L'équation

donne lieu à quatre questions : la première , connaissant a, r et 71, trouver A y se présente toutes les fois qu'on cherche ce que devient le capital après un nombre 71 d'années -, je viens d'en donner un exemple.

La seconde, connaissant a, A et ti, trouver ?•, conduit au taux d'intérêt par le moyen de la somme primitive, de celle qui a été remboursée, et du temps qu'a duré le placement ; on a dans ce cas

La troisième, connaissant A y r et 7î, trouvera, et dans laquelle il vient

A a pour objet de déterminer Je capital qu'il faut placer

pour avoir droit, après un nombre n d'années, à une somme A.

La quatrième, connaissant ^, a et r, trouver 7i, ne peut se résoudre que par les logarithmes (238 , 262) . En prenant celui de chaque membre de l'équation proposée , il vient

1^ — la-f Fiî(i-t-r).

d'où

Par cette dernière , an trouve dans combien d'années le capital a doit avoir produit une somme A.

Pour en donner un exemple , je suppose qu'on demande le temps qu'il faut pour que la somme primitive soit doublée, le taux de l'intérêt étant toujours à 5 p. |; on aura

^ = 2a, Iv^nrrîa-f-la,

jet par conséquent

1 2 1 2 o,3oio3oo ^

'' "~ ÏB ~" 1 21— 120 — 0,021 1893 "" '^'''' environ.

259. La question suivante est une des plus compliquées qu'on propose ordinairement sur ce sujet. On suppose que le prêteur place chaque année une nouvelle somme qu'il joint au capital de cette année , et cela pendant un nombre n d'années ; on demande quel est , au bout de la dernière , le montant de toutes ces sommes accumulées avec leurs intérêts composés. Soient a^ b,

c, J, /e, les sommes placées, la première, la seconde ,

la troisième, la quatrième , etc., année j la somme a demeurant entre les mains de l'emprunteur pendant un nombre n d'années , deviendra

£lém. d'Algèbre. 14^ édition. a3

fl(i-fr)"; ia somme i>, qui uy reste que /i— i années, se cliancera en

la sommée, prêtée pendant /x — 2 années seulement, deviendra

et ainsi des autres; enfin la dernière, k, qui n'est em^ ployée que pendant un an , ne donnera que

on aura donc

En calculant chaque terme du second membre séparément , o;i obtiendra la valeur de J.

L'opération se simplifie beaucoup lorsque a=^bz=icz=zd =^>

car dans ce cas on a

le second membre de ctîtte équation forme une progression par quotient, dont le premier terme est a (i-j-r) , le dernier a (1 -\-r)% le quotient 1 + '', et dont la somme est par conséquent

on aura donc alors

Cette équation présente aussi quatre questions, correspondantes à celles que j'ai énoncées sur l'équation

'iSo. Les placemen.s qu'on nomme owiuités sont m-

verses du précédent : c'est l'empruiiteur qui s'acquitte d'un capital avec ses intérêts , en divers paiemens faits à des termes également éloignés. Les paiemens GrTectués par l'emprunteur avant la fin du remboursement, peuvent être considérés comme des avances faites au prêteur sur ce remboursement, et dont la valeur dépend du temps qui s'écoule entre l'une de ces époques et l'autre. Ainsi, en désignant chaque paiement par a , le premier paiement qui a lieu n — i années avant l'expiration du dernier terme , rapporté à cette époque, vaut nécessairement « ( 1 -f-r)"~* ', le second, rapporté à la même époque , ne vaut que a ( i -f- r)"*"^ ; le troisième , a ( 1 -f-'')"~^> et ainsi des autres jusqu'au dernier, qui n*a que la valeur a. Mais d'un autre côté, la sommeprêtée étant représentée par Aj vaudra entre les mains de l'emprunteur, après n années, un capital A (i -f-O" qui devra être égal à toutes les avances réunies que le prêteur a reçues de lui ; on aura donc

y/(i+r)"=:tt(i-f-r)''-'-f-a(i-}-r)"^^-f-«(i-f ')"""'•• -f-'^ ou, en calculant 'la somme de la progression que fomto le second membre ,

équation dans laquelle on peut prendre alternativement pour inconnue la quantité A , que j'appellerai le pr/a* de l'annuité , parce que c'est la somme qu'elle représente; la quantité a, qui est la quotité de l'annuité; la quantité ?•, qui est le taux de l'intérêt, et enfin la quantité zz, qui exprime la durée de l'annuité.

Pour trouver cette dernière , il faut nécessairement recourir^aux logarithmes; on dégage d'abord (i -f r)% ce qui donne

^^^ i L lÉ M E N s

et en prenant les logarithmes , il vient

«l(i4-r)==l« — l(a — ^0, d où

261. Pourmontrer l'usage des formules ci-dessus, je les appliquerai à la question suivante :

Trouver quelle somme il faut donner annuellement pour éteindre en 12 ans, une dette de 100 francs avec ses intérêts pendant ce temps, l'intérêt annuel étant à 5 p. f .

Dans cet exemple, on connaît les quantités

^=100, nz=zi2, r = — ,

et on demande l'annuité a; l'équation

r étant résolue par rapport à la lettre a, donne

Il faut mettre dans cette expression les valeurs des lettres ^, r et 71, et pour plus de facilité, calculer d'abord, au moyen des logarithmes , la quantité (i+r)", qui revient à (ii)" ; on trouvera

Au moyen de cette valeur, il viendra

^■— JQQ' ai;-^7.9586__5. 1,79586 1,79686—1 — o,7g586 ' et en évaluant la dernière expression , soit immédiatement, soit par les logarithmes, on obtiendra

il faudra donc une annuité de 1 if'",28 pour éteindre en 12 ans le capital loo*^'^, le taux annuel d'intérêt étant à 5 pour |.

262. De plus grands détails sur ces questions passeraient les bornes que je me suis prescrites; j'observerai seulement que, pour comparer la valeur de plusieurs sommes, par rapport à celui qui doit les payer ou les recevoir, il faut les réduire àla même époque, c'est-à-dire, chercher ce qu'elles donneraient de capital à une même époque. Un banquier , par exemple, doit une somme a payable dans ti années ; pour s'acquitter, il donne un effet dont la valeur est représentée par b y et doit se payer dans p années ; en rapportant la première somme au moment où il effectue son opération, elle ne vaut que

p — .^, parce qu'elle doit être considérée comme la

valeur primitive d'un capital devenu a, après n années; la somme b ne vaut, parla même raison, à cette époque

que , : la différence

marquera donc , suivant qu'elle sera positive ou négative, ce que doit donner ou recevoir le banquier en retour de son échange; et si ce retour ne pouvait se payer que dans un nombre q d'années , en désignant par c 5a valeur au moment de l'opération, il deviendrait

'c(i4-7)^; en sorte qu'il eerait équivalent à

358 ELÉM E N s D ALC EBR E. *^

Les sommes a,b, k, dans le n** 269 , ont toute,?

été réduites à l'époque où devait se payer la somme A.^ et dans le numéro 2G0 , chacun des paiemens, ainsi que la somme ^ , a été rapporté à l'époque où devait se terminer l'annuité.