Je vais appliquer cette méthode à l'équation

oc^ — 7x4-7 = 0.

On a déjà vu (218) que la plus petite des racines positives de cette équation était entre-) et ^, c'est-à-dire,

entre 1 et 2 ; je ferai donc a: = 1 -|- - , et j'aurai

La limite des racines positives de cette dernière est 5 j et en substituant successivement o, 1 , 2, 3, 4, au lieu de y, on reconnaîtra bientôt qu'elle a deux racines plus grandes que l'unité , savoir, une entre 1 et 2, et l'autre entre 2 et 3 : il en résultera donc

x=i4-7 et x=i+i^ c'est-à-dire,

a: = 2 et a: = |.

Ces deux valeurs correspondent à celles que j'ai trouvées entre f et -J, entre 5- et |, et qui ne diffèrent pas d'une unité.

Pour porter plus loin le degré d'exactitude de la première, qui répond à ^= i , on fera

et l'on aura

On ne troirvera à cette équation qu'une seule racine plus grande que l'unité, et comprise entre 2 et 3, ce qui donnera

d'où o:^::: 1 -f-|:=|.

Supposant ensuite y = 2 -f- -f> ^^ ®^ résultera

D* A L G è B R E. 5ll

©n trouvera^" entre 4 et 5 , et prenant la plus petite limite 4 , il viendra

Rien n'est plus facile que de poursuivre ce procédé, en faisant ^^= 4 + -*> et ainsi de suite.

Je reviens maintenant à la seconde valeur de x , que j'ai trouvée égale à |, par une première approximation, et qui répond à y =3, je fais y:=zQ-\--j,

et je substitue dans l'équation en y; j'aurai, après avoir changé les signes pour rendre le premier terme positif ,

Cette équation n'aura , comme sa correspondante dans l'opération ci-dessus , qu'une racine qui surpasse l'unité, savoir, entre i et 2; et prenant y =: 1 , il en résultera

P&sant encore

il viendra

équation qui donne y entre 4 et 5, et d'où il suit par conséquent

y=i> y=-v> ^=iî^

Pour aller au-delà , on fera y" = 4 + -;^> et ainsi de

suite .

L'équation x^ — 'jx-^y^o a aussi une racine négative comprise entre — 3 et — 4- Po^^ en approcher

davantage, on fera a-=r—5— --; ce qui donnera

f — 2oy^ — ,qj — 1 = o, ^>2o et < 21 , d'où il résultera

En poussant plus loin, on supposera jy = 20 + -^, etc.,

et l'on obtiendra successivement des valeurs de plus en plus exactes.

Les différentes transformées en y, y', y\ etc, n'auront Jamais qu'une racine plus grande que l'unité, tant que deux ou un plus grand nombre de racines de la proposée ne seront pas comprises entre les mêmes limites a et G-f 1 • mais quand cette circonstance aura lieu , comme on l'a vu dans l'exemple ci-dessus, on trouvera dans quelques-unes des équations en y^ y\ etc. plusieurs valeurs plus grandes que l'unité, desquelles partiront les suites d'équations qui feront connaître en particulier les diverses racines que la proposée a entre les limites « et a -f- i . *

Le lecteur pourra s*exercer encore sur l'équation

dont la racine réelle tombe entre 2 613; il trouvera pour les valeurs entières de^, y\ etc. ,

10, 1, 1,2, 1,3, 1 , 1 , 12, etc.,

et pour les valeurs approchées de or,

* £-L 11 £1 ' ' t 155 5 7 6 7,3» : ' 1307 1 HA 1 5 i>iu>n>îiij 53, 74>a75»349» 634- > 7837*

Des proportions et des progressions.

2a3. On a vu dans l'Arithmétique, la définition et les propriétés fondamentales de la proportion et de Véquidif-

férence , c'est-à-dire , de ce qu'on appelait la proportion géométrique et la proportion arithmétique ; j'appliquerai ici l'Algèbre à ces notions, et j'arriverai par ce moyen à quelques résultats qui sont d'un usage fréquent dans la Géométrie.

Je commencerai par faire observer que l'équidifFérence et la proportion peuvent s'exprimer par des équations. Soient A ^ B, C ^ D^ les quatre termes de la première, a, bj Cj d , ceux de la seconde; on aura

B — j4=zD—C (^Arithm. 12^), -z=- (^ Arithm. m ),

équations quidoivënt être regardées comme équivalentes aux expressions

A.B'.C.D, alby.cld,

et qui donnent

^ + D=i5 4-C, ad—bc.

Il suit de là que , dans l' équidifference , la somme des termes extrêmes égale celle des termes moyens , et que dajjs la proportion , le produit des termes extrêmes est égal à celui des termes moyens , ainsi qu'on l'a vu dans l'Arithmétique (127, ii3), par des raisonnemens dont les équations ci-dessus ne sont que la traduction.

Les propositions réciproques des précédentes se démontrent facilement; car, des équations

^-fZ> = i?+C, ad = bc,

on revient sur-le-champ à

et par conséquent, lorsque quatre quantités sont telles y que deux d'ent/ elles donnent la même somme ou le même produit que les deux autres j les premières sont les

moyens et les secondes les extrêmes {pu réciproquement) dune équidijférence ou d'une proportion.

Quand Z?= C, l'équidifFérence est dite continue; il en est de même de la proportion quand 6 r= c, et Ton a

A-\-D=z2B, ad = b\

c'est-à-dire que , dans une équidijférence continue , la somme des extrêmes est égale au double du moyen , et que , dans une proportion continue , le produit des extrêmes est égal au quarré du moyen. On tire de là

la quantité B est le milieu ( ou la moyenne proportionnelle arithmétique) entre A et D , et la quantité b la moyenne proportionnelle {géométrique) entre a et d. Les équations fondamentales .

conduisent encore aux suivantes :

ce qui fait voir que l'on peut, dans les expressions A.B\C.D y a\b\\c*,d^ changer les moyens de place, et en déduire ^ . C: Z? . i) , a\c',\b\d. En général, on pourra faire toutes les transpositions de termes qui s'accorderont avec les équations

A'j-D=:B'i-C et adz=bc {Jrithm. 114.)

Je laisserai maintenant de côté l'équidifFérence , pour ne m'occuper que de la proportion.