La proportion a : b il c l d pouvant s'écrire ainsi

on aura

d'où

cih m a d±i mb

et enfin ,

ma : d±i mb y, a", b ou

d'où il résulte que le second antécédent , plus ou moins un certain nombre de fois le premier ^ est au second conséquent , plus ou moins le même nombre de fois le premier ^ comme l'un quelconque des antécédens est à son conséquent.

Cette proposition peut aussi se conclure immédiatement de celle du numéro précédent; car en changeant de place les moyens dans la proportion primitive

puis en lui appliquant la propositioji citée, on a suc cessivement

a', c :: b ', d , c dt. ma : d ±: mb \\ a\ b ou \\ c*, d^

13 A L G E B RE. OlJ

et rendant pour cette dernière , aux lettres a^ b^c, d la dénomination qu'elles ont dans la proportion primitive , on a l'énoncé précédent.

Faisant 771 zz:: i , on en tirera les proportions particulières

c ::^ a \ d ±ih l\ a \ b Wcld, c-\- a', c — a W d-\-b *, d — b\

ce qui veut dire que la somme ou la différence des an^ técédens est à la somm,e ou à la différence des con^ séquens, comme un antécédent est a son conséquent, et que la somme des antécédens est à leur différence comme celle des conséquens est à leur différence, ^n général, soit une suite de fractions égales,

■ )i l^A^ /^A^etc ■

a ce g ' *

et qu'on fasse - = <,, on aura .^uAiispiu^

■ - = q> =t-='?. y = ?.etc.,

ce qui donnera

b — aq, d==cq, f=eq, h = gq , etc. ,

et en ajoutant ces équations membre à membre jj il viendra

b -{-d +/4- h + etc. = aq -\-cq + eq'\-gq -f-etç.^ ou t

^ + ^ +/+ h 4- etc. = q (a-f-c-f-e+g-f etc), d'où il suit

b j±d±f±hj-jtc. : b .^>., a 4- c -|- e 4- ^ + etc. " a'

On énonce ce résultat en disant que dans une suite de

rapports égaux , a : b :: g : d :: e : f :: g : h :: etc.^ la somme d'un nombre quelconque d'antécédens est à la somme d'un pareil nombre de conséquens , comme un antécédent est à son conséquent.

âsG. Lorsqu'on a ces deux équations,

on en peut multiplier les premiers membres entre eux, et les seconds entre eux , et il viendra

ae cg *

équation équivalente à la proportion

ae l bf II cg l dh y

laquelle s'obtiendrait aussi en multipliant chaque terme de la proportion

par celui qui lui correspond dans la proportion

Deux proportions multipliées ainsi terme par terme , sont dites multipliées par ordre; et les produits qui en résultent sont , comme on le voit , en proportion : les nouveaux rapports sont les rapports composés des rapports primitifs (^Arith. laS).

Il est aisé de se convaincre qu'on arriverait également à une proportion, en divisant deux proportions terme à terme, ou par ordre.