Je passe maintenant au ca's où le dividende et le

diviseur sont tous deux complexes , et dans lequel an

ne peut plus reconnaître , à la première vue , si le diviseur est ou n'est pas facteur du dividende.

Puisque le diviseur, multiplié par le quotient, doit reproduire le dividende , il faut que ce dernier contienne tous les produits partiels de chaque terme du diviseur par chaque terme du quotient ; et si l'on pouvait retrouver les produits formés par chaque ternie du diviseur en particulier , en les divisant par ce terme qui est connu, on obtiendrait ceux du quotient , de la même manière qu'en Arithmétique on découvre tous les chiffres du quotient en divisant successivement par le diviseur, des nombres qu on regarde comme les produits partiels de ce diviseur par les divers chiffres du quotient. Mais dans les nombres, ces produits partiels se présentent par ordre, en commençant par les unités placées au dernier rang sur la gauche , à cause de la subordination établie entre les unités de chaque chiffre du dividende, d'après le rang qu'ils occupent. Il n'en est pas de même en Algèbre ; mais on y supplée en rangeant tous les termes du dividende et du diviseur, de manière que les exposans des puissances de la même lettre diminuent dans chaque terme, en allant de gauche à droite, ainsi qu'on le voit, par rapport à la lettres, dans les quantités

Sa7 — 22 a^ Z>-f-i2 «5 ^,=^ 6 aU3 — 4 û3 M4- 8 fl" 6^

do jit l'une est le produit, et l'autre le multiplicande, dans

l'opération du numéro 32 : c'est ce qu'on appelle orc^o/izier

les quantités proposées.

Lorsqu'elles sont rangées ainsi, il est visible que, quel que soit le facteur par lequel il faille multiplier la seconde pour obtenir la première , le terme 5 a\ qui commence celle-ci, résulte du terme 5a+, qui commence l'autre , multiplié par le terme où o aurait le plus haut expo-

d'algèbre, Sg

santdans le facteur cherché , et qui se trouve le premier de ce facteur lorsqu'il est ordonné par rapport à a. En divisant donc le monôme 5à^ par le monôme 5 a'^, le quotient a^ sera le premier terme du facteur cherché. Or , par les règles de la multiplication , le produit total devant contenir les divers produits partiels résultant de la multiplication de tout le multiplicande par chaque terme du- multiplicateur, il s'ensuit que la quantité prise ici pour dividende , doit contenir les produits de tous les termes du diviseur 6 a'^ — Qa^b-^/^a^b^ par a^, premier terme du quotient ; et par conséquent si l'on retranche du dividende ces produits , qui sont 5 a^

— 2 a^ b ^ 4aH\\eYeste-- 2oa^ b -^S œ> b^—G a^b^

— 4ci^ b'^-\^Sd^b^, ne contiendra plus que ceux qui résultent de la multiplication du diviseur par le second , Je troisième, etc., termes du quotient.

Ce reste peut donc être considéré comme un dividende partiel ; et son premier terme , dans lequel a a l'exposant le pIuL haut, n'a pu provenir que de la multiplication du premier terme du diviseur par le second du quotient. Mais le premier terme du dividende partiel ayant le signe — , il faut assigner celui que doit avoir le terme correspondant du quotient : or cela est facile par la i"-' règle du n° 5i ; car la quantité — qo a^b, regardée comme un produit partiel , ayant un signe contraire à celui du multiplicande partiel 5 a^, il en résulte que le multiplicateur partiel a dû être affecté du signe — . La division étant donc opérée sur les monômes — loa^b et 5a^, donnera — 4^^b pour ce second terme. Si on le multiplie par tous ceux du diviseur, et que l'on retranche le produit du dividende partiel , le reste -f-io a4 /,s — ^^3 ^4 j 8a^ 6^, ne contiendra plus que les produits du diviseur parle troisième , etc., termes du quotient.

En le regardant comme un nouveau dividende partiel.

66 l^IiÉMENS

«on premier terme lo af^b^ ne peut être <|ùele produit du premier terme du diviseur par le troisième du quotient ; et par. conséquent te dernier & obtiendra en divisant , l'un par l'autre , les monômes lo a+Z>^ et 5 a"^. Le giïotient 2Py étant multiplié par tout le diviseur, fournit des produits dont la soustraction, épuisant le dividende partiel , prouve que le quotient n'a que trois fermes.

S'il avait dû en avoir un plus grand nombre , ow les aurait évidemment trouvés comme les précédens; et si, comme on le suppose, le dividende a pour facteur le diviseur , la soustraction du produit de ce diviseur par le dernier terme du quotient , doit toujours épuiser le dernier dividende partiel.

^ 42- Pour faciliter la pratiqué des i^ègîéë ^ouvé'e^cîoessus, i*. On dispose le dividende et h diviseur cOTtiiûe pour la division des lïùràhres , en les ordonrianf Vùn et l'autre par rapport à une même lettre , c'est-à-dire en écrivant leurs termes de manière que les exposans de'ceMe lettre aillent en décroissant ;

2". On divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseuf, et on écrit le résultat à la ptùôe marquée pour le quotient;

'5°. On multiplie tout le diviseur par le quotient partiel qu'on vient de trouver y on le retranche du divid'endte , et on fait la réduction des termes semblables;

4°- On regarde ce reste comme un nouveau dividende dont on divise le premier terme par le premier terme du diviseur; on écrit le résultat comme un second terme du quotient y et on poursuit l' opération sur ce terme comme ci-dessus , jusqu'à ce que tous les ternies du dividende soient épuisés.

En observant qu'un produit a le même signe que le multiplicande, lorsque le multiplicateur aie signe -f-, et <îu'il a, danfllecascontraire, le signe— (3i), on eîi con-

dut ^ue lorsque le dividende partiel et le premier ternie du diviseur ont le même signe , le quotient doit avoir le iigne-^\ et s' ils ont des signes contraires fie quotient doit avoir le signe — : c'est la règle des signes.

Les divisions partielles s'effectuent par les règles d^nïiéespo^rles quantités monômes.

On divise le coefficient du dividende par celui du diviseur .• c'est la règle des coefïiciens.

On écrit au quotient les lettres communes au dividende et au diviseur, avec un exposant égal à la différence de ceux dont elles sont affectées dans ces deux termes , et enjîn les lettres qui ne sont quau dividende .* ce sont là les règles des lettres et des exposans.