pv-\-qv

puis en dégageant v",

' Tf 'il ' Jl ' Il '

et si- désigne le plus grand ooefiicient négatif de cette équation, on aura

Il ne faut considérer ici que la limite positive , la seule qui se rapporte aux racines réelles de la proposée.

Connaissant la limite

moindre que le quarré de la plus petite différence des racines de la proposée , on en extraira la racine quarrée, ou du moins on prendra le nombre rationnel immédiatement au-dessous de cette racine \ ce nombre , que je désignerai par /j, marquera l'intervalle qu'il faudra mettre entre chacun des nombres à substituer. On formera ainsi les deux suites

o, +/«, -f2^, +3/i, etc., — /c, — 2A, — 3/t, etc..

desquelles on ne prendra que les termes compris entre les limites de la plus petite et de la plus grande des racines positives, et entre celles de la plus petite et de la plus grande des racines négatives de l'équation proposée. Les changeraens de signe qu'offrira la série des résultats obtenus par la substitution de chacun de ces nombres à la place de a:, dans l'équation proposée, manifesteront ses diverses racines réelles , soit positives, soit négatives. 218. Soit pour exemple l'équation

qui m'a conduit, dans le n° 208 , à l'équation

en faisant z := -, et en ordonnant, par rapporta v, le résultat de cette substitution , on a

TîSioJtii

d*où l'on tire

v<io,^>l^:

il faudra donc prendre /j =ou •<[ . On satisferait

à cette condition en prenant k-= - ; mais il suffit de

supposer kzrz --^ car en mettant 9 à la place de v, dans

l'équation précédente, on obtient un résultat positif, et qui ne peut devenir que plus grand lorsqu'on donnera à V une valeur plus considérable, puisque les termes v^

et 91^'* se détruisent déjà , et que ~-v l'emporte sur — .

La plus grande limite des racines positives de l'équa» tion proposée;

, x^ — 7^ + 7 =. o> Klém, cV Algèbre. i4® édition. 20

3o6 lé L lé M E N s

est 8 , et celle des racines négatives est — 8 ; on aura dons

à substituer pour x les nombres

a/ On peut éviter les fractions en faisant x= -^j car

alors les différences entre les valeurs de x\ seront triples de celles qui se trouvent entre les valeurs de a;, et surpasseront par conséquent l'unité : il n'y aura plus qu'à substituer successivement

dans l'équation

Les signes des résultats changeront de -f 4 à -f 5, de -f 5 à -f- 6 , et de — q à — 10, en sorte qu'on aura les valeurs positives

'a/>4et<5) (a:>^et<|.

S d'où \ 5 6

.;[*•: a/>5 et <6J |a:>get<g.

et la valeur négative de x .tombant entre— 9 et — 10 ,

celle de x sera entre — g et — y.

^ Connaissant maintenant les diverses racines de l'équation proposée , à moins de f près , on pourrait en approcher davantage, comme dans le' numéro 21 5.

ai 9. Ce qu'on a pratiqué sur l'exemple du n° 2i5 et sur celui du numéro précédent, s'appliquera à une équafaon d'un degré quelconque , et fera connaître les valeur» approchées de toutes les racines réelles de cette équa-

DALGEBRE. Soy

tion. On ne saurait disconvenir néanmoins que le calcul ne devienne pénible, lorsque l'équation proposée s'élève un peu haut ; mais dans beaucoup de cas il ne sera pas nécessaire d'avoir recours à l'équation (/)) , ou bien on y suppléera par des moyens que l'étude des branches ultérieures de l'Analyse fera connaître (*).

Je ferai remarquer cependant que les substitutions successives des nombres o, i , 2,3, etc. à la place de X , offrent souvent des indices suiïisans pour faire soupçonner l'existence des racines dont la différence est moindre que l'unité. Dans l'exemple qui m'occupe, elles donnent les résultats

-j-y, +1, -fi, +13,

qui redeviennent croissans après avoir décru de -f- 7 à 4- 1 . Cette marche rétrograde porte naturellement à croire qu'entre les deux nombres -f- 1 et -|- 2 , il tombe deux racines , ou égales , ou presque égales. Pour vérifier ce soupçon, il faut multiplier l'inconnue. En faisant

07 = -*^, on trouve *

yS 700 J' -f- 7000 = O ,

équation qui a deux racines positives, l'une entre i3 et 14, et l'autre entre iGet ly.

Le nombre des tâtonnemens nécessaires pour découvrir ces racines, n'est pas très grand; car ce n'est qu'eues) On peut voir aussi dans le Traité de la Résolution des équations numériques , une méthode très élégante donnée par Lagrange, pour éviter l'emploi de l'équation [D).

D'aulres geomèties ont encore enrichi ce sujet de procèdes ingénieux , mais qui ne me paraissent pas non plus devoir entier dans les élemens. Ce n'est que parce qu'elles ^complètent la théorie d«s équations, que les considérations ci-dessus ont quelque importance. Presque jamais l'application du calcul h la Mécanique et h la Physique ne mène à résoudre des équations d'un degré élevé.

tre 10 et 20 qu'il faut chercher j» ; et les valeurs de cette inconnue étant déterminées en nombres entiers, on en conclut celles de x', à un dixième d'unité près.

5220. Lorsque les coeiïiciens de Téquation que l'on se propose de résoudre , sont des nombres très considérables, il est commode delatransformer en une autre dont les coefïiciens soient resserrés dans des limites plus étroites. Si l'on avait , par exemple ,

x^ — SoaP -\- 1^98 x'^ — i4937x-|-5ooo = o, on ferait x = 1 o z ; il viendrait

Dans ce résultat, on se contenterait d'abord de prendre les nombres entiers qui approchent le plus des coefficiensi et l'on aurait ainsi

On trouverait sans peine que. 2; a deux valeurs réelles comprises entre o et 1 , entre 1 et 2 , d'où il suit que celles tde la proposée sont entre o et 10, et entre 10 et 20; mais on ne doit regarder ceci que comme une indication qu'il faut vérifier; car il peut arriver qu'un petit changement dans les coefficiens d'une équation rende imaginaires des racines qui étaient d'abord réelles, et réciproquement.

Je ne parlerai point ici de la recherche des racines imaginaires , parce qu'elle repose sur des principes dont l'exposition me mènerait trop loin ; je la renvoie au Complément de ce Traité.

221. Lagrange a donné aux substitutions successives une forme qui a l'avantage de faire connaître immédiatement à chaque opération de combien on s'est approché de la vraie racine , et qui n*exige pas qu'on en ait d'abord la valeur à moins d'un dixième près.

Je représente par a le nombre entier immédiatement

au-des£Ous de la racine cherchée ; il ne faudra , pour obtenir cette racine , qu'augmenter a d'une fraction : on

aura donc a:=:a-j- -, L'équation en y qui résultera de

la substitution de cette valeur dans la proposée, aura nécessairement une racine plus grande que l'unité; nommant b le nombre ei;tier immédiatement au-dessous de cette

racine, il viendra pour seconde approximation x= a -f-j.

Mais b n'étant, par rapport à j/, que ce qu'est a par rapport à a:, on pourra, dans l'équation enj, faire

y^=b -\ ^ , ety sera nécessairement plus grand que l'unité ; nommant b' le nombre entier immédiatement audessous de la racine de l'équation en y, on aura

remettant cette valeur dans celle de x^ il en résultera

pour la troisième valeur approchée dé x. On en trouvera

une quatrième en faisanty= y -{- -4-; car si b" désigne

le nombre entier immédiatement au-dessous de y, on aura

<i*où

b" bUb"^b"^b

bb'b" -^-^J^b"et ainsi de suite.-:'- «^^^

3lO à L é M E N s