X- 4. ox-^j -f ^xy' — 98 == o, x'^ 4- 4tj — .^y — ic

qui m'ont occupe dans le ntimcTo précédent : on trouve paur le dernier diviseur ,

(;9y* -f 10) a; — Qy^ — ^^j' — ^ *, et le reste étant égalé à zéro , donne 43/-f345j'4— 1960/4-750/ — 294oy — 4002 = 0 , équation qui admet, outre la valeur y ^=='5 indiquée ci-dessus , toutes les autres valeurs de y dont la question -proposée est susceptible , et qu'on nomme pour cette raison équation finale.

Le reste ci-dessus étant annulé, l'avant-dernier reste devient le diviseur commun des équations proposées , en sorte qu'en l'égalant à zéro , il donne la valeur de X, lorsqu'on y met celle de y. Sachant, par exemple, que ^ =3 , on mettra ce nombre dans la quantité

(gy-f io):c — 2/— loy— -98, quon égalera ensuite à zéro, et il viendra l'équation du premier degré

91 X — 182 = 0 d'où x' = 2.

191. *L*opération que je viens de faire sur des équations particulières, peut s'appliquer également à des équations quelconques

X'" -f Px'"-' -}- Çx"'-" -f- Rx"'-\ . . -^Tx-^ U= o, a" -hP X"- -f Ç'x»-=»-H/iV-^ . . 4-rx-f-Z' = o, où 'la seconde inconnue est enveloppée dans les coefficiens P, Ç, etc., P\Q', etc.; l'élimination de l'inconnue X s'effectuera en cherchant, comme ci-dessus, le plus grand diviseur commun aux premiers membres de ces équations, et en égalant à zéro le reste indépendant de X. <

Le calcul, en général assez compliqué, peut dans les cas particuliers, recevoir plusieurs simplihcations utiles j mais le détail en serait trop long pour m'y arrêter ici ; elles sont d'ailleurs assez faciles à trouver: je supposerai donc que, dans le cours de l'opération , on ne supprime

DALG EBRE. 2i >:>

aucun facteur en y qui serait commun à tous les termes d'un même reste, et je me bornerai à expliquer les résultats qui pourraient embarrasser. Premièrement il peut arriver que la valeur àey rende nul de lui-même l'avantdernier reste ; alors le reste précédent , ou celui dans lequel x entre au second degré, deviendra le diviseur commun des deux équations proposées. En y mettant la valeur dej', et l'égalant ensuite à zéro , on aura une équation du second degré en x seul, dont les deux valeurs correspondront à la valeur connue de j'. Si cette valeur rendait encore nul le reste du second degré , il faudrait recourir au précédent, où x monterait au troisième degré, parce qu'il serait, dans ce cas , le diviseur commun des deux équations proposées ; et la valeur de y correspondrait à trois valeurs de x. En général , il faudra remonter jusqu'à un reste qui ne s'anéantisse point par la substitution de la valeur de y.

Il peut encore arriver qu'on ne trouve pas de reste , ou bien que le reste ne renferme que des quantités connues.

Dans le premier cas , les deux équations ont un diviseur commun sans aucune détermination de y] elles sont donc de la forme

D étant le diviseur commun. Il est visible qu'on satisfait à toutes deux en même temps , en faisant d'abord D=c ; et cette équation déterminera Tune des inconnues par l'autre, quand le facteur Z> les contiendra toutes deux; mais s'il ne renferme que des quantités données et x, cette inconnue sera déterminée , et l'autre restera entièrement indéterminée. Quant aux facteurs qui ne contiendraient pas x, on les obtiendrait d'après la remarque du n° 5o.

Si l'on fait ensuite

conjointement, on se procurera encore deux équations qui pourront fournir des solutions déterminées de la question proposée.

Soit, par exemple ,

{ax-\-hy — c ) ( mx -f- ny — J ) := o ,

(ax-^b'y — c ) (^mx -j-ny — d):=o;

en supposant d'abord nul le second facteur , commun

aux deux équations , on n'aura , entre les inconnues x

et y, que la seule équation

mx -\- ny — dz=z o ;

et sous ce point de vue , la question sera indéterminée : mais en supprimant ce facteur, on tombera sur les équations

ax-j-lry — c = o, af x -\- b^ — c' = o,

<)\i ax-^byr=c, a'x -f- b'y = c ;

et dans ce sens , la question sera déterminée , puisqu'oi? aura autant d'équations que d'inconnues.

Dans le cas où le reste ne contient que des quantités données , les deux équations proposées sont con-» tradictoires ; car le diviseur commun qui établit leur existence simultanée , ne peut avoir lieu que par une condition qu'il est impossible de remplir , puisqu'elle tombe sur des quantités données , et qu'elle présente un résultat absurde. Ce cas se rapporte à ce qu'on a vu n° 68 pour les équations du premier degré.

19a. Il est encore à propos d'être prévenu que les polynômes en 3^, par lesquels on multiplie les dividendes partiels, pour rendre les divisions possibles, introduisent souvent dans le dernier reste des facteurs étrangers à la question, et qui font que ce reste n'en est pas la véritable équation finale. Pour n'être pas induit en erreur sur les valeurs dey qui proviennent de ces facteurs, l'idée qui se présente d'abord est de substituer immédiatement dans les équations proposées chacune des valeurs que donne l'équation en y seul , car toutes les valeurs qui

font aCc^iiérir à ces équations un commun diviseur , appartiennent nécessairement à la question , et les autres doivent être exclues. On sent aussi que l'équation finale pourrait devenir incomplète si l'on supprimait, dans le cours du calcul, quelque facteur en^; mais toutes ces circonstances, qui ont été discutées par M. Bret, dans le i5® cahier du Journal de V Ecole Polytechnique y et par M. Lefébure , dans le n*' 3 du 2® volume de la Correspondance sur la même école , rendent peu commode dans la pratique l'emploi du procédé indiqué cidessus, et doivent lui faire préférer celui que je vais exposer, d'après Euler, dans le numéro suivant C*). 193. Soient les deux équations

en représentant par x — et le facteur qui doit être commun à l'une et à l'autre, lorsque y est déterminé convenablement, on pourra considérer la première comme le produit" de x — at, par le facteur du deuxième degré, x^-\-px-j-q j et la seconde comme le produit de

X — et, par le facteur du troisième degré

x^-\-yx''-{-q'x'\-r j p et q j p', q^ et /, étant des coefïiciens indéterminés : on aura donc

j:^^Pjc''^Qx-\-R=(ix-^cf:)(x^+px+q) , a:44-p V-f- Q'x'-i-R\v-{-S'~(ix-ci){x^-{-p'x^-\-q'x-\-r') .

f*) On peut niscmcnt conclure de ce qniprccède, que la recherche de l"* équation finale lire'c de deux équations h deux inconnues, est, en général, un problème dc'tcrmlnc ; mais la même équation finale peut répondre h une infinité de systèmes d'équations h deux inconnues. En renversant le procédé par lequel on obtient leplusprand commun diviseur de deux quantités, il serait extrêmement facile de former h volonté ces systèmes; mais cette question a trop peu d'usage dans les Mathématiques élémentaires, pour s'y arrêter ici, et pom- s'appesantir sur les remarques minutieuses auxquelles elle pourrait donner lieu. Ce sont de ces objets qu'il faut laisser h la sagacité des lecteurs întclligcns, qui ne manquent jamais de les trouver d'eux-mêmes, si qnclquo circonsiaiicc leur eu fait sentir le besoin.

2Go É L 1£ M E N S

iia climinarit le binôme (.r — a) coiiim';^ une inconnue

au pi-emier degré (84) , on trouvera

( x' -f Px' -f Çx -f- /? ) (a:3 -I- ;.;r^ -|- ,/x' + /■' )r= (x4 4- p:^- 4- (>'a7^^ -f- iî'o: 4- 6^' ) C -^'^ + P^^^ + ^ ) • Ce résultat doit se vérifier sans qu'il soit besoin d'assigner à jc aucune valeur particulière ; c'est ce qui ne peut arriver, à moins que le premier membre ne soit composé des mêmes termes que le second : il faudra dojîc, après avoir effectué les multiplications indiquées^ égaler entre eux les coeiliciens que chaque puissance de X aura dans les deux membres , et on obtiendra ainsi les équations suivantes :

Q-hPp'-i-q~iy-hP'p-H, Rq'-i-Qr'=-S'p-hIi'q>

Comme ces équations sont au nombre de six, et qu'elles ne renferment que cinq quantités indéterminées, savoir, p y q ^ p , q Qt / , on pourra chasser ces quantités qui ne montent qu'au premier degré , et arriver à une équation qui, ne renfermant plus que les quantités F , Q , Ry P' , Q\ R' , et y, exprimera une c<mclition sans îatfuelle on ne pourrait satis£aire à celles de la question, et sera par conséquent l'équation finale

[*) La méthode d'Euler, exposée ici, rcrimit à multiplier chacime Jos <'quations proposées par un Cictcur dont les coefriciens .soient iixlt' termines, h égaler les produits , et à disposer des coefficiens da manière que K-s termes aiFectes de Tinconnuc .r se détruisent entre eux. C'est ainsi qu'il l'a présentée dans son fnfroJuclion a V analyse îles infinis. Là, k désignant l'exposant du degré des produits, eelui «tes facteurs se trouve k — m pour l'équation du degré m , cl l—n. p-)ur celle du d^gré n. Le premier terme de chacun de ces facicurt ayant r««iui pour coeflîcient , l'un contient A; — /n coefficiens ittdi-tcrminfs, et l'autre k—n. La somme des produits renferme \u\ nombre * de Icrmes affecté» de j:^ mais, il n'en faut détruire que k — I , parce que celui qui contient la plus haute puissance de a:, fcVvanouit par hii-in6iwc. 14 suit de là (^ue le nombretutala A— m-«

Si cette équation 6e trouvait identique, il s'ensuivrait que ks équations proposées auraient au moins un facteur de la forme x — a, quel que fût 3'; et si au contraire l'équation finale ne comprenait que des quantités connues, les équationsproposéesseraient contradictoires. Lorsque l'tquation finale peut avoir lieu , on obtient le facteur x — a, ea divisant la première des équations proposées, par le polynôme x^ -^-px -i-<^ ; on trouve pour quotient

et on néglige le reste, parce qu'il doit nécessairement être nul , lorsqu'on y met pour y nne valeur tirée de l'équation finale. En égalant à zéro le quotient ci-dessus, on en tire

x^np-^P,

et cette valent de jcsera connue, ou au moins exprimée

en y , si l'on y remplace p par sa valeur déduite des

équations du premier degré , formées plus haut.

Cette même expression prendra en g-énéral une

pp.. , M

lorme rractionnaire , en sort« qii on aura j: = •— r , ou

Nx — M=zO'j et on voit aloi\3 qiie les valeurs àe y qui feraient évanouir «jimultanément 31 et iV, vérifieraient l'équation précédente, indépendamment d-e a:; cela viendrait de ce que, par ces valeurs, les deux équations proposées acquerraient un facteur commun d'un degré plus élevé que le premier. Il ne serait pas difficile de remonter jusqu'aux conditions immédiates

lies coefficiens indéterminés doit être égal h A — i , et que par conséquent A- = m -f-rt — 1 ; on doit donc multiplier l'équation du degré m par un facteur du degré» ■ — i , celle du degré n par un facteur du degré m — i , et égaler les produits terme à terme, règle semblaMc à celle qu'on donne dans le texte. Il est bon de remarquer que cette première méthode d'F'ulcr contient le germe de celle que Bézout a développée dam «a Théorie des Equations al^briques.

qui indiquent cette circonstance; mais de semblables détails passent les bornes que je me suis prescrites dans ce Traité.