Les logarithmes, qui sont toujours exprimés

(10)^, (lo)**, etc.,

S(MU les a*, 3*7 etc. , puissances de la première.

L'extraction de la racine qnarrée fait d'abord connaître

(10)*^ OU (to)"* == 3,162277660}

pnis en extrayant b racine cinquième de ce résultat, on parvient h

Par un proce'dé semblable , on tirera de ;

la valeur de

V (lO)ï*- = (10)" = (lo)"^^ =: T,T22Dl8454; 'J=>0 fijt,

pnis prenant la racine cinquième, on formera

(io)'i" =1,023292992;

et remontant aux puissances 2e, 3« g«, on obtiendra les valeurs

de j-, correspondantes à celles de x , depuis 0,01 jusqu'à 0,09.

On conçoit facilement que de ectte manière on formera encore les valeurs de j^ pour celles de r , depuis o,ooi jusqu'h 0,009, t^cpuis

en décimales , sont nécessairement composés de deux parties, savoir, des unités , placées à la gauche de là

0,0001 jusqu'à

0,0009, ^^ qu'on

pourra composer

la table ci-dessous

Log.

Nombres natur.

Log.

Nombrt-s natur.

i,oooi38i65

i,oooii5i36

1,000092108 I , oooo'69o8o

i,oooo46o53

i,ooooi38i6

ï,ooooii5i3

T,ooooo46o5

i,ooooo23o3

1,020939484 i,oi859i388

i,ot39u386

1,011579454 i,oo9'^,5288b

I ,oooooii5r

i,ooi6i3ioq

540 É li E M E N S

virgule , et des chiffres décimaux qui se trouvent à la droite. La première porte le nom de coractéi'istiqme , parce que , dans les logarithmes que je considère pour le moment, qui résultent de la supposition de 0=10,

Par le moyen de cette table, on trouvera le logarithme d\in nombre quelconque, en le divisant par 10, un nombre de fois suffisant. Pour obtenir, par exemple, celui de 2049, on divisera ce nombre d'abord par(io)3 ou 1000, qui est la plus grande puissance de 10 ,;\ exposant entier, qu'il puisse contenir, et on aura

2549= (10)3X3,549; puis on cherchera dans la table la puissance de 10, immédiatement au-dessous de 2,549 > ^^ trouvera

(io)V =2,511886432, et divisant 2,549 P*''^ ^^ dernier nombre , il viendra

Cherchant encore dans la table la puissance de lo, immédiatement an- «lessous de 1,014775177, on trouvera

(io)o,oo'5 = 1,01391 1386;

puis divisant par ce nombre le quotient précèdent, 1,014775177, on iiura un 3^ quotient T. 00085174*2.

On continuera d'opérer ainsi jusqu'h ce qu'on soit parvenu h un quotient qui ne diffère de l'unité que dans l'ordre de décimales qu'on se pK)pose de négliger.

En regardant ici le troisième comme égal h l'unité , le nombre proposé sera décomposé en facteurs, qui seront des puissances de 10, car on aura

2549= (io)3X (10)0,* X (10)0,006 = (,0)3,-^06,

d'oîi Ton voit que 3,4o6 est le logarithme du nombre 2549- E" poussant les divisions jusqu'au nombre de 7 , on trouvera que ce logarithme est 3,406369.

La même table sert encore plus facilement h, trouver un nombre |)ar son logarithme j en voici un exemple.

Soit 2,547 ^^ logarithme donné ; le nombre cherché sera (io)',5*7^(io)» X (10)0,5 X (10)0,04 X (10)0,007 : il sera donc <;gal au protluit des nombres

d'à l g è ij r e. 541

et qu*on appelle logarithmes ordinaires y cette partie fait connaître dans quel ordre d'unités tombe lé nombre dont on a le logarithme. Tous les logarithmes des nombres compris entre 1 et 10, tombant entre o et 1 , ont nécessairement o pour caractéristique ; tous ceux des nombres compris entre 1 o et 1 00 , ont 1 ; tous ceux des nombres compris entre 100 et 1000, ont 2: en général, la caractéristique d'un logarithme a autant d'unités que le nombre proposé a de chiffres moins un.

24s. Une remarque non moins importante, c'est que les logarithmes des nombres qui sont décuples les uns des autres, ont la même partie décimale : par exemple ,

543G0 a pour log. 4>7352794 ,

car chacun de ces nombres étant le quotient de celui qui le précède , divisé par 10, le logarithme de l'un s'obtient en ôtant une unité à la caractéristique de l'autre (241, 242).

(lo)o,o4 — 1,096478196, (10)0,007 ~ 1,016248693 ,

pris dans la table citée j et on aura par conséquent-

En 1 74a, à Londres, Dodson a publié, sous le ti tre A'' Anù-2ogarith' MIC Canon y une taWede même espèce que celle-ci, mais beaucoup plus étendue, et dont l'objet est de faire trouver h quel nombre répond un logarithme donné. Voyez aussi dans les Mémoires de V Académie de Berlin, pour 1786 — 1787, page 456, une table analogue fort étendue, calculée par M. Burja, et d'après laqfuellp j'ai corrigé quelqups fautes dans celle de Long.

247- D'après ce qui a été dit n° 240, les logarithmes des nombres fractionnaires sont négatifs dans l'hypothèse actuelle ; et on les déduit facilement de ceux des nombres entiers , en observant qu'une fraction représente le quotient de la division du numérateur par le dénominateur. Quand le numérateur est moindre que le dénominateur , son logarithme est aussi plus petit que celui du dénominateur , et par conséquent , en retranchant le dernier du premier , on a un reste négatif.

Pour obtenir le logarithme de la fraction ^ , par exemple, on retranchera de o, qui exprime le logarithme de 1 , la fraction o,3oio3oo , qui est celui de 2, et il viendra

— o,3oio3oo.

En retranchant de o le nombre i,3oio3oo, qui est le logarithme de 20 , on aura le logarithme de ^z y égal à

— i,3oio3oo ;

le logarithme de 3 étant 0,4771 2 13, celui de| sera o,3o 1 o3oo — 0,477 1 2 1 3 = — o, 1 7G09 1 3. 248. Par la manière dont on les obtient , les logarithmes des fractions , abstraction faite de leur signe, appartiennent (241) au quotient de la division du dénominateur par le numérateur, et répondent par conséquent au nombre par lequel il faudrait diviser l'unité pour obtenir la fraction proposée. En effet, |, par exemple, peut être mis sous la forma

^, et 11=13—12=0,1760913.

Il serait peu commode , poiîr trouver la valeur de la fraction à laquelle appartient un logarithme négatif donné, de chercher le nombre auquel il répond lorsqu'il est positif, puisqu'il faudrait effectuer la division de l'unité par ce nombre; mais si l'on retranche ce loga-

rithnie de 1 , 2, 3, etc. unités , le reste appartiendra au nombre qui exprime la fraction cherchée , lorsqu'on la convertit en décimales, puisque cette soustraction répond à la division des nombres 10, 100, 1000, etc. par le nombre du logarithme proposé.

Soit pour exemple, — o,3oio3oo-, si, en n'ayant point égard à son signe , on ôte ce logarithme de i , ou 1,0000000, le reste 0,6989700, répondant à 5, montre que la fraction cherchée est égale à o,5, puisqu'on a supposé l'unité composée de lo parties.

Si , lorsqu'on cherche le logarithme d'une fraction , on conçoit tout de suite l'unité formée de 10, ou 100, ou looo, ou etc. parties, ou, ce qui revient au même , si Von augmente la caractéristique du logarithme du numérateur d'un nombre d'unités suîTisaat pour qu'on puisse faire la soustraction de celui du dénominateur, on aura de cette manière un logarithme positif , qui pourra s'employer au lieu de j,elui qu'on a indiqué plus haut.

Afin de mettre de l'uniformité dans les calculs , on augmente le plus souvent de 10 unités la caractéristique du logarithme du numérateur. Relativement à la fraction -| , par exemple , on a

io,3oio3oo — 0,4771213 = 9,8239087.

Il est facile de voir que ce logarithme surpasse de 10 unités le logarithme négatif — 0,1780913; et que par conséquent chaque fois qu'on l'ajoutera à d'autres, on introduira 10 unités, de trop dans le résultat; mais la soustraction de ces 10 unités ne doit pas compter pour une opération, et lorsqu'elle sera effectuée, on aura effectué en même temps celle de 0,1 760913, En effet, soit N le nombre auquel on ajoute le logarithme positif 9,8239087', le réijujtat de l'opération

aéra représenté par

N -j- lo — 0,1760913; et si Ton en retranche 10, on aura seulement A'' — 0,1760913.

D'après ce qui précède , on change la soustraction en addition , en employant , au lieu du nombre à soustraire , son complément arithmétique, c'est-à-dire ce qui reste lorsqu'on retranche ce nombre de l'un des nombres 10, 100, 1000, etc., résultat qui s'obtient en ôtant de 10 les unités simples du nombre proposé, et toutes les autres de 9; cela fait, on ajoute ce complément au nombre dont il faudrait soustraire Je proposé, et on retranche de la somme une unité de l'ordre sur lequel on a pris le complément.

Il est évident que si le complément est répété plusieurs fois , il faudra retrancher, après l'addition , autant d'unités de l'ordre sur lequel le complément a été pris , qu'il y en a dans son multiplicateur ; et par la même raison , si l'on emploie plusieurs complémens , il sera nécessaire de retrancher pour chacun l'unité sur laquelle il a été pris, ou autant d'unités qu'il y a de complémens , si tous sont pris sur une même unité. Quelquefois cette soustraction ne peut s'effectuer; le résultat est alors le complément arithmétique du logarithme d'une fraction, et il répond dans les tables à 1 expression de cette fraction convertie en décimales, Çuand il reste encore 10 unités à ôter de la caractéristique, ce qui estle cas le plus ordinaire, c'est comme sil'on avait multiplié par 1 0000000000 le numérateur de lafraction cherchée, pour en effectuer ladivision parledénominateur; la caractéristique du logarithme du quotient fait connaître quel est l'ordre le plus élevé des unités que renferme ce quotient, parrapport à celles du dividende. Dans 9,8239087 , la caractéristique 9 montre que le

quotient doit avoir un chiffre de moins que le nombre par lequel on a multiplié l'unité j et par conséquent si , pour ramener le quotient à sa vraie valeur, on sépare 10 chiffres décimaux, son premier chiffre significatif vers la gauche sera des dixièmes : on ne trouverait que des centiènies, des millièmes, etc. pour les nombres dont les complémens arithmétiques auraient les caractéristiques 8, 7, etc.

24.9- Ce qu'on vient de lire sur le système de logarithmes dans lequel a= 10, renferme les principes généraux nécessaires pour l'intelligence des tables , qui sont presque toutes précédées d'une instruction relative à leur disposition particulière et à la manière de s'en servir, et à laquelle je renvoie les lecteurs. Je leur indiquerai cependant les tables de Callet ( édition stéréotype ) , et celles de Borda, comme étant ti'ès étendues et très commodes.

260. Quand on a le logarithme d'un nombre y , pour une valeur particulière de a , ou pour une base particulière , il est facile d'obtenir le logarithme du même nombre dans tout autre système. En effet, soit a^=zy ; pour une autre base^, on aura A'^ =^> ^ étant différent de x : et on tirera de là A^^=ia^ . En prenant les logarithmes relativement au système dont la base est a, il viendra

or la^=a: par l'hypothèse, etl^* = Xl-.^ (241 ) :

donc X\ At=.x, ouXn= •; — -, Mais en considérant A

comme base , X sera le logarithme de jy, dans le système

relatif à cette base : si donc on désigne ce dernier par I^y,

pour lé distinguer de l'auti-e, on aura

et on trouvera le logarithme de y dans le second sys^ tème, en divisant son logarithme pris dans le premier par le logarithme de la base du second système.

, L'équation précédente donne aussi^r^- = \J; ce qui

fait voir que, quel que soit le nombre y^ il existe entre les logarithmes ljetL y, un rapport invariable représenté par l A.

25 1. Dans quelque système que ce soit, le logarithme de i est toujours o , puisque , quel que soit a , on a toujours a° = i. Lorsque aest^- i, les logarithmes étant susceptibles de croître indéfiniment à mesure que les nombres augmentent, on dit qu'ils deviennent infinis en même temps que les nombres ; et comme lorsque j' est un

nombre fractionnaire, anav=: — ==: a""^ , on voit que

plusj' diminue, plus x doit augmenternégativement , mais que cependant on ne peut jamais assigner pour x un nombre qui rende j' exactement nul. Tel est le sens dans lequel il faut entendre que le logarithme de zéro est égal à Vinfmi négatif, ainsi qu'on le trouve dans beaucoup de tables.

25a. Je vais donner maintenant quelques exemples de l'usage qu'on peut faire des logarithmes dans l'évaluation numérique des formules. Il suit du numéro 241 et de la définition des logarithmes , qui donne l'équation a^y^y , que

En appliquant ces règles à la formule C\/d'£F

qui est assez compliquée, on trouvera

et par conséquent

\ c \/Wef )

Si l'on prenait les complémens arithmétiquesde 1 C, |1 Z), i 1 i?, 1 1 F, et qu'on les désignât par C\ D' , E' , F', au lieu du résultat précédent , on aurait

en observant d'ôter de la somme autant d'unités de l'ordre sur lequel on a pris les complémens, qu'il y a de ces complémens, c'est-à-dire, 4- Lorsqu'on seraparvenu au logarithme de la formule proposée, les tables feront connaître le nombre auquel appartient ce logarithme , et qui est la valeur cherchée.

!353. L'usage le plus fréquent des logarithmes^ est celui qu'on en fait pour trouverle quatrième terme d'une proportion. Il est visible que ûa'.b\\c\dy on aura

^=^, d'où \d^\b^\c-^\a;

c'est-à-dire, que le logarithme du quatrième terme cherché est égal à la somme des log;arithmes des deux moyens^ diminuée du logarithme de l'extrême connu, oub^en à la somme des logarithmes des moyens plus au complément arithmétique du logarithme de V extrême connu. 254. Si Ton prend les logarithmes de chaque membre

de l'équation - = -, qui exprime le caractère de Uh proportion, on aura

Ib—la^ld-^lc (262); d'où il résulte que les quatre logarithmes

la.lbllcAd forment une équidifférence (225).

La suite d'équations

- = y = - = -j etc. (201) a b c d ^ '

conduit de même à

\b—\az=\c--lb=\d'^lc=\e — \d etc.,

et on en conclut qu'à la progression par quotient

-7-ralbl cl dlel etc. ,

correspond la progression par différence

~ la.l^.lc.ltZ.le. etc.;

et que par conséquent les logarithmes des nombres en progression par quotient, sont en progression par différence.

255. Si l'on avait l'équation 6* = c , on la résoudrait facilement au moyen des logarithmes; cari b^ étant égal à

z\b , on aurait 2, 1 Z> =1 c , et par conséquent z = r-r-

L'équation b^ r=r?se traiterait de lamente manière; en faisant d'abord c^ = u , il viendrait

lr=:d, u\b = \d, u=YTy ou c*=y-7 »

prenant de nouveau les logarithmes , on trouverait

\\d — Ub et z= ; .

Dans cette dernière expression ,11e désigne lelogarithme du logarithme deZ>, et s'obtient en considérant ce loga-

rithme comme un nombre. Les quantités Z;^, b" ,et toutes celles qui en dérivent, se nomment exponentielles.

Questions relatives à l'intérêt de l'argent.

q56. La théorie des progressions par quotient et celle des logarithmes, trouvent leur application dans les spéculations relatives à l'intérêt de l'argent. Pour entendre ce que je vais dire sur ce sujet, il faut savoir que les avantages que procure une somme d'argent à celui qui Ja faitvaloir, c'est-à-dire qui l'emploie soit auxéchanges du commerce , soit à faire exécuter des travaux productifs, sont d'autant plus grands, qu'il peut renouveler plus de fois ces échanges, ou multiplier ces travaux. Il suit de là qu'un homme qui emprunte une somme d'argent pour la faire valoir, doit, en rendant cette somme au bout d'un certain temps, y joindre une rétribution pour dédommager le prêteur des avantages qu'elle lui eût procurés s'il l'avait employée lui-même. Telle est l'idée qu'on doit se faire de l'intérêt de l'argent. Pour le déterminer, on compare toutes les sommes à celle de loo fr. prise pour unité, et on convient de ce que doit rapporter cette dernière au bout d'un temps donné , d'une année, par exemple. Ce n'est pas ici le lieu d'exposer les considérations qui, dans chaque genre de spéculations, font hausser et baisser l'intérêt de l'argent : elles ne peuvent entrer que dans des élémens d'Arithmétique politique et commerciale , qui doivent être précédés de ceux du calcul des probabilités; et mon objet , dans ce qui suit, n'est que de résoudre quelques-uns des problèmes qu'offrent les progressions par quotient.

Je supposerai, en général, que l'on soit convenu de donner au bout d'un an, pour la somme i , un intérêt designé par r; il est évident que l'intérêt d'une somme loo, pendant le même temps, sera loor, que celui d'une somme quelconque a, sera exprimé par cr; et si l'on désigne ce dernier par a. , on aura

ar.

Par cette relation, il est facile de trouver l'intérêt pour une somme quelconque, lorsqu'on a celui que donnent loofr. ou même toute autre somme pendant un temps connu ; cette question s'appelle calcul d'intérêt simple.

267. Mais si le préteur, au lieu de retirer chaque année l'intérêt du capital qu'il a avancé, le laisse entre les mains de l'emprunteur , pour le faire valoir conjointement avec la somme primitive , pendant l'année suivante, au bout de cette année le capital aura acquis une valeur qu'on trouvera ainsi :

Le capital primitif étant a, augmenté de l'intérêt ar ^ il deviendra, au bout de la première année, , a-\- ar^=a{\ 4-0-

Si maintenant on fait

a (1 -f-r) z=za'y l'intérêt delà somme a pour un an étant aV, ceki de la somme a (1 +0 , sera, pour une seconde année, ar{i-\-r)\ et de même qu'au bout de la première année, le capitale, augmenté de l'intérêt qu'il devait rapporter , est devenu a (i-j-r) , le capital a! deviendra, à la fin de la seconde année ,

Si-le prêteur ne retire point encore le capital a" à la fin de cette année , et qu'il le laisse pendant une troi-

sième année , au bout de celle-ci, il lui sera du , d'après ce qui précède ,

a!' {i -\-r):= a {i -^ rf =2 d" .

On voit sans peine qu'après la quatrième année , a!" serait changé en

a-(i-f-r)=:a(i+rH

et ainsi de suite; et que par conséquent la somme prêtée d'abord et les sommes à'rendre à la lin de la première , de la seconde, de la troisième, de la quatrième , etc., année , forment cette progression par quotient :

-H-a: a (i+r) : a(i-f-r)": rz (i-î-r)^: a (i-hr)4 : etc. , dont le quotient est i-j-^j et le terme général a(ii-\-TY=:A,

le nombre n marquant celui des années écoulées depuis l'instant du prêt.

Soit , par exemple , le taux d'intérêt à 5 pour loo, c'est-à-dire que pour ico francs prêtés pendant un an , on doit rendre i o5 francs ; on a

ioor = 5, ou r=:Y^- = ^, et i -f r=:f^.

Si l'on voulait savoir ce que devient la somme a, abandonnée, ainsi qu'on vient de le dire, pendant 26 années, on aurait alors '

7Z rr: 25 , et a ( ~ ) \2o/

au lieu de la somme primitive. La 26*^ puissance de |^-, s'évalue promptement par le moyen des logarithmes , puisqu'on a (262)

ce .qui donne

352 É li ^ M E N s

— ) = 3,386 environ , y^ = 3,386 a ;

et l'on voit par là que looo francs prêtés de cette manière vaudraient 3386 francs au bout de 26 années , en y comprenant les intérêts, etc.

Si le placement durait 100 ans, on trouverait

A-=za { — ) ■=z 101 a

environ; ainsi 1000 francs produiraient, après cet espace de temps, une somme de i3icoo francs environ. Ces exemples montrent avec quelle rapidité les fonds s'augmentent par l'accumulation des intérêts composés.