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Elém. d'Algèbre, 14* édition.

OO E L E M E N s

33. Les procédés de la multiplication font voir que &i tous les termes du multiplicande sont du même degré (i27), et que ceux du multiplicateur soient aussi du même degré , tous les termes du produit seront du degré marqué par la somme des nombres qui désignent le degré des termes de chacun des facteurs.

Dans le premier exemple, le multiplicande est du quatrième degré, le multiplicateur du troisième , le produit est du septième.

Dans le second exemple, le multiplicande est du sixième degré, le multiplicateur du troisième; le produit est du neuvième.

Les expressions comme celles qu'on vient de rappeler, dont tous les termes sont du même degré, se nomment expressions homogènes ; et la remarque qu'on a faite sur leurs produits , est utile pour prévenir les erreurs qu'on pourrait commettre en oubliant quelques-uns des facteurs dans les multiplications partielles.

34. Les opérations algébriques effectuées sur des quantités littérales, laissant voir comment les diverses parties de ces quantités concourent à la formation des résultats , font souvent connaître des propriétés générales des nombres, indépendantes d'aucun système de numération. Ler, multiplications ci -après conduisent à des conséquences de ce genre , très remarquables et d'une application fréquente dans la suite.

ab-^b^

a'-\'ab •j-ab-^b''

a^-\-2a^b-\-ab'' a^-\-Zd'b-\-'5ab^'^b^.

La première, de laquelle il résulte que la quantité G + è, multipliée par a-— 6 , donne a^ — b" , fait voir que si Von multiplie la somme de deux nombres par leur différence , le produit sera la différence des quarrés de ces nombres.

Si l'on prend, par exemple , la somme 1 1 des nombres 7 et 4 , qu'on la multiplie par la différence 5 de ces nombres, le produit 3 X 1 1 ou 33 sera égal à la différence entre 49 , quarré de 7 , et 16 , quarré de 4.

Par le second exemple , dans lequel 0 + ^ est deux fois facteur, on apprend que la seconde puissance , ou le quarré, d'une quantité composée de deux parties j a et h, contient le quarré de la première partie, plus le double du produit de la première partie par la seconde , plus le quarré de là seconde.

Le troisième exemple , où l'on a multiplié la seconde puissance de a-|- Z> par la première , montre que , la troisième puissance, ou le cube, d'une quantité composée de deux parties , renferme le cube de la première , plus trois fois le quarré de la première multiplié par la seconde , plus trois fois la première multipliée par le quarré de la seconde , plus enfin le cube de la seconde, r ^ijq Vit-

Sa É L É M E N s

35. Comme il est souvent nécessaire de décompofier une quantité dans ses facteurs , et de laisser toujours en évidence, le plus qu'il est possible , la formation des quantités que l'on considère ^ on n'effectue les opérations algébriques que lorsqu'on ne peut s'en dispenser absolument; et il faut, pour cette raison, établir des signes propres à indiquer la multiplication entre des quantités complexes.

On se sert à cet effet de parenthèses ou crochets, entre lesquels on renferme les différens facteurs du produit indiqué. L'expression

(5a+— 3a=^è^ + M) (4 a Z)»— ac*+ t/^) (Zj'^-^c*), par exemple , indique le produit des quantités complexes

5a^ — 3a^Z)^ + M, 4ab'' — ac'-i-(P et b^—c*. Quelques auteurs déjà un peu anciens, ont mis des barres au-dessus des facteurs, comme on le voit ci-dessous.

6 a4— 3a*6^4-M X 4 a^^ — a cr» -f ci^ X ^? — c^ ;

mais les barres pouvant être prolongées plus ou moins qu'il ne faut , ce signe est moins précis que les parenthèses , qui ne laissent jamais d'équivoque sur la totalité des quantités comprises dans chaque facteur : aussi ont-elles prévalu.

Dç la division des quantités, algébriques.

36. Là division algébrique doit être considérée , ainsi que la division arithmétique , comme une opération servant à découvrir l'un des facteurs d'un produit donné lorsqu'on connaît l'autre. D'après cette définition , le quotient , multiplié par le diviseur , doit reproduire le dividende.

En appliquant ces notions aux quantités monômes , on verra par le n** 21 , que le dividende est formé des

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facteurs du dmseur et de ceux du (Quotient ; donc ,- en supprimant dans le dividende tous les facteurs qui composent le diviseur, le résultat sera le quotient cherché.

Soit, par exemple, le monôme 72 a^ è^ c^ c? à diviser par le monôme 9 a^ è c* ; il faut , suivant la règte énoircée ci-dessus , supprimer dans la première de ces quantités j les facteurs de la seconde , qui sont

9, «5, b, et c*:

îl fauf donc, pour que là' dîvi^ibti puisse é' effectuer, qtie ces facteurs soient dans le dividende. En lesprenâtit par ordre , on voit d'abord que lé coefficient 9 du diviseur doit être facteur du caéffiéiéiit 72 du dividende , où ^e 9 doit diviser exactement 72 ; c'est ce qui a lieu éù effet, puisque72=9X8 : en supprimant donc le facteur ^^, î\ restera lé facteur 8 j^uî* coefficient dtr qiicrtîéiitf.

Il suiténéore dés" règles de ïa multipllcâlioii (25)\ que l'exposant 5 de îa lettre a dans le dividende, est îa somme des exposans qu'elle a dans le diviseur et dans Te quotient; ce dernier exposant sera par conséquent la différence enti'e les deux autres, ou 5 — 3 = 2: ainsi la lettre a aura, dan^ le quotient, l'exposant 2. Par la même raison , la lettré 5 aura , dans lé quotient , un exposant égal à3 — i, ou 2. Enfin le facteur c"" étant commun au dividende et au diviseur, doit être supprimé ; et l'on aura par ôonséquent

8 a* b'^d' pour le qiiotîent demandé.

On raisonnerait de même sur tout autre"' exemple ; et on conclura de ce qui précède , que , pôûj^ effectuer la division des quantités monômes, il faut diviser lé coefficient du dividende par celui du diviseur;

Supprimer dam le dividende les lettres qui lui sàrit

communes avec le diviseur, lorsqu'elles ont le même exposant; et lorsque l'exposant n'est pas le même, retrancher l'exposant du diviseur de celui du dividende, le reste étant l'exposant que doit avoir la lettre dans le quotient;

Enfin écrire au quotient les lettres du dividende qui ne sont pas dans le diviseur.

37. En appliquant la règle donnée ci-dessus pour former l'exposant des lettres du quotient , à une lettre qui aurait le même exposant dans le dividende et dans le diviseur, on trouverait zéro pour l'expusant qu'elle devrait avoir au quotient : a^ divisé par c^, par exemple , donnerait a°. Pour savoir ce que peut signifier une pareille expression , il faut remonter à son origine, et considérer que, représentant le quotient de la division de la quantité a^ par elle-même, elle doit répondre à l'unité , qui marque combien de fois une quantité quelconque se contient elle-même. Il suit de là que l'expression a° est unsymbole équivalent à l'unité, et qu'on doit remplacer par conséquent par 1 . On peut donc se dispenser d'écrire les lettres qui ont zéro pour exposant , puisqu'alors chacune d'elles ne représente que l'unité. Ainsi , a^b c* divise par a" h c*, donnant a' h° c° , revient à a, comme on peut aussi s'en assurer en effectuant la suppression des facteurs communs au dividende et au diviseur.

On voit par là que cette proposition : Toute quantité qui a zéro pour exposant , vaut alors 1 , n'est, a proprement parler, que l'explication d'un résultat auquel conduit la convention faite sur la manière d'écrire les puissances des quantités par les exposans.

Pour que la division puisse s'effectuer, il faut, 1°. que le diviseur ne renferme aucune lettre qui ne se trouve dans le dividende -, 2°. que l'exposant des lettres, dans |e diviseur, ne surpasse point celui qu elles ont dans le

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dividende-^ 3°. eiiiin, que le coelïicient du diviseur divise exactement celui du dividende.

38. Lorsque ces conditions n'ont pas lieu, la division ne peut que s'indiquer sous la forme d'une fraction , d'après la convention du numéro 2 ; et il faut chercher ensuite à simplifier cette fraction , en supprimant les facteurs qui sont communs en même temps au dividende et au diviseur, s'il y en a de tels ; car {Arithm. 67 ) il est visible que les principes sur lesquels repose la théorie des fractions arithmétiques, étant indépendans de toute valeur particulière de leurs termes, conviennent aux fractions représentées par des lettres, comme à celles qui sont exprimées par des nombres.

D'après ces principes , on supprime d' abord les facteurs numériques communs aux coefficiens du dividende et du diviseur, puis les lettres qui sont communes au dividende et au diviseur y et qui ont le même exposant dans l'un et dans l'autre. Lorsque l'exposant n'est pas le mêm.e, on retranche leplus petit du plus sirand , et on donne le reste pour exposant à la lettre , qu'on n^ écrit que dans celui des deux termes de la fraction où elle avait le plus haut exposant.

L'exemple suivant éclaircira cette règle.

Soît 4^^c^b'^c^d à diviser par 64a^^^c^e; le quotient ne peut que s'indiquer sous la forme fractionnaire 4San^c<'d 64an^c^e ' mais les coefRciens 48 et G^ étant tous deux divisibles par 16 , en supprimant ce facteur commun, le coefïicient du numérateur deviendra 3 , et celui du dénominateur 4.

La lettre a ayant le même exposant 3 dans les deux termes de la fraction , il s'ensuit que a^ est un facteur commun au dividende et au diviseur, et qu'on peut aussi le supprimer.

Passant ensuite à la lettre h, il faut diviser la puissance la plus élevée, qui est Z>^, par Z»^, suivant la règle doïinée plus haut , et le quotient Z>* nous apprend que b^z=PX ^*- Supprimant donc le facteur commun b^, il restera dans le numérateur le facteur b'^.

Par rapport à la lettre c , le facteur le plus élevé étant c* au dénominateur, si on le divise par c*, on le décomposera en c^ X c^ ; et supprimant le facteur c^, commun aux deux termes , cette lettre disparaîtra du numérateur, mais restera au dénominateur avec l'exposant 2.

Enfin les lettres det e resteront à leurs places respectives , puisque dans l'état où elles sont, elles n'indiquent aucun facteur qui soit commun aux deux termes de la fraction.

Par ces diverses opérations, la fraction proposée se réduit à

c'est sa plus simple expression, tant qu'on ne donne aucune valeur numérique aux lettres ; car elle pourrait se réduire encore si ces lettres étaient remplacées par des nombres contenant des facteurs communs.

39. Une observation qu'il ne faut pas manquer de faire, c'est que sitousles facteurs du dividende entraient dans le diviseur, qui, de plus, en contiendrait encore d'autres qui lui seraient particuliers , il faudrait , après la suppression des premiers facteurs , mettre l'unité à la place du dividende, au numérateur de la fraction. En effet, dans ce cas on peut supprimer dans les deux termes de la fraction, tous les facteurs du numérateur, c'esf-àdire diviser les deux termes de la fraction par le numérateur -, mais celui-ci étant divisé par lui-même , doit donner l'unité pour le quotient dont il faut faire le nouveau numérateur.

d'algèbre. 67

Soit pour exemple la fraction 4a'b c laa'b^cd' les facteurs 12, c*, 2»^ et c, se divisant respectivement parles facteurs 4, a^ , ô et c, c'est comme si l'on divisait les deux termes de la fraction proposée par le numérateur 4a'bc', or la quantité 4d'bc divisée par ellemême, donne 1 pour quotient , et la quantité iQo'Pcd divisée parla première , donne , par les règles ci-dessus , Sb"" d: la nouvelle fraction est donc

40. Il suit des règles de la multiplication, que lorsqu'une quantité monôme multiplie une quantité polynôme, elle devient facteur commun de tous les termes de celle-ci. On profite de cette observation pour simplifier les fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes ayant des facteurs communs à tous leurs termes.

Soit l'expression

^c^—'ôa'be'^i^a'c'

^a'b — iS a" c-\-Q.4o?' en examinant la quantité 6 a^ — 3 c'' è c-f- 1 2 «^ c% on voit que le facteur d^ est commun à tous ses termes , puisque a'^ z^a^ X a^y et qu'en outre les nombres G , 3 et 12 sont tous divisibles par 3 ; en sorte que 6a4--3a^5c+i2aV=2a=^X3a='— ^cX3a^-!-4c'X3a^

De même le dénominateur a pour facteur commun 3 a* ; caries facteurs a?- et 3 entrent dans tous ses termes, et l'on a ^a" b — i5a^c-|-24a3 = 36x3a^— 5cX3a^-f 8aX3 a\ Supprimant donc le facteur 3 a% tant dans le numérateur quedansle dénominateur,,la fraction proposée deviendra

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