D A L G E B R E. 2JI

gante et courte que M. Poisson a donnée de cette proposition, qu'il est d'ailleurs fort aisé de vériiier sur les équations finales rapportées dans les n°*i94 et igB. En supposant complètes les équations proposées dans ces numéros , l'inconnue^ entre au premier degré dans P et P\ au deuxième dans Q et Q\ au troisième dans R et R'; il s'ensuit que e sera du premier degré , e du second, e" da troisième, et que les termes du degré le plus élevé des produits indiqués dans l'équation finale du n° 194, auront pour exposant 4> ou 2.5, et ceux de l'équation finale du n° 1^5 auront 9 , ou 3.3.

De la recherche des racines commensurables , et des racines égales des équations numériques.

197. Après avoir fait connaître les principales propriétés des équations algébriques, et la manière d'en éliminer les inconnues, lorsqu'il y en a plusieurs, je vaism'occuperde la résolution numérique des équations à une seule inconnue , c'est-à-dire , de la recherche de leurs racines, lorsque leurs coefficiens sont exprimés en nombres (*).

Je commencerai par montrer que quand l'équation proposée n'a pour coefficiens que des nombres entiers , et que celui de son premier terme est l'unité , ses racines réelles ne sauraient s'exprimer , par des fractions , et ne peuvent être par conséquent que des nombres entiers y ou des nombres incommensurables.

(*) On n^a point , pour les degrés supérieurs au quatrième , de resolution générale; il n'y a même, à proprement parler, que celle des équations du second degré, que Ton puisse regarder comme com-^ plète. Les expressions des racines des équations du troisième et du quatrième degré sont fort compliquées, sujettes h des exceptions, et beaucoup moins commodes dans la pratique, que les procédés que je vais donner; on les trouvera d'ailleurs dans le Complément,

Pour le prouver, soit l'équation

dans laquelle on substitue une fraction irréductible

V à la place de x", elle deviendra

^ + P^ + QÏZ ^Tl + V=o;

et en réduisant tous ses termes au même dénominateur, on aura - '

ri"4-Pa"-»è-f- Qa^'-^'b^ 4-Ta6"-' -f- f/i"— o,

ce qui revient à

«''-f-è(Pa'^--f-Ça"-^è ^Tab--^-i-Vb^-')=zo.

Le premier membre de cette dernière équation est formé de deux parties entières, dont l'une est divisible par b , et l'autre ne l'est pas (98) , puisqu'on suppose la

fraction ? réduite à sa plus simple expression , ou que a

et b n'ont aucun diviseur commun ; l'une de ces parties ne peut donc détruire l'autre.

198. C'est d'après cette remarque qu'on a reconnu l'utilité de faire disparaître les fractions d'une équation, ou de rendre ses coefficiens entiers , mais de manière néanmoins que le premier terme n'en acquière point d'autre que l'unité \ et l'on y, parvient en faisant V inconnue proposée égale à une nouvelle inconnue dwisée par le produit de tous 'les dénominateurs de l'équation , puis en réduisant tous les termes au même dénominateur , par le procédé du n° 62.

Soit pour exemple l'équation

„ , ax* , bx c

d' A li G È B n E. 2^3

on prendra x = —^ — , et mettant cette expression de x dans l'équation proposée , on obtiendra

le diviseur du premier terme contenant tous les facteurs des autres diviseurs^ on multipliera par ce diviseur, et on réduira chaque terme à sa plus simple expression : on trouvera alors

y^ -f- a7ipy^ -|- b 7n^np^y -f- c/ti'' Ti^p^ = o.

Quand les dénominateurs m, ti, p , ont des diviseurs communs , il ne faut diviser y que par le plus petit nombre qui puisse se diviser en même temps par tous les dénominateurs. Ces simplifications sont trop faciles à apercevoir, pour qu'il soit besoin de s'y arrêter; je me bornerai seulement à faire observer que si tous les dénominateurs étaient égaux à zn , il suffirait de

faire x ■=.^.

L'équation proposée , qui serait alors

deviendrait

„ , ac(f- , bx , c

yl+-j; + hi+±=o.

77r Tir JTT m

et l'on aurait

y"^ -f- ay^ + ^ ^y -\-C7n^=io.

Il est visible que l'opération ci - dessus revient à multiplier toutes les racines de la proposée par le

nombre jti , puisque x = — donne yz=77ix, Elém. d'Algèbre. i4® édition. i8

274 lé L É M E N s

1 39 . Maintenant , puisque a étant la racine de l'équation a:" 4"^^ ^""'-1- Ç^"~' -fT'x'-f-t/^OjOn a

r; = — û" — Pa"-»— Qa"-^ —Ta (179),

il en résulte que a est nécessairement un des diviseurs du nombre entier U , et que par conséquent lorsque ce nombre a peu de diviseurs , il suffira de les substituer successivement à la place de x , dans l'équation proposée, pour reconnaître si elle a une racine en nombres entiers ou non.

Si l'on a, par exemple, l'équation

x3 6^ii^27x — 38 = o,

le nombre 38 n'ayant pour diviseurs que les nombres

on les essaiera , tant positivement que négativement , et l'on trouvera que le seul nombre entier -f- 2 satisfait à l'équation proposée, ou que x = q. On divisera ensuite l'équation proposée , par a: — 2 ; égalant à zéro le quqtient, on formera l'équation

or^— 4a:-f- 19 = 0,

dont les racines sont imaginaires ; et en résolvant celleci on trouvera que la proposée a trois racines ,

200. Le procédé que je viens d'indiquer pour découvrir le nombre entier qui satisfait à une équation , devient impraticable lorsque le dernier terme de cette équation a beaucoup de diviseurs ; mais l'équation

t/ = — a" — P a"-^ — Q a"-" —Ta,

fournit de nouvelles conditions qui abrègent beaucoup le calcul. Afin de rendre la méthode plus claire, je prendrai, comme exemple, l'équation

d'à li G i B R E. 2(75

|ï désignant toujours la racine , on aura

d*où l'on tirera

On voit d'abord par cette dernière équation, que — doit

être un nombre entier. , .. ,'*

Passant ensuite R dans le second membre , il viendra

faisant pour abréger 1- 7?= jR', et divisant les deux

memJjres de l'équation

/l'=— Ça— Pa* — a^::^ v Ah .,

para, on aura « i <; .

/?' d'où Ton conclura que — doit encore être un nombre a

entier.

Passant Q dans le premier membre , faisant. » , . .

h Ç= Ç^ P^is divisant les deux membres par a,

on obtiendra

d*où l'on conclura que -î^^doit être un non^bre entier.

276 lé li é M E N s

Passant enfin P dans le premier membre , faisant ~ -f-P=P', et divisant par a, on aura

Réunissant les conditions que je viens d'énoncer, on verra que le nombre à sera la racine de l'équation proposée , s'il satisfait aux équations

;. :u'i;:i/ ir , ;y'!;iîf';

rr?)b «i^î fHftfi'i

de manière que R', Q' et P' , soient des nombres entiers.

Il suit de là que, pour s'assurer si l'un des diviseurs a du dernier terme S peut être la racine de l'équation proposée , il faut ,

1 °. Diviser le dernier terme par le diviseur a, et ajouter au quotient le coefficient du terme affecté de x;

2°. Diviser cette somme par le diviseur a, et ajouter ^ au quotient le coefficient du terme affecté de x^ ;

3°. Diviser cette somme par le diviseur a , et ajouter au quotient le coefficient du terme affecté de x^j

4°. Diviser cette somme par le diviseur a , et ajouter au quotient l'unité , ou le coefficient du terme affecté de x^ ; le résultat devra être égal à zéro , 'si a est en effet la racine.

Les règles ci-dessus conviennent à un degré queleonque, en observant que l'on ne doit trouver zéro pour

résultat que lorsqu'on sera parvenu au premier terme de l'équation proposée (*).

201. Lorsqu'on applique ces règles à un exemple numérique, on peut disposer le calcul de manière à faire subir chaque épreuve à tous les diviseurs du dernier terme en même temps.

Voici, pour l'équation

X^ — 9x^ + 23 X* — QOX-\- l5 := O, le tableau du calcul :

— 3, + 9, -^Gj,

Tous les diviseurs du dernier terme i5 sont rangés par ordre de grandeur, tant avec le signe + qu'avec le signe — , sur une même ligne ( c'est la ligne des diviseurs a. )

La seconde ligne contient les quotiens du nombre i5, divisé successivement par tous ses diviseurs

f c'est la ligne des quantités — ).

(*-) II ne serait pas difficile de s'assurer par la formule des quotiens

S R^ Ci'

donnée dans le numéro 180, que les quantités -, — , —, prises

avec, le signe—, sont, en commençant par le dernier terme, les

coefficiens du quotient du polynôme

ilivisé par X — o, et qui est par conséquent x^ — -- x» — -

2j8 é li ^ M E N s

La troisième ligne a été formée en ajoutant à la précédente le coefficient — 20 qui multiplie or (c'est la

ligne des quantités R^ = 1- ^)»

La quatrième ligne contient les quotiens de chaque nombre de la précédente par le diviseur qui lui cor-

respond ( c'est la ligne des quantités- — j. On a négligé

dans cette ligne tous les nombres qui n'étaient pas entiers,

La cinquième ligne résulte des nombres écrits dans la précédente , ajoutés avec le nombre 23 qui multiplie a;* (cette ligne comprend les quantités Q').

La sixième ligne contient les quotiens des nombres de la précédente par le diviseur qui leur correspond ,

f elle renferme les quantités — )•

La septième comprend les sommes des nombres de la précédente et du coefficient — 9 qui multiplie o:^ ( on y

trouve les quantités-^ + ^ )•

La huitième enfin s'obtient en divisant chacun des nombres de la précédente par le diviseur correspondant

(c'est la ligne de — j ; et comme on ne trouve — 1 que

dans la colonne marquée -f- 3, on en conclut que F équation proposée n'a qu'une racine comraensurable , savoir -)- 3 ; en sorte qu'elle est divisible par a: — 3 (*).

On peut omettre dans le tableau les diviseurs -f- i et — 1 , que l'on éprouve plus facilement par leur 8|ib^ stitution immédiate dans l'équation proposée.

(*) Eu formant le quotient d'après la noie précédente, on trour«

d' A li G E B n E. s^g

203. Soit encore , pour exemple , l'équation x^ — 'jx^ + 36 t= o.

Après s'être assuré que les nombres -j- i et — i ne satisfont point à cette équation, on formera , d'aprùs le» règles précédentes , le tableau ci-dessous, en observant que le terme multiplié par a?, manquant à cette équation, il doit être censé avoir o pour coefficient', il faut donc supprimer la troisième ligne, et déduire immédiatement la quatrième de la seconde.

^36,+i8,-f i2,+9,+6,+4,+ 3,4- a,- a,-^ 3,4,-6,— 9,--i3,-i8,-36, -+- 1,4- a,-h 3,-f4,4-6,H-9,+ia,H-i8,— 18,— ia,~9,-6,— 4,— 3,- a,- i,

On trouve dans cet exemple trois nombres qui satisfont à toutes les conditions , savoir : -f- 6 , + 3 et — 2 ; on obtient par conséquent , en même temps , les trois racines dont l'équation proposée est susceptible, et l'on reconnaît qu'elle est le produit des trois facteurs simples x — 6,x — 3etjr-f-2.

2o3. Il est bon d'observer qu'il y a des équations littérales qui se transforment sur-le-champ en équations numériques.

Si l'on avait , par exemple ,

f ^2py^^35p^y + l4p^= O,

en faisan tj r= p X , il viendrait

p^x^ ^2p^af^55p^x-i-i4p^=o, résultat divisible par p^ , et qui se réduit à

X^-i-QX^--53x + l4::=zo.

Le diviseiir coramensurable de cette dernière équation

étant 07-1-7, et donnant X = — 7, on aura

L'équation en j est de celles que l'on appelle èquar lions homogènes , parce qu'en faisant abstraction des coefiiciens numériques , chacun de ses termes renferme le même nombre de facteurs (*).

2o4- Lorsqu'on connaît une des racines d'une équation , on peut prendre pour inconnue la différence entre cette racine et l'une quelconque des autres- on parvient par ce moyen à une équation d'un degré moindre que la proposée , et qui jouit de plusieurs propriétés remarquables.

Soit l'équation générale

x^+Po:'"-» + Çx'"-=^-f-/?x'"-3 ." -|- Tx-{- U=zo,

et soient a, 3 , c, d, etc., ses racines', en y substituant , a-}-y eLU lieu de x, et développant les puissances , en a