V-=.o et A=zo

Quand laproposée aura trois racines égales à a, savoir , az=.bz=Cj deux des racines de l'équation {d) deviendront nulles en même temps, savoir, b — a et c — a\ dans ce cas , l'équation {cC) sera divisible deux fois de suite par y — o (179) oujr; or c'est ce qui ne peut arriver que quand les coefïiciens A et B sont nuls : il faut donc que la valeur de a satisfasse en même temps aux trois équations

En poursuivant ces raisonnemens , enverra que lorsque la proposée aura quatre racines égales, l'équation (d) aura trois racines égales à zéro, ou sera divisible trois fois de suite par j' ^ ce qui exige que les coefiiciens A y Bet Cj soient nuls en même temps, et que la valeur de a satisfasse par conséquent à la fois aux quatre équations

P^^O, A=Q, B=zO, C=:0,

Non-seulement on peut, par ce moyen, reconnaître si une racine donnée a se trouve plusieurs fois parmi celles de l'équation proposée *, mais on en déduit encore un pro-» cédé pour s'assurer si cette équation a des racines ré-^ pétées dont on ignore la valeur.

Pour cela , il faut observer que dans le cas où l'on a A=: o y ou

m oT-^ -f- (m— 1 ) P a'"-^ -f- (771—2) Q a'"-^ . . . -\-T=zo, ©n peut regarder a comme la racine d,e l'équation nix""-' 4. (771— OPx'"-*-!- (771— .2) Qx^-^. . .+7^=0^ X désignant alors une inconnue quelconque; et puisque m se trouve aussi la racine de l'équation V=:o , ou

x'" 4- P x""-' 4- etc. = Q,

d' A L G i B R E. ife83

î! suit du n° 189, que x^a est un facteur commun des deux équations ci-dessus.

Changeant de même a en :r dans les quantités B , Cy etc., le binôme x — a deviendra pareillement facteur des nouvelles équations -5 = o , C= o , etc., si la racine a annulle les quantités primitives B , C, etc.

Ce que l'on vient de dire pour la racine a conviendrait également à toute autre racine qui serait répétée plusieurs fois; ainsi, en cherchant, par la méthode du plus grand commun diviseur , les facteurs communs aux équations

;^=o, J = o^ Bz=:o. C=o, etc., ces facteurs donneront les racines égales de la proposée, dans l'ordre suivant.

Les facteurs communs aux deux premières équations seulement , sont des facteurs doubles de la proposée , c'est-à-dire que si l'on trouve pour commun diviseur entre Vz=.q et A^=:.Qy une expression de la forme (x — 2t)(a7 — €), par exemple, l'inconnue a; aura deux valeurs égales à et , et deux autres égales à € , ou la proposée aura ces quatre facteurs :

(or — fit), (x — cô), (x— €), (a: — C).

Les facteurs communs à la fois aux trois premières des équations ci-dessus , indiquent des facteurs triples dans la proposée ; c'est-à-dire que si les premiers sont delà forme (x — «4)(^ — ê), par exemple, les seconds seront de celle-ci : (x — (tfÇ^x — C)^. H est facile de pousser ces considérations aussi loin qu'on voudra.

206. Il est à propos de remarquer que l'équation At=.o y qui, par le changement de a en a: , devient

se déduit immédiatement de l'équation V^= o , ou de la proposée . ^

x^-\-Px^-' -f (^x^-^ . . . -i- r:c 4. l/ = o,

en multipliant chacun des termes de cette dernière par l'exposant de la puissance de x qu'il renferme , et diminuant ensuite cet exposant d'une unité ; sur quoi il faut obsei*ver que le terme t/, étant équivalents U'X,x°, doit s'anéantir dans cette opération, où il se trouve multiplié par o. L'équation^ = o se tire de A^=^o , comme ^ = o se tire de l^=:o; C=o se tire de ^ = o, comme celle-ci se tire de ^ = o, et ainsi de suite (■^). 207. Pour éclaircir ceci par un exemple, je prendrai l'équation

x^ — l'dx^-^-Gyx^ — l'jix^'^îiiGx — 108 = 0;

l'équation A=.o devient dans ce cas

5ar^ — 52x^-1-20107* — 342x-}- 216 = 0; son diviseur commun avec la proposée est

Ce diviseur étant du troisième degré , doit renfermer lui-même plusieurs facteurs ; il faut donc chercher s'il n'en aurait pas de communs avec l'équation Dr=zo ^ qui est ici

2ox^ — 1 56x* -|- 4o2x — 349 = o ;

et on trouve en effet pour résultat x — 3 : donc la proposée a trois racines égales à 3, ou admet (o: — 3)^ au nombre de ses facteurs. Divisant alors le premier diviseur commun par x — 3 autant de fois de suite qu'il est possible, c'est-à-dire deux fois, ontrouve x — 2. Ce diviseur n'étant commun qu'à l'équation proposée et à l'équation y^ = o, n'entre que deux fois dans la pro-

(*) On conclurait facilement de ce qui précède,' que le diviseur commun entre les cqnations^=o et A=^o, contient les facteurs égaux, élevés à une puissance moindre d'une unité que dans la proposée j mais la connaissance de cette proposition n'étant pas nécessaire pour ce qui suit, je Fai renvoyée au Complément , où elle C3i prouvée d'une manière qui me paraît assez simple. >'q til

posée. On voit enfin que cette équation est équiva-^ lente à

ûo8. L'équation (c?), qui donne les différences entre la racine b et chacune des autres , lorsqu'on y met b pour a , les différences entre la racine c et chacune des autres, lorsqu'on y met c pour a, etc., ne changeant point de forme par ces diverses substitutions , et conservant les mêmes coefficiens ainsi que la proposée , peut être généralisée de manière à renfermer toutes les différences des racines combinées deux à deux. Pour cela il suffit d'en éliminer a au moyen de l'équation am|p„m-i j^ Qa^-^ -f Ta-i-U=o;

car le résultat ne dépendant que des coefficiens , et ne conservant aucune trace de la racine qu'on a considérée en particulier, conviendra également à toutes.

Il est visible que l'équation finale doit s'élever an degré m (/ti — i ) ; car ses racines

a — bj a — c, a — d, etc., b — a, b — c, b — dj etc., c — a , c — b , c — d, etc. , etc. , sont en même nombre que les permutations qu'on peut former en arrangeant , deux à deux , les m lettres a, b , c, etc. Déplus, puisque les quantités a — b et b — a^ a — cetc — •«, b — cetc — b , etc , ne diffèrent que par le signe, les racines de l'équation seront égales deux à deux , abstraction faite du signe , en sorte que quand on aura y = et , on aura en même temps ^r=: — fit. Il résulte de là que cette équation ne doit renfermer que des termes où l'inconnue monte à un degré pair ; car son premier membre doit être le produit d'un certain nombre de facteurs du second \

&Wrri..-rf^,'1

286 1^ li ^ M E N s

degré de la forme

y-«-=(j,«) iy + u) (i84); elle sera donc elle-même de la forme

y«-|-py«-a|^yn-4 -f- ty-f u = o.

En faisant y^ = z, on la changera en

z«-f pz,"-*-f-^2i""-^ -f-^2 + M = o;

et l'inconnue z étant le quarré de y , aura pour valeurs les quarrés des différences des racines de la proposée. Il est à propos de remarquer que les différences entre les racines réelles de la proposée , étant nécessairement réelles, leurs quarrés seront positifs, et que par conséquent l'équation en z n'aura que des racines positives , si la proposée n'en a que de réelles. Soit pour exemple l'équation

en y faisant a:=a-)-^, on aura

— ya — iy > = o-

En supprimant les termes a^ — 7 « -f- 7 > dont l'ensemble est nul , d'après l'équation proposée , et divisant le reste par j, il viendra

Sû'^ — 7 -f3cy-|-y r=o-, éliminant a entre cette équation et l'équation

a^ — ya-f 7 = 0, on aura

/ - 42/-f44iy-49=o;

faisant z=y , il viendra