DÉRIVENT

143. Si l’on fait le produit de plusieurs binômes égaux ài+s, on parvient aux résultats suivans :

THÉORIE DES COHB1RAISOTS.

(x + a)3 = x3 + 2ox + a3,

(x + a)3 = x3 + 3 ax3 + 3<ï3x + a3,

(x+a)i = xi + 4ax3 + 6œ3x3+ 4a3x + ai,

(x + o)5 = x5 + 8ax4+ 10a3x3 + lOa^x'1 + $ai'x+a5.

En jetant les yeux sur ces différens développemens , on reconnaît aisément une loi suivant laquelle ils procèdent, quant aux exposans de x et de a; il n’en est pas de même pour les coefficiens. Cependant Newton , célèbre géomètre anglais , est parvenu à en découvrir une au moyen de laquelle , le degré d’une puissance d’un binôme étant donné , on peut former cette puissance sans être obligé de passer d’abord par toutes les puissances inférieures. Il n’a laissé aucune trace des raisonnemens qui avaient pu l’y conduire; mais depuis, on a constaté d’une manière rigoureuse l’existence de cette loi. De toutes les démonstrations connues, la plus élémentaire est celle qui se trouve fondée sur la Théorie de» combinaisons. Toutefois , comme elle est encore assez compliquée , nous commencerons , pour en simplifier l’exposition, par résoudre quelques problèmes relatifs aux combinaisons ; d’où il sera facile ensuite de déduire la formule du binôme , ou le développement d’une puissance quelconque d’un binôme.

1-44. Notions préliminaires . On sait déjà ( Arith ., n° 127) que le produit d’un nombre n de facteurs a, b, c, d. . ., ne change pas , dans quelque ordre qu’on effectue leur multiplication. Or on peut se proposer de déterminer le nombre total des manières dont ces différentes lettres sont susceptibles d’ètre disposées les unes à la suite des autres. Les résultats qui correspondent à chaque disposition que l’on fait subir à ces lettres , se nomment permutations .

C'est ainsi que deux lettres a. et b donnent un produit unique ab, mais fournissent les deux permutations ah et ba.

De même, les trois lettres a, b, c, donnent un produit unique abc, mais fournissent les six permutations abc, acb, cab, bac, bca, cba.

Soit maintenant un nombre m de lettres a, b, c, d, si on les dispose les unes à la suite des autres, 2 à 2, 3 à 3,