Soient d'abord pour exemple les équations

les facteurs qui multiplient x — -a seront ici du premier degré , ou a: -f-p et x'-f-p' seulement : on aura donc Rr=zo^ R' z=zo j S^z=o y q-=zo f q'=z o , 7 ' = o , et il viendra

. Q-^Pp' = Q',+P'p,\ ou \P'p-Pp'=Q-Q',

Qp'=Q'p, \ iQ'p-Qpf=:o.

On tirera des deux premières équations ,

Substituant dans la troisième, il en résultera

iP-n (yp-( Ç— Ç') Q':=.{P^P')P' Ç-( Q^Q') Q

ou (P - PO {PQ'-— QP') -f iQ—çy^o.

Maintenant si dans l'équation xz=zp — P,

on met pour p sa valeur trouvée ci-dessus , on obtiendra, comme dans le n° 188,

195. Afin de donner au lecteur l'occasioh de s'exercer, j'indiquerai les calculs à faire pour éliminer x entre les deux équations

x^-f- Pjc^^ q^ -f /î — 0 , x^ -f P'x^ -f Q'x -f /î' = o.

d' A L G È B R JT. 269

Dans ce cas , on aura

S' =z o , r' = o ( 1 qS') , et il viendra ces cinq équations :

auxquelles je donnerai la forme suivante :

P'p^Pp^^ g^g' =.Q^Q\ '^H-

Q'P—QP' + P'q -Pq'^ R-^R\ R'p-Rp' J^Q'q^Qcj':=o, R!q^rxq'^o.

On pourrait , par les règles du n° 88 , tirer immédiatement de quatre quelconques de ces équations , les valeurs des inconnues p , p\ q et q' ; maisla simplicité de la première et de la dernière de ces mêmes équations , permet d'arriver plus promptement au résultat. Je fais, pour abréger ,

et je déduis ensuite de la première et de la dernière des équations proposées ,

puis, substituant dans les trois autres et faisant disparaître le dénominateur R , il vient

(iP''-P)Rp-h(iR -/Î')(7 = ;?(e'-Pe)...(a) {Q'-Q)Rp^(RP'^PR^)qr=R (e^'-^Oe). . .(b) (R^^R) Rp 4. iRQ^^QR^) q = --R^e ....... (c)

Si maintenant on tire des équations (a) et (b) les valeurs de p et de g (88) , et qu'on y supprime le fac-.

leur R qui sera commun aux numérateurs et au dénominateur , on aura

^ {P' -- p) (Rp'^PB!) — (il— /r ) {{>'—Q) '

__ (P'^P) (e"--Çe)R—R(/—Pe){ Q'—Q) ^~{P'^P) (Rjy—PH') — {H—R') Cy— y ) '

mettant ces valeurs dans l'équation (c) , on obtiendra une équation finale, divisible par R et se réduisant à

^ où il ne reste plus qu'à remplacer les lettres e, e', e", par les quantités qu'elles désignent.

196. Si l'on avait entre les trois inconnues x yy et z, un pareil nombre d'équations désignéespar (1), (2) et (5), et qu'on voulût déterminer ces inconnues , on pourrait combiner, par exemple, l'équation (1) avec (2) et avec (3) , pour éliminer x , et chasser ensuite^ des deux résultats qu'on aurait obtenus ; mais il faut observer que , par cette élimination successive , les trois équations proposées ne concourent pas delà même manière à former l'équation finale : l'équation (1) est employée deux fois, tandis que (2) et (3) ne le sont qu'une; et il arrive de là que le résultat auquel on parvient , est compliqué d'un facteur étranger à la question (84). Bézout, danssaTTzeorie des Équations , a fait usage d'une méthode qui n'est point sujette à cet inconvénient, et par laquelle il prouve que le degré de r équation Jlnale, résultante de l' élimination entre un nombre quelconque d' équations complètes , renfermant un pareil nombre d'inconnues et de degrés quelconques, est égal au produit des exposans qui marquent le degré de ces équations. On trouvera dans le Complément de ce Traité, la démonstration élé-