Lorsqu'on a

on en peut conclure que

ce qui donne

d'où il suit que les quarrés , les cubes, et en général les puissances semblables de quatre quantités en proportion, sont aussi en proportion.

La même chose aurait lieu pour des puissances fractionnaires, puisque

et que

m ni _____

ro m

car il eu résulte

SI a l b II c l d f c'est-à-dire, que les racines du même degré , de quatre quantités en proportion , sont ellesmêmes en proportion.

Tels sont les principaux points de la théorie des proportioqs. Cette théorie n'a été inventée que pour découvrir des quantités, en les comparant avec d'autres. On a conservé pendant long-temps les noms latins attachés aux différent changemens ou transformations

que peut subir une proportion : on commence aujourd'hui à n'en plus charger la mémoire de ceux qui étudient les Mathématiques 5 et tout l'échafaudage des proportions deviendrait inutile , si on leur substituait les équations correspondantes , ce qui donnerait, je pense, plus d'uniformité aux méthodes, et plus de netteté aux idées.

228. Des proportions aux progressions le passage est facile. Ayant conçu, dans l'équidifFérence continue, trois quantités, dont la dernière surpassait la seconde autant que celle-ci surpassait la première, on a bientôt imaginé de considérer un nombre indéfini de quantités, «, ^, c, c?, etc., telles que chacune d'elles surpassât celle qui la précède d'une même quantité cT , en sorte que

bzzza-^-^f cz=:b-{-^, d=zc+^, e==J-|-<^, etc.

L'ensemble de ces quantités s'écrit ainsi,

-a.b.cd.e.f .etc. ,

et se nommait progre^^zo7z arithmétique; mais j'ai cru devoir changer ce nom en celui de progression par différence. (Voyez Ârith. , note du n° 127. )

On peut calculer un terme quelconque de cette progression , sans le secours des intermédiaires. En effet, gi l'on met pour b sa valeur dans celle de c, il en résultera , ,

avec cette dernière on trouvera . ,,

fZ — a-f 3<^, puis e = c^-4<^, ; ;

et iainsi de suite; d'où l'on voit qu'en nommant /îè'tÈTié^ , .- > II-. /<]'•>'>

dont le rang serait marque par n, on aurait

/=:a-f-(/i— i>y^W!lib XM.. =.n')Gt

vSoit , par exemple , la progression

f3 . 5 . 7 . 9 . 11 . i3 . i5 . 17 , etc. ;

ici le premier terme a = 3 , la différence ( ou la raison ) ri =: 9 ; on trouvera pour le huitième terme ,

ainsi qu'on le conclut en calculant tous ceux qui le précèdent.

La progression que je viens de considérer était croissante; en l'écrivant dans un ordre inverse, tel que celui-ci : J^^f*^.-^ '^ ♦? .'v 7;;^;'

717.15.13.11.9.7.5.3 .1 . — 1 . — 3, etc. , elle serait décroissante. On en trouverait encore un terme quelconque au moyen de la formule a + (n — 1 ) «T, en observant que cT doit y être supposé négatif, puisque la différence doit alors se retrancher d'un terme quelconque pour obtenir le suivant.

229. On parvient aussi très simplement à connaître la somme d'un nombre quelconque de termes de la progression par différence. Cette progression étant représentée par

et S désignant la somme de tous ses termes , on aura S^a-\-b-{-c ^i^k-\'L

En écrivant les termes du second membre de cette équation , dans un ordre inverse du précédent , on aura encore

Si l'on ajoute ces équations , et qu'on réunisse les termes qui se correspondent, il viendra

^Itm. d'Jlgèbre. \^^ édition. 21

mais par la nature de la progression , on a , en partant du premier terme ,

a-f J^=:6, ô+cTrrrc, f-f cT^r/f, /i-f-cTzr:/,

et par conséquent, en partant du dernieï' ,

l — Sz=zk,k — S=zi, c--^ — h^b--^—a'.

l'addition des équations correspondantes fait voir surle-champ que

« -f- /r=Z? -f /; = c -f i, etc. ,

et que par conséquent

2v.Ç = 71 (a-f /) -, d'où il suit

En appliquant cette formule à la progression 43.5.7.9. etc. , on trouvera pour la somme des huit premiers termes ,

L5±izH=.8o.

23o. L'équation

l-=a + {n^i)S, iointe à

donne le moyen de trouver deux quelconques des cinq quantités a,S,n,l et .9, lorsqu'on , connaît les trois autres; je ne m'arrêterai pas à traiter chacun des cas qui peuvent se présenter.

23 1. On a tiré de la proportion , la progression par quotient (ou la progression géométrique) , qui consiste dans une suite de termes tels, que le quotient d'un

d'algèbre, 323

terme divisé par celui qui le précède , est le même quelque part que soient pris ces deux termes. Les suites

-H- 2 : 6 : 18 : 54 : 162 : etc., rr45: i5: 5 : I : |: etc.,

sont des progressions de ce genre • le quotient ( ou la raison ) est 3 dans l'une et \ dans l'autre : la première est croissante , et la seconde décroissante. Chacune de ces progressions forme une suite de rapports égaux , et c'est pour cela qu'on les écrit comme ci-dessus. Soit

une progression quelconque par quotient ; en faisant

2^=^ y j'aurai , par la nature de cette progression ,

^'~'â'~"b'~7:'^d"'^k' ou b—aq, c=bq, d=cq , e=dq , .,, l = kq.

Mettant successivement la valeur de b dans celle de c cette dernière dans celle de J, et ainsi des autres, il viendra

b:=aq, c—aq\ d^aq\ e^aq^,. , .l=zaq^-\

en désignant par n le rang du terme /, ou le nombre des termes que l'on considère dans la progression proposée.

A l'aide de la formule l:=,aq^-\ on peut calculer un terme quelconque sans passer par tous les intermédiaires. Le dixième terme de la progression

-H- 2 : 6 : 18 : etc. ,

par exemple, est égal 2 X ^SrrrS^SGG.

232. On peut obtenir aussi la somme d'autant de termes qu'on voudra de la progression

^ a'.b ', c', dl etc. , en ajoutant entre elles les équations

br=aqj c^=bq, d=cq, ez=dq, ...l=zkq; car il en résultera

et en nommant S la somme cherchée , on aura

d'où l'on conclura

S-a=q(iS-l), et par conséquent

Dans l'exemple ci-dessus, on trouverait pour la somme des dix premiers termes de la progression

— 2:6:18: etc. , 2X3»°— 2