Cette génération de tous les nombres par le
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moyen des puissances d'un seul , est très importante non-seulement par rapport à l' Algèbre , mais encore par le secours qu'elle fournit pour abréger les calculs numériques. En effet, si l'on considère un autre nombre/, et que l'on désigne par x' la valeur correspondante de x^ on aura a^'=:y, et par conséquent si l'on multiplie y par y, il viendra
5)1 l'on divise, on trouvera
enfin , si l'on prend la puissance m de y et la racine n^"^' on aura
pour l'une , et
yrrr(a^)™=rG"
pour Tautre.
Il suit des deux premiers résultats que , connaissant lea exposans x et x relatifs aux nombres y et^^', on trouvera , en prenant leur somme, l'exposant qui répond au produit ^y, et en prenant leur différence, celui qui
répond au quotient =5. Les deux dernières équations
font voir que l'exposant relatif à la puissance m^^'^de y s'obtient par une simple multiplication, et celui qui répond à la racine 71^"'% par une simple division.
Il est facile de conclure de là, que si l'on, avait une table dans laquelle, à côté de chacun des nombresjy, se trouvassent les valeurs correspondantes de a: , en sorte qu'étant donné j, on pût avoir a:, et réciproquement, la multiplication de deux nombres quelconques se réduirait à une simple addition , parce qu'au lieu d'opérer sur ces
d'algèbre. 335
nombres , on ajouterait les valeurs de x qui s'y rapportent, et cherchant ensuite dans la table le nombre auquel répond cette somme, on aurait ainsi le produit demandé. Le quotient des nombres proposés se trouverait dans la même table, vis-à-vis de la différence des valeurs de x qui leur correspondent, et la division s'effectuerait alors par une soustraction.
Ces deux exemples font assez entrevoir l'utilité dont peuvent être des tables semblables à celle dont on vient de parler ; aussi l'usage en est-il bien répandu depuis Neper , qui les imagina le premier. Les valeurs de x y sont désignées sous le nom de logarithmes , et par conséquent les logarithmes sont les exposons des puissances auxquelles il faut élever un nom,hre invariable , pour en déduire successivement tous les nombres possibles.
Le nombre invariable se nomme base de la table ou du système de logarithmes.
Dans la suite , je représenterai le logarithme de j, par 1^ ; on aura x=z\y^ et à cause de j/ = a"^, il viendra j'^a^^.
242. Les propriétés des logarithmes étant indépendantes des valeurs particulières du nombre a ou de leur base, il s'ensuit qu'on peut former une infinité de tables différentes, en donnant à ce nombre toutes les valeurs possibles , autres que l'unité. Prenant pour exemple a r= 1 o , on aura^ = (10)'^, et on trouvera sur-le-champ que les nombres
1, 10, 100, 1000, loooo, 100000, etc.,,
qui sont tous des puissances de 10, ont pour logarithmes dans cette hypothèse, les nombres
0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
On peut déjà vérifier sur cette suite les propriétés que j'ai énoncées dans le numéro précédent : en ajoutant le»
logarithmes de i o et de i ooo , qui sont i et 3 , on voit que leur somme 4 se trouve au-dessous de loooo, qui est le produit des nombres proposés.
243. Les logarithmes des nombres intermédiaires entre 1 et 10, 10 et 100, 100 et 1000, etc., ne peuvent s'obtenir que par approximation. S'il s'agissait , par exemple, d'avoir le logarithme de 2 , il faudrait résoudre l'équation (10)"^:=: 2 , en y appliquant la méthode donnée n° 221 , et trouver d*abord le nombre entier le plus approchant de la valeur de x. On voit bientôt que X est entre o et 1 , puisque (10)'' =1, (lo)* = 10 ;
ou fera donc x = -, et il viendra (10)*= 2 , ou
10 = 2^; or f, se trouve entre 3 et 4^ on supposera donc
z = 3 -| — T y et il en résultera
ou
ou enfin 2 = (i)^'.
La valeur de*' tombant entre 3 et 4, on fera
on aura
d'où l'on tirera ,
(i)«'^=2(f)3=if|,ou(fi-|r=i;
et après un petit nombre d'essais , on trouvera que z" est entre 9 ©t 10. On pourra pousser plus loin de la même
manière ; mais comme je n'ai indiqué ce procédé que pour montrer la possibilité de trouver les logarithmes de tous les nombres, je me bornerai à supposer 2." = 9; et en remontant , on obtiendra
2, — , Z» aa > '^ p3'
Cette valeur de x, réduite en décimales , est exacte jusqu'au quatrième chiffre , car elle donne
et des calculs portés à un plus haut degré de rigueur, ont appris qu'en poussant jusqu'à 7 décimales , on aurait
X z=z o,3oio3oo.
Pour interpréter cette valeur de x comme celle d'un exposant, il faut concevoir que si on élève le nombre 10 à la puissance marquée par le nombre 3oi o3oo , et qu'on extraye du résultat une racine du degré 10000000, on auraunnombre très approchant de i2 ; c'est-à-dire. , que
loi n^ nr,
(10) »°°°°°°o = 2 , à fort peu près : le premier membre est un peu plus grand que 2 ; mais le nombre
Toi 0199
(jQ y 0000000 serait plus petit (*).
{*) La méthode indiquée dans ce numéro ne serait pas praticable pour des nombres un peu grands j mais en voici une autre donnée par Long, géomètre anglais , dans les Transactions philosophiques y pour l'année 1724, n° SSg, qui peut être très utile.
La détermination de x dans l'équation (10)^ = ^ étant très laborieuse, on peut procéder dans un ordre inverse, se donner a: pour obtenir y , et former une table des valeurs dey correspondantes h celles de a;, qui servira ensuite , comme on va le voir, à déterminera par y.
On prend d'abord pour ce des valeurs depuis 0,1 jusqu'à 0,9 j et ton t se réduit h. déterminer la valeur de y, qui répond à a: = 0,1 , ou qui
est (10)^, parce que les autres valeurs de y, savoir: Elém. d'Algèbre, 14^ édition. 29
244- En multipliant successivement par 2,3, 4> ^tc. le logarithme de 2, on obtient ceux des nombres 4 , 8, i6, etc. qui sont les 2^, 3^, 4% ^^^-j puissances de 2.
En ajoutant au logarithme de 2 les logarithmes de iQ, de 100, de looo, etc., on en déduit ceux de 20, de 200, de 20C0, etc.; et il est évident qu'il suffit d'avoir les logarithmes des nombres premiers pour trouver les logarithmes de tous les nombres composés , qui ne peuvent être que des puissances ou des produits de nombres premiers. Le nombre 210, par exemple, étant égal à
son logarithme sera égal à
l2-fl3-|-15-f-Î7, et à cause que 5 = -^ , on aura
15==lio — I2.
