La substitution de a+y au lieu de oî, dani
Véquation ■ . ^
x^ -f- Px"»-» -I- Qx^-^ -f t/= o (204) ,
s'emploie aussi quelquefois pour faire disparaître un des termes de cette équation. On ordonne alors le résultat par rapport aux puissances de y qui remplace l'inconnue X y et on regarde la quantité a comme une seconde inconnue , qu'on détermine en égalant à zéro le coefiicient du terme qu'on veut faire disparaître j on a de cette manière
y^-fmgy"-' -f- ^^^7" ^ ^ a^y^^-^ -j-a'"
-f. Py'n-, ^ (m— 1) Pay"^-^ -f Pa»"-'
+ Q J^'""'' +Ça'"-^ ^ — °'
Si le terme qu'on veut ôter est le second , ou celui qui est affecté de j/'"-»,onfait7nû-f-P=o, d'où Ton tire
P a = — — . Substituant cette valeur dans le ré-
TTl
sultat , il ne reste que les termes affectés de
ym ^ ym-<^^ ym-5^ ^^^
Il suit de là , qu'on fait évanouir le second terme d'une équation, en substituant à V inconnue de cetta équation une nouvelle inconnue, à laquelle on joint le coefficient du second terme pris avec un signe contraire d celui dont il est affecté, et divisé par l'exposant du 'premier terme.
Soit, pour exemple, l'équation
la règle donne
et substituant, il viendra
ce qui se réduit à
où le terme affecté de y"^ n'entre plus. On ferait disparaître le troisième terme ( affecté de j/"'~^ ) , en égalant à zéro l'assemblage des quantités qui le muW tiplient, c'est-à-dire en posant l'équation
En suivant cette marche , on reconnaîtra sans peine que l'évanouissement du quatrième terme dépend d'une équation du troisième degré, et ainsi de suite jusqu'au dernier, qu'on ne peut faire évanouir qu'en posant l'équation
a"» -f-Pa'"-^ -I- Ça'"-^ + f/=o , >
absolument semblable à la proposée.
La raison de cette ressemblance est aisée à découvrir. Égaler à zéro le déirnier terme de l'équation en y, c'est supposer que l'une des valeurs de cette inconnue est zéro ; et si l'on fait cette hypothèse dans l'équation 07 =r:^-f- a, il en résulte x:=^a\ c'est-à-dire que dans ce cas la quantité a est nécessairement une des valeurs de x.
210. On a quelquefois besoin de décomposer une équation en facteurs d'un degré supérieur au premier; je ne saurais exposer ici en détail les divers procédés que l'on peut employer à cet effet ; je donnerai seulement un exemple de cette recherche.
Soit l'équation
d' A li O è B R E. 289
dont il faut déterminer les facteurs du troisième degré ; je représente l'un de ces facteurs par ^
or' -f-p^^ + 7^ -f- '' > les coefïiciensp, q et r étant indéterminés. Ils doivent être tels , que le premier membre de l'équation proposée soit exactement divisible par le facteur
x^ -\- px^ -^ qx -i- r,
indépendamment d'aucune valeur de x ; mais en faisant actuellement la division , on trouve pour reste ,
— ( p^ — Qpq — q4p "h ^ — 12)0:'*
— (.P^r^qr-^Q4r--'/),
expression qui s'annullerait d'elle-même , et indépendamment de a: , si l'on y mettait pour les lettres p , q , et r, les valeurs qui conviennent à l'état de la question : on aurait donc alors
p3 — Qpq — Q.4p-]-T — 12 = 0,
p^q^ pr — ^^— 24(74- ii:=o,
pV — qr — 24r — j^=o.
Ces trois équations renferment les conditions nécessaires pour déterminer les inconnues p, ^, et r; et c'est à leur résolution que se réduit la question proposée.
De la résolution par approximation des équations numériques.
211. Après avoir épuisé la recherche des diviseurs commensurables , il faut recourir aux méthodes d'approximation , qui reposent sur le principe suivant :
Lorsqu'on a trouvé deux quantités qui , substituées dans une équation à la place de l* inconnue , donnent deux résultats de signes contraires, on doit en conclure Élém, d'Algèbre, i^ édition. 19
290 ^ L Jé M E N s
qu'une des racines de l'équation proposée est comprise entre ces deux quantités, et est par conséquent réelle. Soit, pour exemple, l'équation
x^ — iSx^-^-jx — 1=0;
si l'on substitue successivement 2 et 20 à la place de x, le premier membre, au lieu de se réduire à zéro , devient égala — 3i dans le premier cas, à -h 2939 dans le second ^ et il suit de là que cette équation a une racine réelle comprise entre 2 et 20 , c'est-à-dire , plus grande que 2 et moindre que 20.
Comme j'aurai souvent besoin d'exprimer cette relation, j'emploierai les signes ]> et •< dont se servent les algébristes poiu* marquer l'inégalité de deux grandeurs, en plaçant la plus grande des deux quantités devant l'ouverture du signe, et l'autre à la pointe. J'écrirai, en conséquence,
.t;> 2 , pour .r plus grand que 2 , x<^2û, pourx plus petit que 20.
Cela posé , pour prouver l'assertion précédente, on peut raisonner comme il suit. En réunissant d'un côté les termes positifs de l'équation proposée, et de l'autre les termes négatifs, on a
x3-f 7a;— ( 13x^4-0 , quantité qui s'est trouvée négative lorsqu'on a fait x=2, parce que, dans cette hypothèse,
o(P-\^yx<i'5x^'^i, et qui est devenue positive lorsqu'on a fait x=: 20, parce qu'alors
x3-f-7x>i3x'^4-i ; de plus il est visible que les quantités
x^+'jx et i3a:*-fi,
d'algèbre. 2gi
augmentent toutes deux, lorsqu'on donne à x des valeurs de plus en plus grandes , et qu'en prenant ces valeurs aussi proches les unes des autres qu'on voudra, on pourra faire croître les quantités proposées par des degrés de telle petitesse qu'on le jugera à propos. Mais puisque la première des quantités cidessus , d'abord plus petite que la seconde, est devenue ensuite plus grande , il est évident qu'elle a un accroissement plus rapide que l'autre, au moyen duquel elle compense l'excès que cette dernière avait sur elle , et la dépasse ensuite : il y â donc un moment où ces deux quantités sont égales.
La valeur de 37, quelle qu'elle soit (mais dontFexistence vient d'être prouvée) , qui rend
donnant
x^-j-jx — ( i5a:^-J- i)c=: o,
ou x^ — i5x'^-}-'/x — i=:o,
est nécessairement la racine de l'équation proposée.
Ce qu'on vient de voir sur l'équation particulière
peut s'appliquer à une équation quelconque , dont J g désignerai la somme des termes positifs par P, et celle dea termes négatifs par A^. Soit a la valeur de a: qui a donné un résultat négatif , et b celle qui en adonné un positif; ces deux circonstances n'ont pu avoir lieu que parce que , par la' première substitution , on avait P<Cj^, et par la seconde P >► A^ : P ayant donc dépassé A^, on en conclura, comme ci-dessus, qu'il existe une valeur de x comprise entre a et 6 , qui donne P =z N, (^)
(*) Les raisonnemcns ci-dessns , regardes en général comme assez «•videns, rtnt reçu de M Encontre des dt^vdoppemens utifr*, cpio
2g2 à Ij à M B VI s
Le raisonnement ci - dessus exige que les valeurs qu'on donne à x soient toutes deux positives ou toutes deux négatives -, car lorsqu'elles ont des signes difFérens, celle qui est négative fmt changer de signe leà termes de l'équation proposée , qui contiennent des puissances impaires de a: , et par conséquent les expressions P et A^ne sont pas composées de la même manière dans une substitution et dans l'autre. Cette difficulté disparaît en faisant xz=:o] par là l'équation proposée se réduit à son dernier terme , qui se trouve nécessairement de signe contraire à celui du résultat de la première ou de la seconde substitution. Soit, par exemple, l'équation
oc^ — Qx^ — 3x* — i5x — 3=:o, dont le premier membre , lorsqu'on y fait
je crois devoir rapporter ici ponr les lecteurs qui désireraient des preuves plus détaillées.
i". Voici comment on peut s'assurer de la possibilité' de faire prendre des accroisseraens aussi petits qu'on le voudra, aux polynômes P et JV. Soit P =3 Ax'* -f- Cx". . . . -4- /J^', rn e'tant le plus haut exposant de a* ; si l'on y met a -¥-jr an lieu de or, c« polynôme prendra la forme
A-h Bf-^ cr -f-Ty-,
les cocfficiens^, J5, C,...T, étant en nombre fini et de valeur finie ; le premier terme A sera la valeur que prend le polynôme jP, lorsque x = a; le reste
sera la quantité' dont ce même polynôme s'accroît quand on augmente de j*, la valeur ar= a. Cela pose, sî tJde'signe le pins grand des coefficiens Jî, C,... T, on aura
or
donc
D* A li G ic B R E. 293
x-==. — 1 et a; = 2,
devient -f- la et — 4^- En supposant a:= o , il se réduit à — 3 ; les deux substitutions ^
a;=o et x= — 1,
donnent donc deux résultats de signes contraires ; mais en mettant — y au lieu de x ^ l'équation proposée se change en
y -f.2y — 3y+ i5j^ — 3 = 0, et Ton a
P=y-f-2y+i5y, A'z=3y-|-3, d'où
et par conséquent raccroissemet du pol y no me P sera plus petit
Sy{. I ~~~ y""* ) qu'une quantité' donne'e quelconque c, si l'on rend -^
moindre qu ; celte quantité : or c'est à quoi l'on parviendra en faisant
— — — = c, parce qu'alors, yz=. ■ — , e'tant<^ i, la quantité
Sriy—r'^) . y ^ Sr *$■/ '""'■' , . . ,
-^— ^^ — ■■^—^t égale a — '- '-^ , «ra nécessairement moindre
que la quantité' c, dont rien ne limite la petitesse.
2*. Si l'on désigne par h l'accroissement du polynôme P , par k celui du polynôme N-, le changement qui en résultera dans la valeur de leur différence sera h — h , et pourra être rendu plus petit qu'une quantité donnée, en rendant plus petit que cette même quantité, l'accroissement qui est le plus grand des deux : on pourra donc , dans l'intervalle dea:=rthj:=rè, faire changer par des quantités aussi petites qu'on voudra, la différence des polynômes P et iV; et puisqu'elle passe du négatif au positif dans cet intervalle, elle s'approchera nécessairement de zéro d'aussi près qu'on voudra. ( Voyez les Annales de Mathématiques pures et appliquées, publiées par M. Gergonne , T. IV , pag. aïo. )
^94 lé L É M K N s
P<^iV, lorsquey = o, P"^ N , lorsque j^= i.
On peut donc raisonner dans le cas actuel comme dans le précédent , et en conclure que l'équation en^ a une racine réelle comprise entre o et+ 1 5 d'où il suit que celle de l'équation en x se trouve entre o et — i , et par conséquent entre -(- 2 et — 1.
La proposition que j'ai énoncée ne pouvant présenter que des cas qui rentrent dans l'un ou l'autre de ceux que je viens d'examiner , est suffisamment prouvée.
212. Avant d'aller plus loin , je ferai remarquer que , quels que soient le degré d'une équation et ses coefficiens, on peut toujours assigner un nombre qui, substitué à l'inconnue y rende le premier terme supérieur à la somme de tous les autres. On sent d'abord la vérité de cette assertion j pour peu qu'on ait observé la marche que suivent les accroissemens des diverses puissances d'un nombre plus grand que l'unité (126), puisque parmi ces puissances , la plus élevée surpasse d'autant plus celles qui lui sont inférieures, que le nombre dont il s'agit est plus considérable , en sorte que rien ne limite l'excès de la première sur chacune des autres • de plus j, voici comment on peut trouver un nombre qui remplisse la condition énoncée. '*'
Il est visible que le cas le plus défavorable serait celui où l'on rendrait tous les coefficiens de l'équation
égaux au plus grand, c'est-à-dire, si au lieu de a:"»4. Px""-' -f- Ç x"^-^ ^Tx'\'U = o,
on prenait
x'^+Sx"'-' + Sx"'-'' -f-5a: 4-^ = 0,
S désignant le pi us fort des coefficiens P , Ç, T,U,
La différence entre le premier terme et la somme de
d'à Ij G è B K E. 2g5
tous les autres étant alors
on remarquera que
^m-xt^m-^ a.l î-I— .(l58),
et par cette expression, on changera la précédente en. "'" ^ -, ou en Jc"* (- -y
vT — 1 X — 1 a- — i
Si l'on met ensuite M au lieu de x, il viendra
quantité qu'on rendra positive , si Ton fait
car si Ton divise chaque membre de cette équation par M"*, on aura
d'où M=5-f-i
En substituant donc aulieudeo: le plusgrand des coefïiciens de l'équation, augmenté de l'unité, on rendra le premier terme plus fort que la somme de tous les autres; et par conséquent son signe déterminera celui du résultat de la substitut-ion.
Le nombre M pourrait être plus petit, si l'on ne voulait que rendre la partie positive de l'équation proposée plus grande que la partie négative ; car îl suffirait , pour cela, de rendre le premier ternie supérieur à la somme que donneraient tous les autres , quand même leurs coefficiens seraient égaux , non pas au plus j^rand de tous , mais seulement au plus grand des
29^ lé L lé M E N s
coeiTiciens négatifs : on n'aurait donc qu'à prendre pour M CQ coefficient augmenté de l'unité (*).
Il suit de là que les racines positives de l'équation proposée sont nécessairement comprises entre o et
On peut aussi découvrir par le même moyen une limite des racines négatives; il faut pour cela substituer —y au lieu de x, dans l'équation proposée , et faire ensorte de rendre le premier terme positif, s'il devient négatif (178). Il est évident , par cette transformation, que les valeurs positives de j répondent aux valeurs négatives de 07, et réciproquement. Si/? est le plus grand coefficient négatif après ce changement, R-\- 1 sera une limite des valeurs positives dej; par conséquent — iî — 1 sera celle des valeurs négatives de x.
Enfin si l'on voulait obtenir pour la plus petite des racines une limite plus approchante que zéro , on y parviendrait en substituant - à la place de x dans l'équation proposée , et en préparant la transformée ^n y , comme on l'a prescrit dans le n° 178. Les valeurs àe y étant inverses de celles de a: , la plus grande des premières correspondrait à la plus petite des secondes , et réciproquement. Si donc S'-\-i désignait la limite supérieure des valeurs de y , ou qu'on eût
ce qui donnerait
(*) On trouve dans la Résolution des équations numériques par Lagrangc, des formules qui donnent des limites plus resserrées ; mais ce que j'ai dit ci-dessns suffit pour rendre indépendantes de la considération de l'infini, les propositions fondamentales de la résolution dc3 équations.
il en résulterait successivement
En effet , il est facile de voir qu'on peut, sans troubler l'ordre de grandeur de deux quantités séparées par des signes << et >, les multiplier ou les diviser par une même quantité, et qu'on peut aussi ajouter ou soustraire la même quantité de chaque côté de ces signes, qui jouissent à cet égai'd des mêmes propriétés que le signe d'égalité.
21 3. Il suit de ce qui précède, que toute équation de degré impair a nécessairement une racine réelle d'un signe contraire à celui de son dernier terme / car si l'on prend le nombre M tel , que le signe de la quantité
ilf™-f-P 1^"-» + CM*"-* •^TM±. U
ne dépende que de celui de son premier terme iJ/'" , l'exposant m étant impair, le terme M"^ sera de même signe que le nombre M (128). Cela posé , si le dernier terme U a \e signe -{- , et qu'on fasse x=: — M , on aura un résultat de signe contraire à celui que donne la supposition de a; = o ; d'où l'on voit que la proposée a une racine entre o et — M, c'est-à-dire négative. Si le dernier terme U aie signe — , on fait alors x = -\- M) il vient un résultat de signe contraire à celui qui correspond à Ja supposition de 37= o; et dans ce cas, la racine se trouve entre o et -|- M, c'est-à-dire positive,
21 4- Lorsque l'équation proposée est d'un degré pair, le premier terme iW" restant positif, quelque signe qu'on donne à il/, on ne peut s'assurer , par ce qui précède, de l'existence d'une racine réelle, si le dernier
298 É L li m E N s
terme a le signe -\-, puisque, soit qu'on fasse a" =3 o, oua:=:±:M, on a toujours un résultat positif; maw quand ce terme est négatif, on trouve , en faisant
trois résultats affectés respectivement des signes + , — et -f-, et par conséquent l'équation proposée a au moins deux racines réelles dans ce cas, l'une positive, comprise entre 7^f et o , l'autre négative , comprise entre o et — ^M : donc toute équation de degré pair, dont le demie r teimeest négatif, a au moins deux racines réelles, Tune positive et l'autre négative.
21 5. Je viens maintenant à la résolution des équations par approximation , et afin de rendre plus clair ce que j'ai à dire sur ce s^ujet, je prends d'abord un exemple. Soit l'équation
son plus grand coefficient négatif étant — 4 j ^^ ^^^^ ^" no 2 1 2 que sa plus grande racine positive sera moindre que 5. En y substituant — y ^^ ^i^u de x , elle devient
et ce résultat ayant tous ses termes positifs , montre que y doit être négatif, d'où il suit que x est nécessairement positif, et que l'équation proposée ne saurait avoir de racines négatives : les racines réelles sont donc . comprises entre o et -j-^-
La première méthode qui se présente pour parvenir à des limites plus approchées , consiste à supposer successivement
et si deux de ces nombres , substitués dans l'équation
proposée , donnent des résultats de signes contraires , ils seront de nouvelles limites des racines. Or , en faisant
X = 1 , son premier membre devient -f- ai ,
on voit donc que cette équation a deux racines réelles , l'une comprise entre 2 et 3 , et l'autre entre 3 et 4- Pour approcher encore plus de la première, on prendra le milieu entre les deux nombres qui la renferment , ce qui donnera 2,5 (^ri7/îm,i29);onsupposeraensuitea:=2,5: le résultat de cette substitution , qui est
fait voir, puisqu'il est négatif, que la racine cherchée est entre 2 et 2, 5. Prenant le miheu de ces deux nombres, il viendra 2,26; en se bornant à 07= 2,3, on aura la racine cherchée , à moins d'un dixième près de sa valeur, et on en approchera très rapidement par le procédé suivant, dû à Newton.
On fera a7=:2,3-f-jy ; il est évident que l'inconnue jr ne sera qu'une petite fraction dont on pourra négliger le quarré et les puissances supérieures : on aura de cette manière
parées substitutions, l'équation proposée deviendra
— c,5839 — 17,81 2yr=o, et donnera
3oo à j^ û M n If s
Dans C€tte première opération , on n'ira pas au-delà des centièmes ; et il en résultera
y =^ — o,o3 et a: = 2,3 — o,o3 = 2,27.
Pour obtenir une nouvelle valeur de x plus exacte que la précédente , on supposera 07 = 2,27 -j-J'' ', et en substituant dans l'équation proposée, on ne tiendra compte que des premières puissances dey\ On trouvera
— 0,04595359 — i8,o46468y = o, d'où
et par conséquent a: = 2,2675. On peut, en continuant ce procédé, approcher aussi près qu'on voudra de la vraie valeur de x.
La seconde racine réelle, comprise entre 3 et 4 > calculée de cette manière , sera
en s'arrêtant à la quatrième décimale.
216. On appréciera l'exactitude de la méthode que je viens d'exposer, en cherchant la limite des valeurs des termes qu'on néglige.
Si l'équation proposée était a:"»-f.Pa7'"-»-{-Ça7"^-* + TTr -f f/ = o ,
la substitution de a -{-y y au lieu de 07, donnerait pour résultat le premier de ceux que j'ai trouvés dans le n° 204, parce que a n'étant pas la racine de Téquation, mais seulement une valeur approchée de x, ne rend pas nulle la quantité
^m ^ p^m-i ^ Qa'^-* ^Ta-{- U,
d'à L G è B R s. 3oi
En représentant cette dernière par V ^ on aura , au lieu de l'équation {d) du n° cité , la suivante ,
de laquelle on tirera
y — '^'Z'^ i . <2,A, ïTzT^l ""■ 3"*
En négligeant les puissances de ^, supérieures à la première , on s'arrête à
et l'erreur est
^r cf ^tL
Si a ne diffère de la vraie valeur de x que d'une quantité moindre que —a, l'erreur ci-dessus deviendra moindre que le nombre qu'on obtiendrait en y mettant - a au lieu à.%y ^ ce qui donnerait
i .Q.A \pj 1.2. 5A \p/ -^ \pi
En calculant cette quantité , on s'assurera si elle peut
y être négligée vis-à-vis de -j ; et si on la trouvait trop
considérable pour cela , il faudrait chercher pour a un nombre plus près de la vraie valeur de x.
Au reste, lorsqu'on a calculé plusieurs des nombres^', y ,y, etc.; et que les résultats obtenus forment une suite décroissante , l'approximation ne saurait être douteuse.
217. La méthode dont je viens défaire usage, est connue sous le nom de Méthode des Substitutions successives. Lagrange l'a considérablement perfectionnée. ( Yoyez la Résolution des Equations numériques. ) Il a d'abord remarqué qu'en ne substituant que des nombres entiers , on pouvait passer au-delà de plusieurs racines sans les apercevoir. En effet, si l'on avait, par exemple, ^ l'équation
et qu'on substituât au lieu de x , les nombres o , i , 2 , 3, etc. , on passerait au-delà des racines -j et î «ans en reconnaître l'existence , car on aurait
(o-i) (0~D (c-3) (0-4) rr. -1- 1 X -• X 3 X 4 ,' (1— J) (1— i) (1-3) (1-4) z=: + 1 X i X 2 X 3 ,
résultats de même signe. Il est facile de voir que cette circonstance tient à ce que la substitution de 1 au lieu de a:, fait changer en même temps de signe aux deux facteurs X — ^ et X — I, qui, de négatifs qu'ils étaient lorsqu'on mettait o à la place de x, deviennent tous deux positifs ; mais si l'on eût remplacé x par un nombre compris entre | et -^j le facteur x — y seul aurait changé de signe , et on aurait obtenu un résultat négatif.
On tombera nécessairement sur un pareil nombre en substituant , au lieu de x , des nombres dont la différence soit moindre que celle des racines J et {-. Si par exemple on fait les substitutions ^ , y , ^ , y , ^ , etc. , on trouvera deux changemen» de signe.
On pourrait objecter à l'exemple ci-dessus, que lorsqu'on a fait disparaître les coefïiciens fractionnaires d'une équation , elle iie peut avoir pour racines que des nombres entiers ou irrationnels, et non pas des fractions; mais il est facile de voir que les nombres irrationnels , qu'on a remplacés ici par des fractions, pour plus de simplicité, peuvent différer de moins que l'unité.
En général, les résultats seront de même signe toutes les fois que les substitutions changeront le signe d'un nombre pair de facteurs (*). Pour obvier à cet inconvénient , il faut mettre entre les nombres à substituer , depuis la plus petite limite jusqu'à la plus grande, une différence moindre que la plus petite des différences que peuvent avoir entre elles les racines réelles de l'équation proposée; par ce moyen les substitutions tomberont nécessairement entre les racines consécutives , et ne feront changer de signe qulà un seul facteur ('*'*). Cette opération n'exige pas qu'on connaisse la plus petite différence des racines réelles , mais seulement qu'on ait une limite audessous de laquelle elle ne saurait tomber.
Pour se procurer cette limite, on formera l'équation au quarré des différences des racines (208).
Soit
cette équation ; pour obtenir la plus petite limite de ses racines , on fera z = - (9 1 2) , et il viendra
(*) Il 11"' est dotic pas possible de découvrir par ce procède les racines égales , lorsqu'elles sont en nombre pair ; mais alors on emploie celui du n" 2o5.
(■"*) On ne tient pas compte ici des racines imaginaires, parce qu''elles sont toujours en nombre pair et se groupent, deux à deux, en facteurs réels du second degré' , qui ne changent point de signe quelque valeur qu'on donne i x. (Voy. le Complément. )
OU, en réduisant tous les termes au même dénominateur,
