On peut tirer de l'expression

q—i ' tous les termes qui composent la progression dont elle représente la somme ; car si l'on effectue la division de (/" — 1 par q — i (i58) , on trouvera

ce qui donne

S^za-^-aq-^-aq"" -f-a(5f"-*.

La valeur de L jouit de la même propriété , lorsqu'on effectue la division de m par m — i , comme il suit :

D A L G E li R K.

l • ^ ■ ^'^-/A? li'J

m nf

etc.

On divise d'abord tti , comme à l'ordinaire , par le premier terme du diviseur , ce qui donne pour quotient i ; on multiplie ce quotient par le diviseur, et on retranche le produit du dividende; on divise ensuite le reste i par le premier terme du diviseur ; on trouve pour quotient

r—, qu'on multiplie par le diviseur , et on a pourreçte-^:

on opère sur ce reste comme sur le précédent. En continuant ainsi , on aperçoit bientôt la loi que suivent tous

les quotiens partiels , et l'on voit que l'expression

est équiv^ente à la série

continuée à l'infini ; mettant pour tti sa valeur - , et mut tipliant par a , on retrouve ~,

a-\-aq-i-aq'^'\- «9^ -f- etc. , " " ' pour la progression dontZ/ exprime la limite.

fl36. On regarde le développement ,...'

* "^ m "^ ,7;:^ "^ tTS ^t^rijh^irmnj

m m* jii

comme la valem* de la fraction , toutes les fois

qu'il est convergent , c'est-à-dire, que les termes qui le composent diminuent en s'éloignant du premier.

En effet , si l'on arrête la division précédente successivement au premier, au second, au troisième reste,

on trouve

les quotiens i

etc.

et les restée i

etc.

les uns n'approchent de la vraie valeur qu'autant qua les autres vont en diminuant ; et cette circonstance n'a lieu que lorsque m surpasse l'unité. Dans tous les autres cas, on ne peut se permettre de négliger les.restes, qui, croissant sans cesse, font voir que les quotiens s'éloignent de plus en plus de la vraie valeur.

Pour éclaircir ceci, il suffit de faire successivement m = 2, mz=zi , m:=:{, La première supposition donne

i2=a = i+i + i + J-|-f;->-etc.; '

&t l'on a déjà vu ( 234 ) qii'en effet la série qui compose le second membre s'approchait de plus en plus de 2. La seconde supposition conduit à

jj^ ' ■■■■• .10 ,Î>-LLÎ( 7;.:>M..ir

rr=i= 1 -{- 1 + 1 + 1 -f l + 1 -h etc.

Ce résultat, i + i -f i -f i -f-etc, continué à l'infini, donne bien une quantité infinie , comme le demande la nature de l'expression ^ : cependant si l'on ne tenait paa compte des restes dans cet exemple, on tomberait dans

une absurdité ; car puisque le diviseur , multiplié par le quotient , doit reproduire le dividende , il faut que

or le second membre s'anéantit rigoureusement : on aurait donc 1 = 0.

La troisième supposition mène à des conséquences non moins absurdes , quand on néglige les restes , et qu'on regarde la série résultante comme exprimant la valeur de la fraction dont elle dérive. En faisant mz=l, on trouve

i^i4.a-f.4-f8-f 16 + etc. ,

ce qui est bien évidemment faux. Ces contradictions disparaissent quand on observe la marche des restes. Dans le second cas , les restes

— ——m __« PTC

sont tous égaux à 1 , et puisqu'ils ne diminuent pas , il n'est pas permis de les négliger, quelque loin que l'on pousse la série. En ajoutant donc l'un de ces restes au second membre de l'équation

l=:(l-|-l-|-l + l-fl-f ).0,

elle devient exacte.

Dans le troisième cas, les restes

forment la progression croissante 1 , 3 , 4i ^> 1^ > ^tc, et en ajoutant à chaque quotient la fraction qui résulte du reste qui l'accompagne , les expressiorts rigoureuses de

, sont

33o ii L É M E N s

ni —

+ ,-ïïr

m ni'' ni^ (jn — i ) '

etc. ,

qui toutes s*accordent adonner — i, lorsque m =:|.

Si l'on prenait 771= — n, la fraction deviendrait

; la série qui exprime le développement de cette

fraction se changerait en

1 — -< r-l- etc. ;

et en y faisant 7i= i , on aurait

1 — 1+1 — 1 + 1 — 1 + 6tc. ,

développement qui devient tantôt i et tantôt o , et qui s'écai'te par conséquent, tantôt par excès , tantôt par

défaut , de la vraie valeur de — ; — , égale dans ce cas

à J: mais la série ci-dessus , n'étant point convergente , ne peut donner cette vraie valeur; et il faut nécessairement tenir compte du reste , à quelque terme que l'on s'arrête.

Si l'on suppose dans la série précédente 71=2, on aura 1— 1 + ^ — ïï + T^-^etc. trf'K'noî

suite dont les sommes partielles 1 , i, 4, |> etc. sont alternativement plus petites et plus grandes que la vraie valeur de ■ , qui est f , mais dont elles approchent 11 — j- 1

indéfiniment , parce que la série proposée est convergente.

Quoique les séries divergentes , c'est-à-dire celles dont les termes vont en augmentant, s'écartent sans cesse de la vraie valeur de l'expression dont elles dérivent , considérées néanmoins comme développemens de ces expressions., elles peuvent faire connaître celles de leurs propriétés qui ne dépendent point de leur sommation, c'est-à-dire de la détermination de leur somme.

237. En poussant quelque division algébrique que ce soit, comme j'ai fait ci-dessus (235) , pour celle de m par m — 1 , on parviendra toujours à exprimer le quotient par une suite infinie de termes monômes. hes extractions des racines , continuées de la même manière sur les restes successifs , dans le cas des puissances imparfaites, conduiront aussi à des suites infinies ; mais ces suites s'obtiendront plus facilement par la formule du binôme j ainsi que je le ferai voir dans le Complément , où je traiterai des suites les plus connues.

Théorie des quantités exponentielles et des logarithmes,

238. Dans toutes les questions résolues jusqu'ici, les inconnues n'entraient pour rien dans les exposans ; mais il n'en serait pas de même si l'on voulait déterminer le nombre des termes d'une progression par quotient, dont le premier terme, le dernier et la raison seraient donnés. En effet, on aurait pour cela l'équation

l^ziaq"-' (23i),

dans laquelle l'inconnue serait n-, et en faisant, pour abréger, n — 1=07, il viendrait Izz^aq"^. Les méthodes directes exposées précédemment ne sauraient résoudre cette équation j et les quantités telles que ou ne peuvent être

332 ^ L li M E N s

représentées par aucun des signes dont j*ai déjà fait usage. Pour répandre plus de lumière sur ce sujet, je rappellerai , d'après Euler , la liaison qui existe entre les diverses opérations de l'Algèbre, et comment chacune d'elles donne naissance à une nouvelle espèce de quantités.

239. Soient a et b deux quantités qu'on se propose d'ajouter ensemble ; on a

et si de cette équation on veut tirera ou 6 , on trouve

a:=:: c — b , br=c — a \

voilà , comme on voit , l'origine de la soustraction ; or quand cette dernière opération ne peut s'effectuer dans l'ordre où elle est indiquée , le résultat devient négatif. L'addition répétée d'une même quantité engendre la multiplication : a désignant le multiplicateur , b le multiplicande, et c le produit, on a

ab-=z. c j d'où l'on tire

et de là naissent la division et les fractions qui en sont la suite , lorsqu'elle ne peut s'effectuer sans reste.

La multiplication répétée d'une quantité par ellemême, produit les puissances de cette quantité -, en exprimant par b le nombre de fois que a est facteur dans la puissance que l'on considère , on a

Cette équation diffère essentiellement des précédentes, en ce que les quantités aetb n'y entrent pas toutes deux de la même manière, d'où il suit qu'on ne peut pas résoudre l'équation par rapport à l'une comme par

rapporta l'autre. Si c'est a qu'on cherche^ une simple extraction de racine suffit pour le trouver , et cette opération donne lieu à une nouvelle espèce de quantités , savoir , les irrationnelles ; mais la détermination de b dépend de méthodes particulières que je ferai connaître lorsque j'aurai exposé les principales propriétés de l'équation a^ z=zc.

240- Il est facile de voir qu'en conservant la même valeur pour la lettre a, que je supposerai au-dessus de l'unité , et variant convenablement celle de 6, on pourra obtenir pour c tous les nombres possibles. En effet, enfaisant b= o , on a c = 1 ; puis lorsque Z> croîtra, les valeurs correspondantes de c surpasseront de plus en plus l'unité, et pourront augmenter autant qu'on voudra. Le contraire aura lieu si l'on prend b négatif ; l'équation c^ = c se

changeant en a~^ = c , ou-j = c, les valeurs de c iront

?ans cesse en diminuant, et pourront devenir aussi petites qu'on voudra. On peut donc de la même équation tirer tous les nombres positifs possibles , soit entiers , soit fractionnaires , dans le cas où a surpasse l'unité; Il en serait de même, si Ton avait a<^i : seulement , les valeurs de c marcheraient en sens inverse de celles du cas précédent ; mais en supposant c = i , on trouverait toujours c = 1 , quelque valeur qu'on donnât kb: on doit donc, dans tout ce qui va suivre, regarder a comme différant essentiellement de l'unité.

Pour mieuxdésigner quea ne change point, et que les deux autres quantités Z> et c sont indéterminées, je les représenteraipar les lettres a; etjy,et j'aurai l'équation a^zrzy, dans laquelle à chaque valeur de j' répond une valeur de X, en sorte que l'une de ces quantités est déterminée par l'autre, et réciproquement.