Il est tout aussi évident, par la règle du n

que

\/aPj =zVv =«"* ^V^a^P,

et par celle du n^ 129 , qne

Le calcul des exposans fractionnaires est un des exemples les plus remarquables de l'utilité des signes , lorsqu'ils sont bien choisis. L'analogie qui règne entre les exposans fractionnaires et ceux qui sont entiers, rend les règles qu'il faut suivre dans le calcul do ceux-ci , applicables à celui des autres , tandis qu'il a fallu des raisonnemens particuliers pour découvrir les règles du calcul des radicaux , parce que le signe y , qui les exprime , n'a aucune liaison avec l'opération qui les engendre. Plus on avance dans l'Algèbre , et plus on reconnaît les nombreux avantages qu'a produits dans cette science la notation des exposans, imaginée par Descartes.

Théorie générale des Équations.

178. Les équations du premier et du second degré sont , à proprement parler , les seules dont on ait une solution complète ; mais on a découvert, aux équations de degré quelconque , des propriétés générales qui conduisent aies résoudre lorsqu'elles sont numériques, et qui offrent de nombreuses conséquences pour les ]3artiesplus élevées de l'Algèbre. Ces propriétés tiennent à une forme particulière sous laquelle toute équation peut &e mettre.

En la supposant aussi générale qu'elle peut l'être , pour un degré quelconque , une équation doit renfermer toutes les puissances de l'inconnue , depuis celle de' ce ^legré, jusqu'à la première inclusivement, multipliées

chacune par des quantités connues , et en outre un terme tout connu. •

L'cquation générale du cinquième degré , par exemple , contiendra toutes les puissances de l'inconnue , depuis la cinquième jusqu'à la première inclusivement ; et s'il y a plu:3ieurs termes affectés de la même puissance de l'inconnue , il faudra les concevoir réunis eji un seul, comme onl'afait pour les équations du second d^gré dans le n° 108. Ensuite on passera, ainsi qu'on l'a fait dans ce numéro , tous les termes de l'équation dans un seul membre; l'autre sera nécessairement égal à zéro ; et on rendra le premier terme positif en changeant, s'il le faut , tous les signes de l'équation.

On aura par ce moyen une expression semblable à \<\ suivante ,

nx^ -f- P^ "+- (J'^^ "J- ^^* -j-sx ~j-tz=o ^ dans laquelle il faut bien observer que les lettres p , q j r, s y tj peuvent représenter des nombres négatifs aussi bien que des nombres 'positifs ; puis'.divisant toul par 71, afin de ne laisser au premier terme que l'unit j pour coefficient , et faisant

il viendra

x^ + P^^ 4- Qx^ -\-Rx^-^ Sx -f T — o. Dorénavant je supposerai qu'on ait toujours préparé les équatîon^s ainsi que je viejis de le faire , et je représenterai l'équation générale d'un degré quelconque par

x^'- 4. Px-«-' -f- Qx"-^ j^Tx-^U~ o.

L'intervalle indiqué par les points se remplit lorsqu'on donne à l'exposant n une valeur particulière.

Toute quantité nu toute cxpre.'^sinn , ^oit r/elle , .soit

imaginaire , qtii , mise à la place de l'inconnue x dans une équation préparée comme ci-dessus, en rend le premier membre égal à zéro , et par conséquent satisfait à la question , se nomme la racine de V équation proposée; mais comme il ne s'agit pas ici de puissances , cette acception est plus générale que celle que j'ai donnée jusqu'à présent au mot racine (90, 129).

179. Voici une proposition analogue à celles des numéros 116 et 1 69 , et que l'on doit regarder comme fondamentale.

La racine d'une équation quelconque

x" + Px"-» -f- Qx"-"^ + Tx -f U = o ,

étant représentée par a , le premier membre de cette équation se divise exactement par le binôme x — a.

En effet , puisque a est une valeur de a; , on a nécessairement

a« -f-Pa"-' -f- Ça«-^ -\-Ta-j-U = o,

et par conséquent

L'^rrr:— -a" — Pa«-^— Ça"-^ —Ta;

en sorte que l'équation proposée est identiquement la même que

a:« -f Px"-' -f Qx"-=^ + ^^ T

^a'^^Pa'^-' — Qa^-'' -^Tal~^'

et revient à

a;n ^a'^-l-P Cx«-»— a"-') -f- Q {x"-^—a'-^) \ __

Les quantités '

étant toutes divisibles par x — « ( i58 ) , il est évident que le premier membre de l'équation proposée aura tous ses termes divisibles par cette quantité, et sera par con-

t>' A L G È B II E. 249

séquent divisible'^ par x — a, comme le porte l'énoncé de la proposition (*) .

180. Pour former le quotient, il n'y a qu'à substituer au lieu des quantités

les quotiens qu'elles donnent , lorsqu'on les divise par X — Gj et qui sont respectivement

x"-' -\- ax"-^ -f- a"x"-3 -f a"-* ,

x"-^ -I- ax"-3 + a"-%

En ordonnant le résultat par rapport aux puissances de X , on trouvera

x^-^-fax'^-^-f a'^x"- ^ 4- a"~* *

-| Px"-^ -f- Pax"-3 -f- Pa"-^

+ Qx'^-3.....-|-Qa"-3

(*) D'Alembert prouve la même proposition , ainsi qu'il suit.

Si l'on conçoit que le premier membre de l'e'quation proposée soit divisé par x — a , et que l'opération ait été poussée jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les termes affectés de a:, le reste, s'il y en a nn , ne pourra contenir X. En le représentant par R, et nommant Q le quotient quelconque auquel on sera parvenu , on aura nécessairemcnii

««4-Pj:»-' -f etc. = Q (a: — a)-t-i^• Or, lorsqxa'h la place de a: on substitue a, le premier membre s'anéantit, puisque a est la valeur de a; ; le terme Q (x — a) s'anéantit aussi , à cause du facteur a: — <z qui devient zéro : on doit donc avoir jK= o , et cela, indépendamment de la substitution j car ce reste ne contenant pas x, la substitution ne peut s'y eifectuer, et il conserve après , la valeur qu'il avait auparavant.

Il suit de Ihque, dans tous les cas , iR = o , et que par conséquent

a:'* +P ««-' -4- Ç a:'*^' -f- etc.

est divisible exacrcmeut par x — a.

^^^ li L É M K N s

f8i. Il est vkible, d'après les seules règles de U division , que le premier membre de l'équation

a-« -f. Pjcn-i I Qj^n-. f etc. :r-^ O ,

étant divisé par x — a , donnera un quotient de la forme

^. :t— ^-|-PV'---fÇ'a;''-3-f etc., P\ Q\ etc., désignant des quantités connues, différentes ^® ^j Ç> etc. ; on aura donc

r" -f-Px'^' ^- etc. = (x—a) (x"-» + PV-« -f etc. ); et suivant l'observation du numéro n6, l'équation proposée se vérifiera de deux manières, savoir, en faisant j:: — a = o ou x"-' -{- P'x"-^ -f etc. = o. Si maintenant l'équation

x'^' 4- P^x'"-^ -f. etc. = o a une racine b , son premier membre sera divisible par X — Z> ; on aura encore

x^-'-}-P'x"-^ -f- etc. = (07— ^) (x"-* -f- P^x'-^^etc), et par conséquent

a;"-fPx"-^-|-etc.=-(x-û)(a>-Z0(x''-^+P'x"-3-fetc.); l'équation proposée pouiTa donc "se vérifier de trois manières , savoir , en faisant

X — 0=0 , ou X — b=io , ou x"-'' 4- P"x"-^ -f- etc . := o .

Si la dernière de ces équations a une racine c , son pre-

mier membre se décomposera encore en deux facteurs,

x — c, x''-3|.p'V'-'^-f etc., ' et l'on aura

X" + Px"-' + etc.

^ (x— a) (x^b) (x—c) (x"-'^ -f P"'x''-^ -f- etc, ) ;

d'où l'on voit que l'équation proposée pourra se vérifier

de quatre manières, savoir, en faisant alternativement

X— ar=o, X— Z>=zo, X-—C—0, x"-^4- P'"x"-4 -f etc.::=:g.

En continuant de raisonner ainsi, on obtiendra suc-

cessivement des facteurs des degrés

n — 4f ^ — 5j ^ — 6,etc. -, et si chacun de ces facteurs, égalé à zéro, est siwceptible d'une racine , le premier membre de l'équation proposée sera ramené à la forme

c'est-à-dire décomposé en autant de facteurs du premier degré qu'il y a d'unités dans l'exposant n de son degré. L'équation

x" 4- Px"-' -f etc. =:: o ,

pourra donc se vérifier de n manières , savoir , en faisant X — a=o , ou X — b=Oj ou x — c=Oj ou x — d=o ,

ou enfin x — /=o.

Il faut bien remarquer que ces équations ne doivent être regardées comme vraies qu'alternativement, et qu'on tomberait dans des contradictions manifestes , si l'on supposait qu'elles aient lieu en même temps. En effet, de X — a = o, on tire x :=: a , tandis que a: — bz=:o conduit kx :=^ b , conséquences qui ne peuvent s'accorder lorsque a et b sont des quantités inégales.

i8a. Le premier membre de l'équation proposée, x« -f- Pjf-' -f etc. z= o , étant décomposé en n facteurs du premier degré ,

X — a, X — by X — c, X — dy x — l,

ne saurait être divisible par aucune autre expres.sion de ce degré. En effet, si la division , par un binôme o: — cf., différent des premiers, était possible , on aurait a;«-f Pj;"-^-f-etc.2=(x— a) (x""^ -|-px"-^ -f-etc. ) et par conséquent

(oj— a) (x--b) (x^— c) (jc~^) (.r— /)

ET (x— fit) (a;«-i-f /^x^-^-f etc.); or , en changeant x en a, il vient

{ct^a) dct — b) (ct-^c) Çct^d) (=t-~/)

z={ct^ct) ( A"-' -f px.""-^ -f etc. ) ;

le second membre s'évanouit à cause du facteur nul a. — cL\ mais il n'en est pas de même du premier, qui est le produit de facteurs tous difFérens de zéro , tant que A difFère de chacune des racines a,h,c, (?.../: la supposition n'est donc pas vraie; donc wne équation d'un degré quelconque ne peut admettre plus de diviseurs binômes du premier degré, qu il ny a d'unités dans V exposant de son degré, et ne peut avoir par conséquent un plus grand nombre de racines (*).

^ i83. En regardant une équation comme le produit d'un nombre de facteurs

x—a, X — b, x—c, x^d, etc., égal à l'exposant de son degré, elle prendra la forme du produit indiqué dans le n° i35, avec cette modification, que les termes seront alternativement positifs et négatifs.

Si l'on se borne à quatre facteurs, par exemple, on aura

oc^—ax^-{-abx^^abcx-\-abcd=:0,

— bx^-j-acx'^abdx

— cx^-l-adx"^ — acdx —dx^-i-bcx'-^bcdx

■i-bdx^ -^cdoc^

(*) Cette démonstration beaucoup plus simple que celle que j'avais tlonnee dans les éditions précédentes, est tirée àcs Annales de Mathématiques publiées par M. Gergonnc. ( J^oyez le T. IV , page 209—210, note. )

Il est à propos de remarquer que c'est parce que le binôme x — et est premier avec les facteurs x — a , x — 6 , etc., qu'il ne peut diviser leur produit; proposition qui s'étend à tous les poljnomcs de la forme x'^ + Px'»-' -+■ etc. En substituant ces polynômes aux nombres , dans les raisonnemens du n° 97 , on démontrera facilement que tout polynôme qui dii^ise le produit de deux polynômes A ef B , c< qui est premier avec l'un de ces polynômes , dii^ise nécessairement l'autre.

d' A L G È B II E. 253

Les seconds termes des binômes x — a, x — Z>, x — c, etc. étant les racines de l'équation, prises avec un signe contraire, les propriétés remarquées dans le n** i35, et prouvées en général dans le n° i36, auront lieu de la manière suivante , pour le cas actuel :

Le coefficient du second terme y pris avec un signe contraire, sera la somme des racines ;

Le coefficient du troisième terme sera la somme des produits des racines multipliées deuop à deux ;

Le coefficient du quatrième terme y pris avec un signe contraire y sera la somme des produits des racines multipliées trois à trois , et ainsi de suite , en observant de changer le signe des coefïiciens des termes de rang pair;

Le dernier terme^ soumis comme les autres à cette loi, sera le produit de toutes les racines.

En égalant, par exemple, à zéro le produit des trois facteurs

oc — Sy a: 4-4,07 4-3, on formera l'équation

x^-\-Q.x'^ — 23 a; — 6o = c, dont les racines seront

on aura , pour leur somme ,

5 — 4 — 3= — 2 ; pour celle de leurs produits 2 à 2 ,

-1-5 X— 4+5 X— 3— 4X— 3r=— 20— 1 5+1 2=— 23 , et pour le produit des 3 ,

C'est aussi ce qu'on déduirait des coefficiens 2, — 23, — 60 , en changeant le signe de ceux du second et du quatrième terme.

Si l'on égale à zéro le produit des facteurs ' :r — 9, 07 — 3 et a7-f-5,

l'équation résultante

x^ — i9x-|-3o = o , n'ayant point de terme affecté de x^ , puissance immédiatement inférieure à celle du premier terme , manque de second teime , et cela parce que la somme des racines , qui , prise avec un signe contraire , forme le ooefRcient de ce terme , est ici

ou zéro , ou en d'autres termes , parce que la somme des racines positives est égale à celle des négatives (*).

(*) On pourrait croire quoponr découvrir les racines trun€ équation quelconcjuc du quatrième degië

il suffirait de la comparer avec le produit du numéro i83, en observant d'égaler les quantités qui multiplient dans l'un et dans l'autre , les m^mes puissances de a: 5 et c'est par l.\ que la plupart des auteurs élémentaires pensent démontrer qu'«/ie équation d'un degré quelconque est leproduit d'autant de facteurs simples quily a d^nités dans t exposant de son degré : on verra par ce qui suit que leur raisonnement est fautif. Je n'ai conclu cette proposition que conditionnelleraent dans le numéro 182, parce q^il faudrait, pour l'affirmer positivement, montrer qu'une équation d'un degré quelconque a une racine, soit réelle, soit imaginaire, ce qui ne paraît pas facile à faire dans les élémens , et ce qui heureusement n'est pas nécessaire alors : on peut d'ailleurs voir dans le Complément les réflexions qwe j'ai rapportées h ce sujet.

En formant les équations

ab + ne. -^ad-\-bc-^hd-\-cd= tj^

— >abc — abd — acd — bcd=. r,

abcd = j,

pour en tirer les valeurs des lettres a, b, c, J, qui seraient les racines de l'équation proposée, le calcul serait fort compliqué, si l'on voulfti:

i84- Quand on considère une équation comme formée du produit de plusieurs facteurs simples , ou du

omployerh la détermination des inconnues a , h y c , d^ le procède dn numéro 785 mais si Ton multiplie la premii-rc des équations cidessus paru', la seconde par «^, la troisième par a, et qu'on ajoute, membre à membte ces ttx>is produits avec la quatrième, on aura

d'où Ton conclut, par une simple transposition, û'* -4- ;? û' + 9 a' + r a + » = o.

Cotte équation ne contient plus que «, mais elle est entièrement semblable à la proposée : la difiicult<j d'obtenir a est donc la même qne celle d'obtenir x.

Ainsi , comme l'a dit Castillon {Mém. de Berlin ^ annexe 1789) : «( On prouve bien dans toutes les Algèbres, qne par le produit de plu- )) sieurs binômes siniples on forme une équation de tel degré qu''on )> \-ent, mais on n'a pas fait voir qu'une équation fonuée par la 5) multiplication de plusieurs binômes simples, peut avoir tels CoefRi) ciens qu'on \'eut. «

Si, au lieu de multiplier les trois premières équations en a, b, c, d, par <2^, a"* etû, respectivement, on les multipliait par ^3^ ^^ f.x.b, ou par c3, c'', c, ou par d^, d'^, d, et qu'on ajoutât encore les produits à la quatrième , on aurait , dans le premier cas ,

— b'^ s=pb^ 4-^^' + r^ + *, dans le second,

dans le troisième ,

^d^=pd^-^çd'' + rd'i-s;

d'où il suit qu'on est conduit h la même équation , soitpour avoir a, soit pour avoir b, etc. En effet, les quantités û, b,c, d, étant toutes disposées de la même manière dans chaque équation , il n'y a pas de raison pour que l'une soit déterminée par aucune opération différente de celles qui déterminent Tautre 5 et en général, si, dans la recherche de plusieurs quantités inconnues , on est obligé d'employer pour chacune les mêmes raisonnemens , les mêmes opérations et les mêmes quantités connues, toutes ces quantités seront nécessairement racines d'une même équation.

premier degré, on prouve (182) qu'elle n'en peut avoir qu'un nombre marqué par l'exposant n de son degré ; mais si l'on combine ces facteurs deux à deux , on formera des quantités du second degré ^ qui seront aussi facteurs de l'équation proposée, et dont le nombre sera exprimé par

Par exemple , le premier membre de l'équation x^ — ax^-\-abx^ — abcx-\-abcdz=:Q , — bx^-\-acx^ — abdx — cx^-\-adx^ — acdx '-^djc^-j-bcx^ — bcdx ^ -^bdx^ -j-cdx" étant le produit de

{x^a) X (oc'-b) X (x—c) X (^— ^, peut se décomposer en facteurs du second degré , des six manières suivantes :

dx—a) {x-^-b) X (^—0 {x—cC) (or— «) (a:— c) X {oc—b) (x— J) (07— a) {x-^d) X {oc—b) (x— c) (x— è) (x— c) X {x—a) {x—d) {pc-^b) (X— cO X (^— «) (^—0 (x— c) (x— cO X (^— a) (^— ^); et il en résulte qu'une équation du quatrième degré peut avoir six diviseurs du second.

En combinant les facteurs simples trois à trois, on formera les diviseurs du troisième degré de la proposée; pour une équation du degré n, le nombre en

sera

et ainsi de suite.

V A L G È ÏJ K E. ^5^

De r élimination entre les équations des déférés suvérieurs au premier.

i85. La règle du n° 78, ou le procédé du n° 84, suiHt toujours pour éliminer entre deux équations , une inconnue qui n'y passe pas le premier degré , quel que soit d'ailleurs celui des autres inconnues ; et lors même que l'inconnue ne serait au premier degré que dans Tune des équations proposées, la règle du n° 78 s'y appliquerait encore.

Si l'on a, par exemple , les équations

X'" -f- oTy = n^ , on prendra dans la seconde la valeur de y , qui sera

Ji^ — a:"

çn substituant cette valeur et son quarré , à la place âey et de^'* dans la première équation , on obtiendra im résultat en x seulement.

186*. Si les équations proposées étaient toutes deux du second degré , par rapport à l'une et à l'autre des inconnues, on ne pourrait appliquer la méthode précédente qu'en résolvant une des équations, soit pcïr rapport à x , soit par rapport ày.

Soient, par exemple , les équations ax"^ -i- bxy -\- cy''=:zm^ ,

la seconde donne

substituant dans la première , cette valeur de y et son quarré , on obtiendra

fix* rh Ixi/n^ — af -f- c (/i=* — x'^) = m^ L'objet proposé semble rempli, puisque ce résultat FJém. d'Algèbre. 14*^ édition. ^-' • '"^'f^' - nr-x.r

268 lÉ L F, M E IN' S

ne contient plus l'inconnue j'; mais on ne peut résoudre l'équation en x, sans la ramener à une forme rationnelle , en faisant disparaître le radical où l'inconnue se trouve engagée.

Il est facile de voir que si le radical était seul dans un membre, on le ferait disparaître en élevant ce membre au quarré; en réunissant donc, par la transposition des termes ±.bx\^n^ — x'^ et m^^ tous les termes rationnels dans un seul membre , on aura

ax"" + c {il" ~ a;^ — m" ~ zp bx ]/ji^^~\ et prenant le quarré de chaque membre , on formera l'équation

-4 2acx\n^—x^) — sam^o;^^— 2cm*(/i»— x^) f ^ ^ >''

qui ne contient plus de radical.

Le procédé qu'on vient d'employer pour faire disparaître le radical, doit être remarqué, parce qu'on a souvent occasion de s'en servir j il consiste à isoler le radical qu'on veut faire disparaître ^ et ensuite à élever ies deux membres de l'équation proposée à la puissance marquée par le de^ré de ce radical.

1 87. La complication de ce procédé , qui devient très grande lorsqu'il y a plusieurs radicaux , jointe à la difficulté de résoudre l'une des équations proposées , par rapport à l'une des inconnues, difficulté qui est souvent insurmontable dans l'état actuel de l'Algèbre, a fait chercher une méthode au moyen de laquelle on pût opérer sans cela l'élimination; en sorte que la résolution des équations fût la dernière des opérations qu'exige la solution des problèmes. ,

Pour rendre les calculs plus faciles , on met les équations à deux inconnues sous la forme d'équations à «ne seule, en ne laissant en évidence que celle qu'on veut éliminer. Si l'on avait, par exemple,

d' A L G E B R E. 2Scj

x^ -^ axy -j- bx=z cj'* + c? j -f- e ,

on transposerait tous les termes dans un seul membre , en les ordonnant par rapport à. x} il viendrait

et faisant pour abréger ,

on aurait x^ -{- P x -j- Q z= o.

L'équatiou générale du degré m à deux inconn,ues. doit contenir toutes les puissances de x et de jy , qui ne passent pas ce degré , ainsi que les produits dans lesquels la somme des exposans de a; et de j ne s'élève .^ pas au-delà de th ; on peut donc représenter ainsi réquation générale du degré m, à deux inconnues:

x'"-j-(^a+by)x'^-'-i-(c-^ây-^ey''^x'^-^-h(J'^^y-jrhy^^ky^^^^

On ne donne point de coefficient à x"^ dans cette équation , parce qu'on peut toujours , par la division , dégager de son multiplicateur tel terme qu'on veut d'une équation ; et si l'on fait "niom ?,tr^

a^by=P, c^dy-\-ey-=Q , f^gy-\-hy^^kyh:=R ,

p+qy +uy— zrrrr, p'-i-qy ^^ym^u,^

réquation ci-dessus prendra la forme f

a;m|p^,m-i ^ Q^m-2 |. /^^m-3 -f T'a: -f Uz= Q.

188. Il est bon de remarquer que l'élimination de x entre deux équations du second degré ,

x'' -\-Px-\-Q=:o .x^-i-P'x-j- Q' = o,

peut s'effectuer immédiatement en retranchant la seconde équation de la première. Cette opération donne

^Go É L é M E N s

<roù ^ = ££^;.

substituant cette valeur dans l'une des [deux équatioTiif proposées , la première , par exemple , on trouvera

JQ-Q'y PCQ-Q') , ^ „

faisant disparaître les dénominateurs , on aura

et mettant P — P' en facteur commun dans les deux derniers termes , il viendra

{Q-Q'y + {P-P'){PQ'-QP')=o.

Il ne restera plus qu'à substituer pour P , Q , P' et Q\ les valeurs particulières au cas qu'on examine.

189. Avant d'aller plus loin, je vais montrer comment on reconnaît que la valeur de l'une quelconque des inconnues satisfait en même temps aux deux équations proposées. Afin de mieux fixer les idées, je prendrai un exemple particulier ; mais le raisonnement n'en sera pas moins général.

Soient les équations

.T^-f-Sx^^-f 3ary — 98=0 (1),

x^'-j-^ocy — 2y^ — 10=0 (2),

f[ue "je supposerai données par une question d'après laquelle on doit avoir ^ = 3.

Pour vérifier cette dernière assertion, il faut d'abord substituer 3 à la place de^ , dans les équations proposées , ce qui donne

équations qui doivent admettre la même valeur de ar, si

Algèbre , page 26 1 .

— x^ — 4 ^y + ^y""^ + 1 o — xy-^-Sy^x-^-io

i^-^ Reste + (g^-f 10

ou bien (9/+io)x^-f36

ou bien (38y+5oy+98)( ■^(38/+5oy-f-98)C

2^ Reste

En égalant ce reste à zéro positif, il vient

D A ti G È B R E. 261

celle cpi'on a assignée poiir^ est vraie. Si Ton dés^ne la valeur de x par a , il faudra , en vertu de ce qui a été prouvé numéro 179, que l'équation (a) et l'équation (b) soient divisibles l'une et l'autre par x — et; elles auront donc un diviseur commun dont x — et doit faire partie ; et en effet , on trouve pour ce commun diviseur X — 2 (48) : on a donc a ^=2. Ainsi, la valeur j/=: 5 convient à la question, et correspond à a: = 52.

S'il restait quelque doute que le commun diviseur des équations (a) et (b) dût donner la valeur de x , on le lèverait en observant que ces équations reviennent à (a;^-f-iix-f-49). (^ — 2) =0, (x-f 14) (x — 2):=o, d'où il est visible qu'elles sont satisfaites lorsque l'on y met 2 pour x.

190. Le moyen que je viens d'indiquer pour trouver la valeur de x, quand celle de y est connue, peut s'appliquer immédiatement à l'élimination de x.

En effet, quand on opère sur les équations (1) et (2) , comme pour chercher si elles ont un commun diviseur en X , au heu d'en trouver un , on arrive à un reste qui ne contient plus que l'inconnue y et des nombres donnés ; et il est évident que si l'on y mettait à la place de y sa valeur 3 , il devrait s'évanouir , puisque , par la même substitution , les équations (1 ) et (2) deviennent les équations (a) et (b) , qui ont un commun diviseur. En égalant donc ce reste à zéro , on exprimera la condition que doivent remplir les valenrs de^, pour que les deux équations données puissent admettre en même temps une même valeur pour x.

Le tableau ci-joint contient les détails de l'opération relative aux équations ,