit, parce qu'il n'y a aucun signe — dans l'expression , à prendre immédiatement la valeur positive de {/a'^. Il faudrait faire attention que , dans ce cas , a'^ venant de -{- a multiplié par -f- a , sa racine doit être nécessairement + "•
Ces raisonnemens ne laissent aucun nuage sur le cas particulier qu'on vient de considérer ; mais il y en a d'autres qui ne peuvent s'expliquer clairement que par les propriétés des équations à deux termes.
173. Siparexempleondemandaitléproduit\/aV/ — 1 , en réduisant le second radical au même degré que le premier ( 1 69 ) , on aurait
résultat réel , quoiqu'il soit bien évident que la quantité
réelle \/a , multipliée parla quantité imaginaire y — 1 , doive donner un produit imaginaire. Il ne faut pas croire
\- • cependant que le résultat y a soit tout-à-fait faux,
mais seulement qu'on le prend alors dans un sens trop
particulier.
En effet, {/a^ considérée algébriquement, étant r expression de l'inconnue x , dans l'équation à deux termes
oc^ — 0 = 0,
est susceptible de quatre déterminations difrérentes( 1 69);
d' a li g è b r e. 241
car si l'on fait G!=:ct'^, en représentant par cl la valeur nu-
4 mérique de \^ ay abstraction faite de son signe , ou la détermination arithmétique de cette quantité , on aura les quatre valeurs
dont la troisième est précisément le produit proposé.
Avec un peu d*attention , on reconnaît aisément la cause de l'ambiguité qu'on vient de remarquer. En élevant au quarré la quantité — 1, pour changer le radical du second degré en un du quatrième, on arrive à -|- 1 ,
.ijiii peut venir aussi bien de -f-iX+i^ que de — iX — 1,
ce qui introduit dans la quantité V/ 1 les deux nouvelles
déterminations -f-i et — î, qui ne se trouvaient pas dans
La même chose a lieu , en général , par suite des multiplications qu'on opère sous les radicaux (171);
et le produit \/ay<\/b dépend d'une équation du degré m/i, ce qu'on peut voir aussi en considérant que
in n
y a et yb désignent les valeurs de a: et de y dans les équations a:'" = a, y'^z=ib (lôg).
Si l'on élève alors les deux membres de la première à la puissance /i, ceux de la seconde à la puissance m, on aura
et multipliant , membre à membre, ces nouvelles équations, il en résultera
x'"y»= (xy)'"'' = a''Z)"^ , d'où xy^y'a^b"'.
On conçoit d'ailleurs aisément que le produit xy doit avoir tnn déterminations , puisque pour le former ^ on peut combiner successivement chacune des m déter- Elém. d'Algèbre, 14^ édition. 16
minations de x avec chacune des 11 déterminations dey, ce qui donne mn résultats.
Quand il s'agit de quantités réelles , le choix n'est pas embarrassant, parce que le nombre de déterminations de cette espèce ne surpasse jamais deux («57), qui ne diffèrent que par le signé.
174. En faisant usage de la transformation du n° 169 , on fait tomber toute la difficulté sur les racines de -f- 1 , CXI de — 1 ; car si on pose x =^ clI ety = /2a , et et /S désignant
les déterminations numériques de \/a , \/I , sans égard au signe , les équations
.x'"i;:g=:o, y"z:fbr=zo, deviennent
f^qzi^o, zt''zpi=o,
'et on en tire l'expression
xy:=\/±xiX\/±.b = ct(ètu—ci^\/±ii><:\/±i\ dans laquelle a, fi représente le produit des nombres
\/a, V^5 , OU la détermination arithmétique de la raciife du degré znn du nombre a"/)'".
Quand on voudra particulariser le produit des radi-
eaux X/±M, , \/^±B , par une détermination spéciale de ces radicaux , il faudra trouver , d'après les équations
i'" zp 1 = o , 7^« qii = o ,
les diverses expressions de V^±:i , V^±:i , et les combiner convenablement (*).
(^) Quaud l'exposant m est impair, \/ —\ — —}/ -jr^ '-, maf« quand il est pair, cda n'a plus lieu. Lorsque m = 4 , par exemple, on trouve que
Au reste, ces opérations ne se présentent guère que pour quelques cas fort simples, dont voici les principaux :
je supprime le radical de v/ — i , et j'obtiene
je ne multiplie point ici — 1 par — 1 , parce que je tomberais sur l'ambiguïté remarquée dans le n° lyS; mais j'observe que le quarré de la racine quatrième n'est autre chose que la racine quarrée , et il vient
alors
V/— a X V'—b = ^ab X /— 1 :
